最新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系11锐角三角函数第一课时

1、第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 1. 1.锐角三角函数（锐角三角函数（1 1）北师大版九年级数学下册北师大版九年级数学下册w从梯子的倾斜程度谈起从梯子的倾斜程度谈起 自学指导自学指导1你能比较两个梯子哪个更你能比较两个梯子哪个更陡吗？陡吗？5m2m AB C5m 2.5mEFD比眼力比速度比眼力比速度: : 哪个梯子更陡？哪个梯子更陡？（1）（2）5m2m AB C4m 2mEFD（1）（2）比眼力比眼力 比速度比速度: : 哪个梯子更陡？哪个梯子更陡？w小颖的问题小颖的问题, ,如图如图: :?梯子梯子ABAB和和EFEF哪个更哪个更陡？你是怎样判断陡？你是怎样判断的

2、？的？1.3m1.5m3.5m4mABCDEF同类问题多种变化同类问题多种变化梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 水平宽度水平宽度铅直高度铅直高度倾斜角倾斜角在实践中探索新知在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？

3、在实践中探索新知在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度铅直高度水平宽度水平宽度倾斜角倾斜角梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度铅直高

4、度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度铅直高度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度铅直高度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度

5、铅直高度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知 倾斜角越大倾斜角越大梯子梯子陡陡铅直高度与铅直高度与水平宽度的水平宽度的比越大比越大梯子梯子陡陡探索发现探索发现5 m3m ABC4m 2m E DF理论应用于实际：理论应用于实际： 哪个梯子更陡？哪个梯子更陡？ 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离的距离B B1 1 C C1 1 , ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该进而无法刻画梯子的倾斜程度，

6、他该怎么办？你有什么锦囊妙计？怎么办？你有什么锦囊妙计？ A AC C1 1C C2 2B B2 2B1 1 AB1 C1 C2B2想一想想一想 AB1 C1 C2B2想一想想一想( (2 2) ) 和和 有什么关系有什么关系? ?111ACCB222ACCB( (1 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么关系有什么关系? ?( (3 3) )如果改变如果改变B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? ?由感性到理性由感性到理性 AB1 C1 C2B2想一想想一想( (1

7、 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么关系有什么关系? ?( (2 2) ) 和和 有什么关系有什么关系? ?111ACCB( (3 3) )如果改变如果改变B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? ?由感性到理性由感性到理性222ACCB AB1 C1 C2B2想一想想一想( (1 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么关系有什么关系? ?( (2 2) ) 和和 有什么关系有什么关系? ?1

8、11ACCB( (3 3) )如果改变如果改变B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? ?由感性到理性由感性到理性222ACCB AB1 C1 C2B2想一想想一想( (1 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么关系有什么关系? ?( (2 2) ) 和和 有什么关系有什么关系? ?111ACCB( (3 3) )如果改变如果改变B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? ?由感性到理性由感性到理性222ACCB AB1

9、 C1 C2B2想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形AB2C2有什么关系有什么关系?(2) 和和 有什么关系有什么关系?111ACCB(3)如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?由感性到理性由感性到理性222ACCB AB CA A的对边的对边A A的邻边的邻边A A的的对边对边A A的的邻边邻边tanAA A的正切的正切在在RtRtABCABC中中, , 如果如果锐角锐角A A确定确定, ,那么那么A A的对边与邻边的比的对边与邻边的比随之确定随之确定,这个比叫做这个比叫做A A的正切的正切. .

10、记作记作:tanA读？读？思考思考 前面我们讨论了梯子前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程的倾斜程度，梯子的倾斜程度与度与tanA有关系吗有关系吗？w如图如图, ,梯子梯子ABAB1 1的倾斜程度的倾斜程度w与与tanAtanA有关吗有关吗? ?w与与A A有关吗有关吗? ? 议一议议一议P4u与与tanAtanA有关有关: :tanAtanA的值越大的值越大, ,梯子梯子ABAB1 1越陡越陡. .AB1C2C1B2u与与A A有关有关:A:A越大越大, ,梯子梯子ABAB1 1越陡越陡. .w鉴宝专家鉴宝专家-是是真真是是假假：随堂练习随堂练习P6w老师期望:你能从中悟出点东西.(1

11、).如图 (1)( ). ACBCA tanABCABC7m10m(1)(2)(2).如图 (2)( ). BCACA tan(3).如图 (2)( ). ABBCA tan(4).如图 (2)( ). 710tanB (6).如图 (2)( ). 7 . 0tan7 . 0tan, 7 . 0tanAAA或(5).如图 (2)( ). A7 . 0tan二二. . 填空填空: :1.tan1.tan = = tan tan = = 2.2.如图如图, ACB=90, ACB=90CDAB.CDAB. tanACDtanACD= = tanBtanB= = _ _ _ _ _ _ACBDABC

12、BCACBCCDADBAACBDCDBCACtanAtanBtanAtanB = =_1CDADw例例1 1 下图表示两个自动扶梯下图表示两个自动扶梯, ,哪一个自动扶梯哪一个自动扶梯比较陡比较陡? ? 例题欣赏例题欣赏w解:甲梯中,6m乙乙8m5m甲甲13m乙梯中,.1255135tan22.4386tantantan tantan,乙梯更陡乙梯更陡. .w老师提示老师提示: :生活中生活中, ,常用常用一个锐角的一个锐角的正正切切表示梯子的表示梯子的倾斜程度倾斜程度. .用数学去解释生活用数学去解释生活w如图如图, ,正切也经常用来描述山坡的坡度正切也经常用来描述山坡的坡度. .例例如，有

13、一山坡在水平方向上每前进如，有一山坡在水平方向上每前进100m100m就升就升高高60m,60m,那么山坡的那么山坡的坡度坡度i i( (即即tantan) )就是就是: :w老师提示老师提示: : 坡面与水平面的夹角称为坡面与水平面的夹角称为坡角坡角, ,坡面的铅直高度与水平宽坡面的铅直高度与水平宽度的比称为度的比称为坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡度等于坡角的正切坡度等于坡角的正切. .5310060tani100m60mi1 1. .如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边和邻边同时扩的对边和邻边同时扩大大100100倍倍, ,tanAtanA的

14、值（的值（ ）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定 随堂练习随堂练习2 2. .在在RtRtABCABC中中, ,已知已知A,BA,B为锐角为锐角(1)(1)若若A=B,A=B,则则tanAtanA _ _tanBtanB; ;(2)(2)若若tanAtanA= =tanBtanB, ,则则A A B.B.ABCC C= = =3 3. .如图如图, C=90, C=90, ,CDAB.CDAB. 随堂练习随堂练习4 4. .在上图中在上图中, ,若若BD=6,CD=12.BD=6,CD=12.求求tantanB B的值

15、的值. .w老师提示老师提示: :w模型模型“双垂直三角形双垂直三角形”的有关性质的有关性质. .ACBD.tanA( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CDCDAD AD BCBCACACBDBDCDCDw5 5. .如图如图, ,分别根据图分别根据图(1)(1)和图和图(2)(2)求求tanAtanA的值的值. .随堂练习随堂练习ACB34ACB34(1)(2)6 6. .在等腰在等腰ABC,AB=AC=13,BC=10,ABC,AB=AC=13,BC=10, 求求tanBtanB. .ACBD 随堂练习随堂练习w7 7. .在梯形在梯形ABCDABCD中中,AD/BC,AB=DC=

16、13,AD/BC,AB=DC=13, AD=8,BC=18.AD=8,BC=18.求求: :tanBtanB. .w老师提示老师提示: :w作梯形的高是梯形的常用辅助作梯形的高是梯形的常用辅助, ,借助它可以转借助它可以转化为直角三角形化为直角三角形. .ADBcFE定义的几点说明：定义的几点说明：1）初中阶段，初中阶段，正切正切是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的， A是一个是一个锐角锐角. 2） tanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A A的正切，的正切，记号里习惯省去角的符号记号里习惯省去角的符号“”。但。但BAC的正切的正切表示为表示为:tanBAC,1的正

17、切表示为的正切表示为:tan1.3） tanA0 且且没有单位，它表示一个比值，即直没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角角三角形中锐角A的对边与邻边的比（的对边与邻边的比（注意顺注意顺序：序： ）.4）tanA不表示不表示“tan”乘以乘以“A ”.5） tanA的大小只与的大小只与A的大小有关的大小有关，而与而与直角三直角三角形的边长角形的边长无关无关邻对定义的几点说明：定义的几点说明：1 1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， A A是一个锐角是一个锐角. . 2 2） tanAtanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A

18、A的正切，的正切，记号里习惯省去角的符号记号里习惯省去角的符号“”“”。但。但BACBAC的正切的正切表示为表示为:tanBAC.1:tanBAC.1的正切表示为的正切表示为:tan1.:tan1.3 3） tanAtanA0 0 且没有单位，它表示一个比值，即直且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角角三角形中锐角A A的对边与邻边的比（注意的对边与邻边的比（注意顺序：顺序： ）. .4 4）tanAtanA不表示不表示“tan”tan”乘以乘以“A ”.A ”.5 5） tanAtanA的大小只与的大小只与A A的大小有关，而与直角三的大小有关，而与直角三角形的边长无关角形的边长无关

19、. .邻对大胆尝试大胆尝试 练一练练一练EDACB2、某人沿一斜坡的底端、某人沿一斜坡的底端B走了走了10米到达米到达点点A，此时点，此时点A到地面到地面BC的垂直高度的垂直高度AC为为6米，则斜坡米，则斜坡AB的坡度为多少？的坡度为多少？正切也经常用来描述山坡的坡度正切也经常用来描述山坡的坡度BAC分析分析:坡度坡度tanBRtABC:BCAC勾股定理求勾股定理求:BC6m10m3 3、一个直角三角形两边长分别为、一个直角三角形两边长分别为3 3、4 4，则则较小较小的锐角的正切值是的锐角的正切值是_._.4 4、如图，山坡、如图，山坡ABAB的坡度为的坡度为512512，一辆，一辆汽车从山脚下汽车从山脚