现代分析3-5拓扑空间(1)

1、2021-11-111第三章第第三章第5 5节节 拓扑空间拓扑空间 本节是点集拓扑学基础中之基础本节是点集拓扑学基础中之基础, , 从度从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念基本的两个概念: : 拓扑空间、连续映射拓扑空间、连续映射, , 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性刻画拓扑空间上的连续性. .2021-11-112从度量空间谈起 定理

2、定理 设设X,YX,Y是两度量空间是两度量空间. f: XY, x. f: XY, x0 0 X, X, 那么那么 (1)f(1)f在在x x0 0连续连续若若U U是是f(xf(x0 0) )的邻域的邻域, , 则则f f 1 1(U)(U)是是x x0 0的的邻域邻域; ; (2)f (2)f在在X X连续连续若若U U是是Y Y的开集的开集, , 则则f f 1 1(U)(U)是是X X的开集的开集. . 证证 (1)(1)利用连续概念和邻域与概念利用连续概念和邻域与概念. . (2)“ (2)“” f” f 1 1(U)(U)是每一点的邻域是每一点的邻域.“.“”证每一点证每一点连续连

3、续, , 利用利用(1).(1).由此可见由此可见, , 度量空间的连续只与邻域或开集有关度量空间的连续只与邻域或开集有关. . 它导它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性. .2021-11-1131. 拓扑与拓扑空间概念定义定义3.5.1 3.5.1 设设T是集合是集合X X的子集族的子集族, , 若若T满足满足: : (1)X, (1)X, T; ; (2) (2) A, BA, B TABAB T; ; (3) (3) Ti i T (i I), , Tii T; ; 称称T是是X X的一个拓扑的一个拓扑. (X,. (X,

4、T) )是拓扑空间是拓扑空间, , T的元称为的元称为X X的开集的开集. . 空间空间X X的拓扑是的拓扑是X X的全体开集的族的全体开集的族. .定义定义3.5.2 (X, 3.5.2 (X, ) )度量空间度量空间. . T 由由X X的所有开集构成的族的所有开集构成的族. (X, . (X, T ) )称称为由度量为由度量 诱导出的拓扑空间诱导出的拓扑空间. . 简称简称T 为度量拓扑为度量拓扑. . 度量空间度量空间拓扑空间拓扑空间. . 2021-11-114拓扑与拓扑空间概念 例例3.5.1 平庸拓扑T=X, . 平庸空间. 开集个数最少，开集个数最少， X X上最粗的拓扑上最粗

5、的拓扑 例例3.5.2 3.5.2 离散拓扑离散拓扑T= =P(X). (X). 离散空间离散空间. X. X的每一子的每一子集是开集集是开集. . 由离散度量空间导出的拓扑是离散拓由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑扑. .开集个数最多，开集个数最多， X上最细的拓扑上最细的拓扑2021-11-115拓扑与拓扑空间概念 例例3.5.3 3.5.3 有限补拓扑有限补拓扑T=U=U X|UX|U 是是X X的有限子的有限子集集. . 验证验证T是是X X上的拓扑上的拓扑. (1). (1)显然显然. (2). (2) A, BA, B X, X, 讨讨论论ABAB时分两种情形时分两种情形, , 一

6、是一是A, BA, B中有一是中有一是, , 二二是是A, BA, B都不是都不是. (3). (3)设设T1 1 T, , 不妨设不妨设A A0 0 T T1 1, , 利用利用De MorganDe Morgan律律. . 有限补空间有限补空间. . 例例3.5.4 3.5.4 可数补拓扑可数补拓扑T=U=U X|UX|U 是是X X的可数子的可数子集集. .2021-11-1162. 拓扑空间中的连续映射 定义定义3.5.3 X, Y3.5.3 X, Y是两拓扑空间是两拓扑空间. f: X. f: XY. Y. 称称f f连续连续, , 若若Y Y中每一开集中每一开集U U的原象的原象f

7、 f-1-1(U)(U)是是X X中的开集中的开集. . 定理定理3.5.1 3.5.1 恒同映射连续恒同映射连续. . 连续函数的复合连续函数的复合是连续的是连续的. . 定义定义3.5.5 f: XY3.5.5 f: XY称为同胚或同胚映射称为同胚或同胚映射, , 若若f f是一一映射且是一一映射且f f及及f f-1-1均连续均连续. .2021-11-117拓扑空间中的连续映射 定义定义3.5.6 3.5.6 称两空间称两空间X X与与Y Y同胚同胚, , 或或X X同胚于同胚于Y, Y, 若存在从若存在从X X到到Y Y的同胚的同胚. . 定理定理3.5.2 3.5.2 恒同映射同胚

8、恒同映射同胚(X(X与与X X同胚同胚); f); f同胚同胚 f f-1-1同胚同胚( (若若X X与与Y Y同胚同胚, , 则则Y Y与与X X同胚同胚); ); 同胚的复合是同胚同胚的复合是同胚( (若若X X与与Y Y同胚同胚, , 且且Y Y与与Z Z同胚同胚, , 则则X X与与Z Z同胚同胚). ). 空间的同胚关系是等价关系空间的同胚关系是等价关系. . 2021-11-118拓扑空间中的连续映射拓扑学的中心任务拓扑学的中心任务: : 研究拓扑不变性质研究拓扑不变性质. . 抽象化过程抽象化过程: : 欧氏空间欧氏空间度量空间度量空间拓扑空间拓扑空间; ; 点距离点距离度量度量

9、开集开集. .2021-11-1193、邻域 定义定义3.5.7 3.5.7 设设(X, (X, T) )是拓扑空间是拓扑空间. . x x X X, U, U X X称为称为x x的邻域的邻域, , 如果存在如果存在V V T使使x x V V U U; ; 若若U U是开的是开的, U, U称称为为x x的开邻域的开邻域. . 定理定理3.5.3 3.5.3 设设U U X. UX. U是是X X的开集的开集U U是它的每一是它的每一点的邻域点的邻域. . 证证 由定义得由定义得“”; ; 利用开集之并为开得利用开集之并为开得“” . . x x在在X X的所有邻域构成的族称为的所有邻域构

10、成的族称为x x的邻域系的邻域系, , 记为记为Ux x. .2021-11-1110 邻域(2) 定理定理3.5.4 3.5.4 Ux x的性质的性质: : (1) (1) X X Ux x; ; U U Ux x, , x x U U; ; (2) U, (2) U, V V Ux xUVUV Ux x; ; (3) (3) U U Ux x且且U U V VV V Ux x; ; (4) (4) U U Ux xV V Ux x使使V V U U且且 y y V V, , V V Uy y. . 证证 由定义由定义3.5.73.5.7得得(1); (1); 由开集的交是开集得由开集的交是

11、开集得(2); (2); 由定义由定义3.5.73.5.7得得(3); (3); 取取V V为满足为满足x x V V U U的开集的开集. . 由邻域系出发可建立拓扑空间的理论由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, , 显得自然显得自然, , 但不但不流行流行. .2021-11-1111 邻域(3) 利用邻域与开集的关系利用邻域与开集的关系( (定理定理3.5.3)3.5.3)导出开集导出开集, , 从从Ux x( ( x x X X) )具有定理具有定理3.5.43.5.4的性质的的性质的(1)-(4)(1)-(4)出发出发, , 定义定义T=U U X|X| x x U U, , U U

12、Ux x, , 则则(X, (X, T) )是拓扑空间是拓扑空间, , 且这空间中每一点且这空间中每一点x x的邻域系的邻域系恰是恰是Ux x. . 定义定义3.5.8(3.5.8(点连续点连续) ) 映射映射f: XYf: XY称为在点称为在点x x X X连续连续, , 如果如果U U是是f(xf(x) )在在Y Y中的邻域中的邻域, , 则则f f-1-1(U)(U)是是x x在在X X中的邻域中的邻域. . 定理定理3.5.43.5.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致的拓扑空间中的点的连续性的一致. . 另一

13、方面另一方面, , 关于点的连关于点的连续性续性, , 易验证易验证( (定理定理3.5.5), 3.5.5), 恒等映射在每一点连续恒等映射在每一点连续, , 两点连续两点连续的函数之复合仍是点连续的的函数之复合仍是点连续的. . 2021-11-1112邻域(4) 定义定义3.3.43.3.4与定义与定义2.5.82.5.8所定义的所定义的“整体整体”连续连续与每一与每一“点点”连续是一致的连续是一致的. . 定理定理3.5.5 3.5.5 设设f: XY. f: XY. 则则f f连续连续f f在每一在每一x x X X连连续续. . 证证 “”若若U U是是 f (xf (x) )的邻

14、域的邻域 , , 开集开集V V 使使f(x)f(x) V V U U, x, x f f-1-1(V) (V) f f-1-1(U). (U). “”若若U U是是Y Y的开集的开集, , x x f f-1-1(U), U(U), U是是f(xf(x) )的邻域的邻域, , f f-1-1(U)(U)是是x x的邻域的邻域, , 所以所以f f-1-1(U)(U)在在X X中开中开. .2021-11-11134、 导集、闭集、闭包 定义定义3.5.9 3.5.9 设设A A X. xX. x称为称为A A的聚点的聚点( (凝聚点凝聚点, , 极限点极限点), ), 如果如果x x的每一邻

15、域的每一邻域U U中有中有A A中异于中异于x x的点的点, , 即即U(A-x)U(A-x). A. A的全体的全体聚点之集称为聚点之集称为A A的导集的导集, , 记为记为d(Ad(A). x). x称为称为A A的孤立点的孤立点, , 若若x x不不是是A A的聚点的聚点, , 即存在即存在x x的邻域的邻域U U使使U(A-x)=U(A-x)=, , 即即UAUA xx. . 例例3.5.5 X3.5.5 X是离散空间是离散空间. . 若若A A X, X, 则则d(Ad(A)=)=. . x x X X, , 取取U=x, U=x, 则则UAUA xx, , 所以所以x x d(Ad

16、(A). ). 例例3.5.6 X3.5.6 X是平庸空间是平庸空间, A, A X. X. 若若A=A=, , 则则d(Ad(A)=)=; ; 若若|A|=1, |A|=1, 则则d(Ad(A)=X-A; )=X-A; 若若|A|1, |A|1, 则则d(Ad(A)=X.)=X. 对于对于x x X X, , 若若U U是是x x的邻域的邻域, , 则则U=X, U=X, 于是于是U(A-U(A-x)x)A-A-xxA A xx, , 由此由此, , 易计算易计算d(Ad(A). ).2021-11-1114 导集、闭集、闭包(2) 定理定理3.5.7 A, B3.5.7 A, B X, X

17、, 则则 (1) d(1) d()=)=; (2) ; (2) A A B Bd(Ad(A) ) d(Bd(B); ); (3) (3) d(ABd(AB)=)=d(A)d(Bd(A)d(B); (4) ); (4) d(d(Ad(d(A) ) Ad(AAd(A). ). 证证 由定义由定义3.5.93.5.9得得(1)(1)和和(2). (2). 关于关于(3). (3). 由由(2)(2)得得d(A)d(B)d(A)d(B) d(ABd(AB). ). 设设x x d(A)d(Bd(A)d(B), ), 分别存在分别存在x x的邻域的邻域U, VU, V使得使得UAUA xx, , VBV

18、B xx, , 令令D=UV, D=UV, 则则D(AB) D(AB) x.x. 关于关于(4). (4). 设设x x Ad(AAd(A), ), 存在存在x x的邻域的邻域U, U, 使得使得UAUA xx, , 取取x x的开邻域的开邻域V V U, U, 则则VA=VA=, , y y V V, V(A-y)=, V(A-y)=, , y y d(Ad(A), ), Vd(AVd(A)=)=, , x x d(d(Ad(d(A).).2021-11-1115导集、闭集、闭包(3) 定义定义3.5.10 A3.5.10 A X X称为称为X X的闭集的闭集, , 如果如果d(A)d(A)

19、 A A. . 定理定理3.5.8 A3.5.8 A闭闭A A 开开. . 证证 “” x x A A , , 由于由于d(A)d(A) A A, , 存在存在x x的邻域的邻域U U使使UA=UA=, , 于是于是U U A A . . “” x x A A , A, A A=A=, , x x d(Ad(A), ), 所以所以d(A)d(A) A A. . 例例3.5.7 R3.5.7 R的闭区间是闭集的闭区间是闭集. .a, ba, b =(-=(- , , a)(ba)(b, +, + ) )开集开集. (a, b). (a, b)不是闭集不是闭集, , 因为因为a a是聚点是聚点.

20、. 定理定理3.5.9 3.5.9 记记F是空间是空间X X的全部闭集族的全部闭集族, , 则则(1) X, (1) X, F; (2) A, B; (2) A, B FABAB F; (3) ; (3) H FH H HH H F. .2021-11-1116 导集、闭集、闭包(4) 证证 利用利用De MorganDe Morgan定律及拓扑的定义定律及拓扑的定义. . F=U=U |U|U T. . 直接验证可得直接验证可得(1)(1)、(2).(2). ( 3 ) ( 3 ) 令令U= H= H H H H . . 则则 H H HH H T, , 从 而从 而H H HH=H=H H

21、 HH H =(=(H H HH H ) )F. . Cantor Cantor集集( (例例3.4.4)3.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子中是具有特别意义的例子, , 它说明它说明R R中的闭集可以是很复中的闭集可以是很复杂的杂的, , 在此不介绍在此不介绍. .定义定义3.6.11 3.6.11 Ad(A)称为A的闭包, 记为, 或A或c(A).A2021-11-1117 导集、闭集、闭包(5) 定理定理3.5.10 3.5.10 对对A, BA, B X, X, 有有 (1) (1) = = ; (2) A; (2) A A A

22、 ; (3) (AB); (3) (AB) =A=A BB ; (4) (A; (4) (A ) ) =A=A . . 证证 (3) (AB)(3) (AB) = =ABd(ABABd(AB) ) = =Ad(A)Bd(BAd(A)Bd(B)= A)= A BB . . (4) (A (4) (A ) ) =(=(Ad(AAd(A) ) = =A A d(Ad(A) ) = =Ad(A)d(d(AAd(A)d(d(A)= A)= A . . 上述上述4 4条确定了闭包运算条确定了闭包运算, , 称为称为KuratowskiKuratowski闭包公理闭包公理, , 由此可建立拓扑空由此可建立拓

23、扑空间的概念间的概念. . 事实上事实上, , 记此运算为记此运算为c(Ac(A), ), 定义定义T=U U X|c(UX|c(U )=U)=U , , 则则(X, (X, T) )是是拓扑空间拓扑空间, , 且这空间中每一且这空间中每一c(Ac(A)= A)= A , , 详见定理详见定理3.4.8.3.4.8.2021-11-1118 导集、闭集、闭包(6) 关于闭包的几个相关结果关于闭包的几个相关结果: :(1) (1) x x A A 对对x x的任一邻域有的任一邻域有UAUA. (. (定义定义3.5.113.5.11后后) )(2) (2) d(Ad(A)=(A-x)=(A-x)

24、 . .(3) A(3) A闭闭d(A)d(A) A AA A=A=A . (. (定理定理3.5.11)3.5.11)(4) A(4) A 是闭集是闭集. (. (定理定理3.5.12)3.5.12)(5) A(5) A 是包含是包含A A的所有闭集之交的所有闭集之交, , 是包含是包含A A的最小闭集的最小闭集. (. (定定理理3.5.13: 3.5.13: 设设F F是包含是包含A A的所有闭集之交的所有闭集之交, , 则则A A F F A A , , A A F, F, 所以所以F=AF=A .) .)2021-11-1119导集、闭集、闭包(7) 定义定义3.5.12(X, 3.

25、5.12(X, ) )是度量空间是度量空间. . 对非空的对非空的A A X, xX, x X, X, 定义定义 (x, A)=(x, A)=infinf (x(x, y) | , y) | y y A A. . 定理定理3.5.14 3.5.14 对度量空间对度量空间(X, (X, ) )的非空子集的非空子集A, A, (1) (1) x x A A (x(x, A)=0; , A)=0; (2) (2) x x d(Ad(A) ) (x, A-x)=0.(x, A-x)=0. 证证 (x, A)=0(x, A)=00, 0, y y A A, , (x, y)(x, y) B(xB(x,

26、, )A)A U U Ux x, UA, UA x x A A . .2021-11-1120导集、闭集、闭包(8) 定理定理3.5.15 3.5.15 设设f: Xf: XY, Y, 则下述等价则下述等价 (1) f(1) f连续连续; (2) ; (2) 若若B B闭于闭于Y, Y, 则则f f-1-1(B)(B)闭于闭于X; (3) X; (3) A A X, X, f(Af(A ) ) f(Af(A) ) . . 证证 (1)(1)(2) B(2) B是是Y Y的闭集的闭集, B, B 是是Y Y的开集的开集, f, f-1-1(B(B )=f)=f-1-1(B)(B) 是是X X的开

27、集的开集, f, f-1-1(B)(B)是是X X的闭集的闭集. . (2) (2)(3) (3) f(Af(A) ) f(Af(A) ) , A, A f f-1-1(f(A)(f(A) ), A), A f f-1-1(f(A)(f(A) ), ), f(Af(A ) ) f(Af(A) ) . . (3) (3)(1)(1)设设U U是是Y Y的开集的开集, U, U 是是Y Y的闭集且的闭集且f(ff(f-1-1(U(U ) ) ) ) f(ff(f-1-1(U(U ) ) U U =U=U , f, f-1-1(U(U ) ) f f-1-1(U(U ), f), f-1-1(U(U

28、 )=f)=f-1-1(U)(U) 是闭是闭, f, f-1-1(U)(U)是开是开. .2021-11-11215、 内部、边界内部、边界 定义定义3.5.13 3.5.13 若若A A是是x x的邻域的邻域, , 则称则称x x是是A A的内点的内点. A. A的所有内点的所有内点的集合称为的集合称为A A的内部的内部, , 记为记为A A . . 定理定理3.5.16 3.5.16 对对A A X, AX, A =A=A , A, A =A=A. . 证证 x x A A , , 由于由于AAAA = =, , 于是于是x x A A , , 从而从而x x A A . . 反之反之,

29、, x x A A , , x x A A , , x x的邻域的邻域VAVA = =, V, V A, A, x x A A . . 因此因此, A, A =A=A . . 从而从而A A =A=A =A=A , A, A =A=A. . 定理定理3.5.17 3.5.17 对对A, BA, B X, X, 有有 (1) X(1) X =X; (2) A=X; (2) AA; (3) (AB) A; (3) (AB) =A=A BB ; (4) A; (4) A=A=A . . 证证 (1)(1)、(2)(2)是显然的是显然的. . (AB)(AB) =(A=(A BB ) ) =A=A B

30、B =A=A BB . .而而A A=A=A =A=A =A=A . .2021-11-1122 内部、边界内部、边界(2) 关于内部的几个相关结果关于内部的几个相关结果: :(1) A(1) A是是x x的邻域的邻域x x A A . .(2) A(2) A 是开集是开集. (. (定理定理3.5.18)3.5.18)(3) A(3) A是开集是开集A=AA=A .( .(定理定理3.5.19)3.5.19)(4) A(4) A 是是A A所包含的所有开集之并所包含的所有开集之并, , 是含于是含于A A内的最大开集内的最大开集. . ( (定理定理3.5.20)3.5.20)证证 ( 2

31、) A( 2 ) A = A= A 是 开 集是 开 集 . ( 3 ) A. ( 3 ) A 开开A A 闭闭A A =A=A A=AA=A =A=A . (4). (4)设设OO是含于是含于A A内的所有开集之并内的所有开集之并, , A AOO A, OA, O A A , , 所以所以O=AO=A . .2021-11-1123 内部、边界内部、边界(3) 定义定义3.5.14 x3.5.14 x称为称为A A的边界点的边界点, , 若若x x的每一邻域的每一邻域, , 既含既含有有A A中的点又有中的点又有A A 中的点中的点. A. A的边界点之集称为边界的边界点之集称为边界, ,

32、 记为记为 A. A. 定理定理3.5.21 3.5.21 对对A A X, X, 有有(1)(1) A=AA=A AA = = (A(A ); ); (2)A(2)A =A=A A; (3)AA; (3)A =A=A - - A.A. 证证 (2) A(2) A A=AA=A (A(A AA ) ) =(A =(A AA )(A)(A AA )=A)=A (A(A AA )=A)=A . . (3) A (3) A - - A=AA=A -(A-(A AA )=A)=A -A-A =A=A AA =A=A . .2021-11-11246、 基与子基 定义定义3.5.15 3.5.15 设设

33、T是空间是空间X X的拓扑的拓扑, , B T, , 如果如果T中每一元是中每一元是B中中某子集族之并某子集族之并, , 称称B是是X X的基的基. . 度量空间度量空间球形邻域球形邻域开集开集拓扑拓扑. . 在度量空间中球形邻域的在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用作用就是拓扑空间中基的作用. . 所有单点集的族是离散空间的基所有单点集的族是离散空间的基. . 定理定理3.5.22 3.5.22 设设B T. . B为为X X的基的基x x X X及及x x的邻域的邻域U Ux x, , V Vx x B使使x x V Vx x U Ux x. . 证证 “” 开集开集WWx x

34、使得使得x x WWx x U Ux x, , B1 1 B使得使得WWx x=B1 1, , V Vx x B1 1 B使使x x V Vx x U Ux x. . “”设设U U T, , x x U U, , V Vx x B使使x x V Vx x U U, , 从而从而 V Vx x | | x x UU B且且U=U=x x U UV Vx x. . 在度量空间中在度量空间中, , 所有球形邻域的族是度量拓扑的基所有球形邻域的族是度量拓扑的基( (定理定理3.5.23). 3.5.23). 所有开区间的族是所有开区间的族是R R的基的基. .2021-11-1125基与子基(2)

35、定理定理3.5.24 3.5.24 拓扑空间拓扑空间X X的基的基B满足满足: : (i) (i) B=X; (ii) =X; (ii) B B1 1, B, B2 2 B, x, x B B1 1BB2 2, , B B3 3 B使使x x B B3 3 B B1 1BB2 2. . 反 之反 之 , , 若 集 合若 集 合 X X 的 子 集 族的 子 集 族B满 足满 足 ( 1 )( 1 ) 、 ( 2 ) , ( 2 ) , 定 义定 义T=B1 1| |B1 1 B, , 则则T是是X X的以的以B作为基的唯一拓扑作为基的唯一拓扑. . 证证 验证验证T是是X X的拓扑的拓扑.

36、(1) . (1) =. (2) . (2) 先设先设B B1 1, B, B2 2 B, , x x B B1 1BB2 2, , WWx x B使使x x WWx x B B1 1BB2 2, , 于是于是B B1 1BB2 2=WWx x| | x x B B1 1BB2 2 T. . 如果如果A A1 1, A, A2 2 T, , 设设A A1 1=B1 1, A, A2 2=B2 2, , 则则A A1 1AA2 2= B= B1 1BB2 2|B|B1 1 B1 1, B, B2 2 B2 2 T. (3) . (3) 设设T1 1 T, , A A T1 1, , B BA A B, , 使得使得A=A=BA A, , 那么那么T1 1=(=(BA A|A|A T1 1).). 较强于较强于(ii)(ii)且易于验证的条件是且易于