数学物理方法-ch2复变积分

1、1 1 1第二章第二章 复变函数积分复变函数积分2 2讲 授 要 点u复变积分的定义和基本性质u复变积分的计算u柯西积分定理u柯西积分公式及其推论3 3u吴崇试，数学物理方法第三章说 明4 4复变积分u定义设C是复平面上的曲线，函数f(z)在C上有定义。将曲线C任意分割为n段，分点为z0=A,z1,z2,zn=B, 是zk-1 zk 段上的任意一点，作和数若当n,max|zk|0时，此和数的极限存在，且与 的选取无关，则称此极限值为函数f(z)沿曲线C的积分，记为A xyo Bz0zncz1zk-1zkkn1kkkn1k1 -kkkz)f()z-)(zf( n1kkk0maxcz)f(limd

2、zzfkzkk5 5u表示 一个复变积分实际上是两个实变线积分的有序组合 ccccvdxudyivdyudx idydxivudzzf因此，如果C是分段光滑曲线，f(z)是C上的连续函数，则复变积分一定存在。6 6u复变积分的基本性质cncccndzzfzzfzzfzzfzfzf)(d)(d)(d)()()(2121nCCCCdzzfzzfzzfzf)(d)(d)(d21 如果积分 ， ， ， 都存在，则 c1dzzf c2dzzf cndzzf 若C=C1+C2+Cn，则7 7 ，其中C-为C的逆向CCdzzfdzzf)()( ，其中a为C常数CCdzzfadzzaf)()( CCdzzfd

3、zzf)()( ，其中M为|f(z)|在C上的上界，l为C的长度 MldzzfC)(8 8Oi1(1,i)()Ciidyxdxzdz101021Re()Cxdxzdz1021Re例1 求 ，C为()沿实轴01，再平行于虚轴11+i;()沿虚轴由0i,再平行于实轴i1+i；()沿直线01+i。cdz Rez()Citdtizdz10)1 (21)1 (Re9 9例2 计算积分 ，c分别取c1和c2 c1的参数方程 c2的参数方程czzd1 ,1,iyyz223i,ezidiid111yyzzci2deedii2223czzO-iic1c21010u评述 n1kkk0maxcz)f(limdzzf

4、kz显然，复变函数的数值依赖于被积函数端点位置，即积分的“上下限”积分路径1111柯西定理u问题： 积分 的值在什么情况下只与积分的起点和终点有关而与积分路径无关？u基本思想： 解析函数的导数特征 czzfd1212u柯西定理讨论积分值与 积分路径之间的关系u与涉及的区域有关u需要区别两种区域：单连通区域：在区域内作任何简单的闭合围道，围道内的点都属于该区域复连通区域，或称多连通区域1313单连通区域的柯西定理CG如果函数f(z)在单连通区域 内解析，则沿 内任何一个分段光滑的闭合围道C有这里的C可以是 的边界。G 0dCzzfGG1414证：为简单起见，更强的条件下证明这个定理。 附加的条件

5、是 在 中连续Green公式 0 did ddidddSSCCCSyvxuSyuxvyuxvyvxuzzfDDSyPxQyQxPdddG)(zf 1515单连通区域的柯西定理如果函数f(z)在单连通区域 内解析，则沿 内任何一个分段光滑的闭合围道C有 这里的C可以是 的边界。 0dCzzfGGG说明：l这里所说的单连通区域，只限于有界区域，不能是(绕点的)无界区域l即时f(z)在点解析，它绕点一周的积分也可以并不为01616推论：若f(z)在单连通区域 中解析，则复变积分 与路径无关。Gzzdzzf0)(1717不定积分：既然在单连通区域中解析函数的积分与路径无关，因此，如果固定起点z0，而令

6、终点z为变点，则作为积分上限的函数是单连通区域G内的单值函数，称为f(z)的不定积分。)()(0zFdzzfzz1818z0zz+zz定理(不定积分的解析性)如果函数f(z)在单连通区域G内解析，则也在G内解析，并且)()(0zFdzzfzz)()()(0zfdzzfdzdzFzz证明：只要直接求出F(z)的导数即可。为此，设z是G内一点，z+z是它的邻点，则dfzFzz0)()(dfzzFzzz0)()(1919因为积分与路径无关，所以dfzzzzFzFzzz)(1)(由此可得zzzzzzzzzdzffzdzffzzfdfzzfzF)()(1)()(1)()(1)(由于f(z)是连续的，故对

7、于任给的0，存在0，使当|z|时，|f()-f(z)|,所以zzzfzF1)()(lim)(0zfzFzFz2020定义：原函数如果函数 的导数 ，则 称为f(z)的原函数。)()(zfz )(z)(zl f(z)的不定积分就是f(z)的一个原函数l 对于给定的f(z)来说，原函数不唯一l 任意两个原函数之间只相差一个常数 因为若1(z)与2(z)都是f(z)的原函数，则)()(1zfz )()(2zfz 0)()(21zz2121l 知道了被积函数的原函数，可使复变积分的计算大为简化l 对于给定的f(z)来说，原函数不唯一l 设(z)为f(z)的原函数，则f(z)的不定积分 但显然有zzCz

8、dzzfzF0)()()()(0)()(000zCCzzF)()()(00zzdzzfzz2222例3 计算积分 ，n为整数。 bandzz1111nnbanabndzz当n为自然数时，zn在全平面解析， 是它的一个原函数。因此，对于z平面上的任意一条积分路线，均有111nzn23231111nnbanabndzz当n=-2,-3,-4,时，zn在不包含z=0点在内的任意一个单连通区域内解析，其原函数仍可取为 。因此，仍有111nzn而且此结果对于不包含z=0点在内的任意（单连通或复连通）区域均成立。2424当n=-1时，z-1也是在不包含z=0点在内的任一区域内解析，但其原函数应为lnz。因

9、此，在不包含z=0的任一单连通区域内abzdzbalnln2525如果f(z)是复连通区域 中的单值解析函数，则其中C0,C1,C2,Cn是构成复连通区域 的边界的各个分段光滑闭合曲线，C1,C2,Cn都包含在C0的内部，而且所有的积分路径走向相同。G niCCidzzfzzf1)(d0G复连通区域的柯西定理2626a1b1a2a3b2b3G复连通区域的柯西定理(要点)如果f(z)是复连通区域 中的单值解析函数，则 niCCidzzfzzf1)(d0不妨取C0,C1,C2,Cn均为逆时针方向。做适当的割线把C1,C2,Cn和C0连接起来，从而得到一个单连通区域，f(z)在单连通区域内解析，因而

10、可以应用单连通区域的柯西定理。2727复连通区域的柯西定理(要点)如果f(z)是复连通区域 中的单值解析函数，则 niCCidzzfzzf1)(d0a1b1a2a3b2b30)()()()()()()()()()(22222111011dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfnnnnnabCbaabCbaabCCbaG2828例4 计算积分 ，n为整数，C为逆时针方向。 dzzCn 当n为自然数时，按照单连通区域柯西定理0dzzCn 当n为负整数时，若C内不含z=0,则也有0dzzCn 若C内含有z=0,则按复连通区域柯西定理, 4, 3, 2, 01,

11、2)(20)1(120nniideideedzzdzzniinzinCn2929总结上面的结果，就有其他情形内含有且, 00C, 1,2znidzzCn或者，更一般地其他情形内含有且, 0C, 1,2)(aznidzazCn3030例5 计算积分 I ( n 为整数） lnzazId)(l a a31311. 如果 l 不包含 a 点，被积函数总解析,按柯西定理， I=0;2. 如果 l 包含 a 点,又要分两种情况：n0，因被积函数解析， 故 I=0;n0，被积函数在l 内有奇点 a。lnzazId)(解：3232un0czzzzId)sine|(|czzz0dsinecczazzI0dd|

12、显然函数ezsinz 在复平面上处处解析，由 Cauchy定理知 故解：3636两个有用的引理引理1：适用于半径无穷小的圆弧引理2：适用于半径无穷大的圆弧3737引理1若函数f(z)在z=a点的(空心)邻域内连续，且当1arg(z-a) 2|z-a|0时，(z-a)f(z)一致地趋近于k,则Cikdzzf)()(lim120其中C是以z=a为圆心，为半径，夹角为2-1的圆弧。引理2设f(z)在点的邻域内连续，当1arg(z-a) 2，z时，zf(z)一致地趋近于K,则RCRiKdzzf)()(lim120其中CR是以原点为圆心，R为半径，夹角为2-1的圆弧。证明略证明略3838Cauchy积分公式有界区域的Cauchy积分公式无界区域的Cauchy积分公式3939若f(z)是区域 内的单值解析函数， 的边界C是分段光滑曲线，a为G内一点，则其中积分路线沿C的方向。 Czazzfafdi210cckczD定义：有界区域的Cauchy积分公式GG4040证：在G内作圆|z-a|0内解析，由 Cau