材料力学刘冯文第五版8组合变形

1、1总目录总目录2 一一. 组合变形组合变形的的概念概念 构件构件在在荷载荷载作用下发生作用下发生两种两种或或两种两种以上的以上的基本变形基本变形, 则则构件构件的的变形变形称为称为 组合变形组合变形 。二二. 解决组合变形问题的基本方法解决组合变形问题的基本方法 叠加法叠加法1. 叠加原理叠加原理: 几种外力几种外力共同作用共同作用下下, 在在弹性体内部弹性体内部引起的引起的效应效应等于等于 每个外力每个外力单独作用单独作用下引起的下引起的效应效应的的代数和代数和或或几何合。几何合。2. 应用应用叠加原理的叠加原理的条件条件： 小变形小变形下下, 内力，应力，应变，变形内力，应力，应变，变形等

2、与等与外力之间外力之间 成成线性关系线性关系。8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理31. 外力分析外力分析: 将将外力外力向向截面形心截面形心简化简化, 将将组合变形组合变形分解分解为为基本变形基本变形的的组合组合, 使使每个力每个力( 或或力偶力偶 )对应对应一种一种基本变形。基本变形。 3. 应力分析应力分析: 分析分析危险点危险点的的应力状态应力状态, 利用利用强度理论强度理论给出的给出的 强度条件强度条件进行进行强度计算强度计算.三三. 处理组合变形下强度计算的的基本方法处理组合变形下强度计算的的基本方法 2. 内力分析内力分析: 求每个求每个外力分量外力分量对应的对应的内力内

3、力, 必要时必要时画出画出内力图内力图， 确定确定危险截面危险截面。分别分别计算计算在每一种在每一种基本变形基本变形下下构件构件 的的应力应力, 确定确定危险截截面上危险截截面上的的危险点危险点.4研究对象研究对象: 圆截面杆。圆截面杆。受力特点受力特点: 杆件杆件同时同时承受转矩承受转矩和和横向力横向力作用。作用。变形特点变形特点: 发生发生扭转扭转和和弯曲弯曲两种两种基本变形。基本变形。解决问题解决问题: 强度计算强度计算 (校核强度校核强度, 选择直径选择直径, 确定许可载荷确定许可载荷)8-1 1 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合BACDyz5kN10kN300mm300mm100mm

4、x1.82kN3.64kNzF1F2xyABl/2l/2m5一一. 内力分析内力分析 设一设一直径直径为为 d 的的等直圆杆等直圆杆 AB , B 端端具有与具有与 AB 成成直角直角的的刚臂刚臂, 研究研究 AB 杆杆的的内力内力。 将将力力 F 向向 AB 杆右端截面杆右端截面的的形心形心 B 简化简化得得: 横向力横向力 F （引起引起平面弯曲平面弯曲） 力偶矩力偶矩 m = Fa （引起引起扭转扭转） AB 杆杆为为弯曲弯曲和和扭扭转转组合变形组合变形BFmxlaABCF6画画内力图内力图确定确定危险截面危险截面固定端固定端 A 截面截面为为危险截面危险截面AAFmmFl7A截面截面

5、C3C4T C3C4 C2C1二二. 应力分析应力分析 C2C11. 危险截面上危险截面上的的最大弯曲正应力最大弯曲正应力 发生在发生在 C1 、C2 处处, 最大扭转切应力最大扭转切应力 发生在发生在截面周边上截面周边上的的各点各点处。处。2. 危险截面上危险截面上的的危险点危险点为为 C1 和和 C2 点。点。 对于对于许用拉、压应力许用拉、压应力相等的相等的塑性材料塑性材料制成的制成的杆杆, 这这两点两点 的的危险程度危险程度是是相同的相同的, 可取可取任意点任意点 C1 来研究。来研究。3. C1 点点处于处于平面应力状态平面应力状态, 该该点点的的单元体单元体如图示。如图示。C1 8

6、三三. 强度分析强度分析1. 主应力计算主应力计算2222314212)2(2 02 2. 相当应力计算相当应力计算 第三强度理论第三强度理论: 相当应力相当应力223134r 第四强度理论第四强度理论: 相当应力相当应力2243rC1 3. 强度校核强度校核 r91 该该公式公式适用于适用于图示图示的的平面应力状态平面应力状态， 是是危险点危险点的的正应力正应力， 是是危险点危险点的的切应力切应力,且且横截面横截面不限于不限于圆形截面。圆形截面。 讨讨 论论223134 r2243 rC1 该该公式公式适用于适用于 弯弯, 扭扭 组合变形；组合变形； 拉拉 (压压) 与与 扭转扭转 的的组合

7、变形组合变形; 以及以及 拉拉 (压压) , 扭转扭转 与与 弯曲弯曲 的的组合变形。组合变形。10弯、扭组合变形弯、扭组合变形时时, 相应的相应的相当应力相当应力的的表达式表达式可改写为可改写为WTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMWTWMtr222222475. 0)(3)(3对于圆形截面杆有对于圆形截面杆有21623dWWt C1 式中式中： W 为为杆杆的的抗弯截面系数抗弯截面系数。 M，T 分别为分别为危险截面危险截面的的弯矩弯矩和和扭矩扭矩. 以上以上两式两式只适用于只适用于弯弯, 扭扭 组合变形组合变形下的下的圆截面杆圆截面杆。11 例题例题1 传动轴传动轴如图所示。

8、在如图所示。在 A 处处作用一个作用一个外力偶矩外力偶矩 m=1kNm , 皮带轮直径皮带轮直径 D=300mm , 皮带轮紧边皮带轮紧边 拉力拉力为为 F1 , 松边拉力松边拉力为为 F2 。且。且 F1=2F2 , L=200mm , 轴轴的的许用应力许用应力 =160MPa 。 试试: 用用第三强度理论第三强度理论设计设计轴轴的的直径。直径。zF1F2xyABl/2l/2m解：解：将将力力向向轴轴的的形心形心简化简化,22)(221DFDFFm，kN3202FkN20FmmF=3F2 轴轴产生产生扭转扭转和在和在垂直垂直的的纵向对称面内纵向对称面内的的平面弯曲平面弯曲12+T=1kNm中

9、间左截面中间左截面为为危险截面危险截面+1kNm1223 TMWr323dW mm83.44dmmF=3F2mkN1TmkN1maxM13例题例题2 图图 示一示一钢制实心圆轴钢制实心圆轴, 轴上轴上的的齿轮齿轮 C 上作用有上作用有 齿轮齩合力齿轮齩合力的的铅垂分量铅垂分量 5 kN , 径向分量径向分量 1.82 kN ; 齿轮齿轮 D 上作用有上作用有齿轮齩合力齿轮齩合力的的水平分量水平分量 10 kN , 径向分量径向分量 3.64 kN 。齿轮齿轮 C 的的 节圆直径节圆直径 d1 = 400 mm , 齿轮齿轮 D 的的节圆直径节圆直径 d2 =200 mm 。 设设许用应力许用应

10、力 =100 MPa , 试：试：按第四强度理论求轴的直径。按第四强度理论求轴的直径。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN14解：解：(1) 外力的简化外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化1 kNm 使使轴轴CD段段产生扭转产生扭转 5kN ， 3.64kN 使使轴轴在在 xz 纵对称面纵对称面内内产生弯曲产生弯曲1.82kN ，10kN 使使轴轴在在 xy 纵对称面纵对称面内内产生弯曲产生弯曲 (2) 轴的变形分析轴的变形分析xyzACBD5kN1kNm1.82kN3.64kN10kN1kN.mB

11、ACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN两个方向弯曲和扭转的组合变形两个方向弯曲和扭转的组合变形xyzACBD5kN1kNm1.82kN3.64kN10kN1kN.m15T = 1kNm 由于通过由于通过圆轴圆轴轴线轴线的的任一任一平面平面都是都是纵向对称平面纵向对称平面,故故轴轴在在xz 和和 xy 两平面内两平面内的的弯矩弯矩的的合成弯矩合成弯矩仍作用在仍作用在纵向平面纵向平面内内, 从而可用从而可用总弯矩总弯矩来计算来计算该截面正应力。该截面正应力。1CT 图图-xyzACBD5kN1kNm1.82kN3.64kN10kN1kN.m(3) 绘制轴的

12、内力图绘制轴的内力图mkN36. 0mkN57. 0 yByCMMmkN1mkN227. 0 zBzCMMMy图图0.57CB0.36zMz图图0.2271CByxz 平面内弯曲平面内弯曲xy 平面内弯曲平面内弯曲CD段扭转段扭转161Dnwwn1Dwn17B 截面截面是是危险截面危险截面(4) 危险截面上的内力计算危险截面上的内力计算mkN227.0mkN57.0zCyC MMmkN1mkN36.0zByB MMmkN1 CBTTB、C 截截面的总弯矩为面的总弯矩为mkN063. 122 zByBBMMMmkN36. 022 zCyCCMMM1kNmCT图图-Mz图图0.2271CBy0.3

13、6kNmMy图图0.57kNmCBz18(5) 由强度条件求轴的直径由强度条件求轴的直径 WWTMBBr137275. 0224323dW轴轴需要的需要的直径直径为为mm.9 95 51 11 10 01 10 00 01 13 37 72 23 32 23 36 6 d19一一. 受力特点受力特点杆件杆件将发生将发生拉伸拉伸 (压缩压缩 ) 与与弯曲弯曲组合变形组合变形作用在作用在杆件上杆件上的的外力外力既有既有轴向拉轴向拉( 压压 )力力, 还有还有横向力。横向力。二二. 变形特点变形特点8-2 拉伸拉伸(或压缩或压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合示例示例 1 : F1 产生产生弯曲变形弯曲变

14、形 F2 产生产生拉伸变形拉伸变形示例示例 2 : Fy 产生产生弯曲变形弯曲变形 Fx 产生产生拉伸变形拉伸变形F FyFxF1F2F220三三. 内力分析内力分析 (横截面上内力横截面上内力)2. 弯曲弯曲 : 弯矩弯矩 MZ , 剪力剪力 FS1. 拉拉(压压) : 轴力轴力 FN 。( 因为引起的因为引起的剪应力剪应力较小较小, 故一般故一般不考虑不考虑 ) 横截面横截面上上任意一点任意一点 ( z, y) 处处的的正应力正应力计算公式计算公式为为四四. 应力分析应力分析1. 拉伸正应力拉伸正应力2. 弯曲正应力弯曲正应力AFN zzIyM zzNIyMAF xy0zMZFN( z,y

15、)可见可见截面上截面上各点可看成各点可看成单向应力状态单向应力状态21轴力轴力所以所以跨中截面跨中截面是是杆杆的的危险截面危险截面2FFN F1F2F2l/2l/241maxlFM 3. 危险截面的确定危险截面的确定作作内力图内力图弯矩弯矩xxFN图图M图图F2F1l/4AFNt WMbmax -4. 计算危险点的应力计算危险点的应力拉伸正应力拉伸正应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力AFt2 WlFWMb41max 杆危险截面杆危险截面 :下边缘下边缘, 各点各点 处处的的拉应力拉应力为为WlFAFbtt412max 22 当当材料材料的的许用拉应力许用拉应力和和许用压应力许用压应力不相等时不相

16、等时， 应应分别分别建立建立杆件杆件的的抗拉、抗压抗拉、抗压强度条件强度条件。 五五. 强度条件强度条件由于由于危险点处危险点处的的应力状态应力状态仍为仍为单向应力状态单向应力状态, 故其故其强度条件强度条件为为max maxtt maxcc 23AB 杆杆为为平面弯曲平面弯曲与与轴向轴向压缩压缩组合变形组合变形。D 截面截面为为危险截面危险截面, 最大压应力最大压应力发生在该发生在该截面截面的的上边缘上边缘。解：解：(1) 分析分析 AB 的的受力情况受力情况02 . 14 . 230sin0 FFmNABAFFNAB FFFFFFRAyyRAxx5 . 00866. 00 BADFFRAy

17、FRAxFyFxFNAB30FACD1.2m1.2m30B 例题例题3 悬臂吊车悬臂吊车如图所示。如图所示。横梁横梁用用 20a 工字钢工字钢制成。制成。 其其抗弯抗弯模量模量为为 Wz = 237cm3 , 横截面面积横截面面积为为 A=35.5cm2 ， 总荷载总荷载 F= 34kN , 横梁材料横梁材料的的许用应力许用应力为为 =125MPa。 求求: 校核校核横梁横梁 AB 的的强度强度。02 . 14 . 230sin0 FFmNABAFFFFFFRAyyRAxx5 . 00866. 00 24(2). 压缩正应力压缩正应力(3). 最大弯曲正应力最大弯曲正应力AFAFRAx866.

18、 0 zzRAybWFWF6 . 02 . 1max MPa37.946 . 0866. 0maxzcWFAF(4). 危险点的应力危险点的应力BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30 xxFN图图M图图F2Fl/4AFNt WMbmax - -25例题例题 4 小型压力机小型压力机的的铸铁框架铸铁框架如图所示。如图所示。 已知已知: 材料材料的的许用拉应力许用拉应力 t =30MPa ， 许用压应力许用压应力 c =160MPa。 试试: 按按立柱立柱的的强度强度确定确定压力机压力机的的许可压力许可压力 F 。350FFyzz0：解：(1) 确定确定形心位置形心

19、位置A=15 10-3 m2Z0 =7.5cmIy = 5310cm4计算计算截面截面对对中性轴中性轴 y 的的惯性矩惯性矩26FnnFNMy(2) 分析立柱横截面上的内力和应力分析立柱横截面上的内力和应力: 在在 nn 截面上截面上有有轴力轴力 FN 及及弯矩弯矩 MyFFNnn350FFyzz0由轴力轴力 FN 产生的产生的拉伸正应力拉伸正应力为为MPa1 15 5FAFN F2105 .42FMy10)5 . 735(2 把把外力外力向向截面形心截面形心简化简化27由由弯矩弯矩 My 产生的产生的最大弯曲正应力最大弯曲正应力为为yytIMz0max yycIzM

20、1max 拉拉5050150150yzz0z1)(MPa53105 . 7425F)(MPa53105 .12425FFnnFNMy压压（3）叠加）叠加: 在在截面内侧截面内侧有有最大拉应力最大拉应力maxmax tt F 45.1 kN53105 . 742515tFF+在在截面外侧截面外侧有有最大压应力最大压应力F 171.3 kN所以取所以取 F 45.1 kN maxc53105 .12425cFAF28 例题例题5 正方形截面立柱正方形截面立柱的的中间处中间处开一个开一个槽槽, 使使截面面积截面面积 为为原来截面面积原来截面面积的的一半一半。 求求:开槽后开槽后立柱立柱的的的的最大压

21、应力最大压应力是原来是原来不开槽不开槽的的几倍几倍。FFa aa a29FFa/2未开槽前立柱为轴向压缩未开槽前立柱为轴向压缩解：解：2214)2(aFaFAFAFN 11Fa a开槽后开槽后1-1是危险截面是危险截面危险截面危险截面处于处于偏心压缩状态偏心压缩状态将将力力 F 向向1-1形心形心简化简化 最大压应力最大压应力在在截面截面 1-1 右侧右侧WMAFN2未开槽前未开槽前立柱立柱的的最大压应力最大压应力开槽后开槽后立柱立柱的的最大压应力最大压应力8 84 42 22 22 2 aFaF/2222612/2aFaaFaaaF30例题例题6 矩形截面柱矩形截面柱如图所示如图所示, F1

22、 的的作用线作用线与杆与杆轴线轴线重合重合, F2 作用在作用在 y 轴轴上。上。 已知已知: F1= F2=80kN，b=24cm , h=30cm 。 求求:要使要使柱柱的的 m-m 截面截面只出现只出现压应力压应力, F2 的的偏心距偏心距 e 。yzebhF1F2mm31解：解：(1) 外力分析外力分析 将力将力 F2 向向截面形心截面形心简化简化后后, 梁上梁上的的外力外力有有轴向压力轴向压力力偶矩力偶矩yzebhF1mmF2mz21FFFeFmz2(2) m-m 横截面横截面上的上的内力内力有有轴力轴力 弯矩弯矩 21FFFNeFMz232轴力轴力产生产生压应力压应力弯矩弯矩产生的

23、产生的最大正应力最大正应力AFFAFN21 6/22bheFWMzz (3)(3)依题的要求依题的要求, ,整个截面整个截面只有只有压应力压应力06/2221 bheFAFF 得得 6/ )2(221bhFAFFe yzebhF1mmF2mz33 8-3 偏心拉（压）偏心拉（压） 截面核心截面核心1. 特点特点: 当当外力作用线外力作用线与与杆杆的的轴线轴线平行平行但但不重合不重合时时, 将引起将引起 轴向拉伸轴向拉伸 (压缩压缩) 和和平面弯曲平面弯曲两种两种基本变形基本变形的的组合组合。 一一. 偏心拉（压）偏心拉（压）O1yzFA(yF,zF)34 例例: 一一折杆折杆由两根由两根圆杆焊

24、接圆杆焊接而成，而成， 已知已知: 圆杆圆杆直径直径 d=100mm， 试求试求: 圆杆圆杆的的最大拉应力最大拉应力 t 和和最大压应力最大压应力 c 。10kN35XYAA34kNkN解：解：把把支反力支反力向向杆件轴向杆件轴向和和截面切向截面切向分解分解kN3AXNmkN8kN3MN，WMANctMPa9.811.813210841033323dd10kNxxYxMA4)(kN4AYQMWNAMW任意任意截面截面 x 上上的的内力内力1-1 截面截面 为为危险截面危险截面, 其上其上36矩形截面杆矩形截面杆的的偏心拉伸偏心拉伸或或压缩：压缩：yzabcdyzFFbcdFaF37yzcdPbPaPdcFAFN62cdaFWMyy62dcbFWMzzyzFbFaF38dcFAFN62cdaFWMyy62dcbFWMzz121233dcybFcdzFadcFIyMIzMAFzzyyN6622dcbFcdaFdcFWMWMAFNzzyyNtc截面上最大应力截面上最大应力截面上截面上任意点任意点应力应力00 zzyyNIyMIzMAF 0CyBzA39yz中性轴中性轴O 为为一条一条不