循环矩阵的探讨

1、四川师范大学本科毕业论文循环矩阵的探讨学生姓名王云肖院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班 级 2011级 3 班学 号 2011060344指导教师 柏明强完成时间 2015年5月5日循环矩阵的探讨数学与应用数学专业学生姓名：王云肖 指导教师：柏明强摘要: 本文主要介绍了一类特殊的矩阵-循环矩阵.介绍了循环矩阵的概念,代数运算性质,特征值和特征向量的概念以及求法,对角化问题.关键词: 循环矩阵;特征值;特征向量;对角化. The discussion of cyclic matrixSpecialization: Mathematics and Applied Mathemati

2、csUndergraduate: Wang Yunxiao Supervisor: Bai MingqiangAbstract ： This article mainly introduces a special kind of matrix - cyclic matrix. It introduces the concept , the algebraic operation properties, the concept of eigenvalue and eigenvector and the calculation method ,the problemof diagonalizati

3、on of cyclic matrix.Key words: cyclic matrix, eigenvalue, eigenvector, diagonalizable. 目录摘要:I1.循环矩阵的产生背景12.循环矩阵的代数性质12.1循环矩阵的概念12.2循环矩阵的运算性质23.循环矩阵的特征值与特征向量53.1循环矩阵特征值与特征向量的概念以及性质53.2循环矩阵特征值与特征向量的一般求法63.2.1 基本计算法63.2.2 特殊法64.循环矩阵对角化74.1循环矩阵可角化的概念以及性质74.2对角化的应用85.结束语9参考文献：91.循环矩阵的产生背景 循环矩阵的概念是T Muir在

4、1885年最先提出的, 一直到1950到1955年, Good等才对其逆, 行列式和特征值进行研究. 循环矩阵是一种很重要的矩阵,在很多领域中都有广泛的应用.如在数理统计,编码理论,理论物理,固态物理,数学图象处理,分子轨道理论等方面应用很广.循环矩阵逆特征值问题,在力学振动系统设计,分子结构理论,线性多变量控制理论及数值分析等领域中也是有很广泛的应用的.因为循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一种特殊矩阵,具有很好的性质和结构,所以对于循环矩阵的研究非常活跃. 和一般矩阵相比,循环矩阵具有和其相似的性质,比如秩, 特征值, 特征向量等都是一般矩阵性质的重要部分.对于循环矩阵的研究愈加深入同

5、时也加深了对一般矩阵的认识,同时对于一般矩阵的性质探索也有一定帮助. 从1950年提出了循环矩阵的概念以来,尤其是近年来,循环矩阵类已然成为了矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃的和重要的研究方向,许多数学工作者对它进行了大量探索,并且得出很多成果.各种新的循环矩阵概念被提出,已有十几种.如向后循环矩阵,循环布尔矩阵, r-循环矩阵,g-循环矩阵,块循环矩阵等. 迄今为止,有关循环矩阵的理论知识还不是很完善,但是在实际生活中循环矩阵的应用还是很广泛的,因此数学工作者对循环矩阵的探索仍在进行着.其中对于它的逆矩阵求法是许多国家数的学工作者研究的一个重要方向.但是对于循环矩阵的代数性质,特征值,特

6、征向量以及对角化问题研究的还不是很多,而对于这类特殊的矩阵循环矩阵来说这是基本的.2.循环矩阵的代数性质2.1循环矩阵的概念定义1 具有如下形式的n阶方阵的C称为一个n阶循环矩阵, 又称轮换矩阵,C=, 显然, C由其首行元素唯一确定, 简记为C=circ(a0,a1,an-1).特别地, n阶循环矩阵K= circ(0,1,0,0)=, 称为单位循环矩阵或循环置换矩阵或移位矩阵.性质1 C=a0K0+ a1+a2+an-1.性质21 设f (x)= a0+a1x+an-1x n-1, 则C=f (K).2.2循环矩阵的运算性质性质3 设A, B是两个n阶循环矩阵, 则A+B是循环矩阵.证明

7、设循环矩阵A, B为A=, B=, 则A+B= circ(a0+b0,a1+b1,an-1+bn-1),根据定义, 则A+B也为循环矩阵. 性质4 设A, B是两个n阶循环矩阵, 则AB是循环矩阵, 且AB=BA.证明 设则 其中.因为，其中t为非负整数, 所以其中c2n-1=0. 所以AB=circ(c0+cn, c1+cn+1, cn-2+c2n-2, cn-1)是循环矩阵.又因为f (x)g(x) = g(x) f (x), 则AB=.性质5 设A是一个n阶循环矩阵, a是数域P中的一个数, 则aA是循环矩阵.证明 设循环矩阵A=, 则B=aA= circ(aa0,aa1,aan-1),

8、 故aA为循环矩阵, 得证.性质6 设A是一个n阶循环矩阵, 则A的转置矩阵AT是循环矩阵.证明 设有一个循环矩阵A=, 则循环矩阵A的转置为AT= circ(a0,an-1,a1), 从而结论成立.性质7 设A是一个n级可逆循环矩阵, 则A的逆矩阵A-1是循环矩阵.证明：根据性质4，两个循环矩阵A, B的乘积是循环矩阵, 因而只要找到循环矩阵B, 使得AB=En, 问题即可解决.设 (,为待定常数), 则,其中, s=0,1,2n-1. 要使得AB=E, 其必要条件是使得下列方程组成立：,方程组可以改写为,显然，上述方程组的系数矩阵为循环矩阵A的转置矩阵, 是可逆的, 因而根据Cramer法

9、则，该方程组存在唯一的一组解(, ,), 从而B是唯一确定的, 即是A的逆矩阵, 因此A的逆矩阵是循环矩阵.推论1 设A为n阶可逆循环矩阵, 则循环矩阵A 的伴随矩阵A也是循环的.性质8 设A是一个n级可逆循环矩阵, 则A的Moore-Penrose逆+也为循环矩阵. 性质9 设A, B是两个n阶循环矩阵, 则A与B的Hadamard积AÄB是循环矩阵. 即是, 设A= circ(a0,a1,an-1), B= circ(b0,b1,bn-1), 则AÄB= circ(a0b0,a1b1,an-1bn-1)是循环矩阵.性质10 设A, B是两个n阶循环矩阵, 则A与B的Fa

10、n积AB是循环矩阵. 证明 设A=, B=, 则AB= =circ(a0b0,-a1b1, -an-1bn-1)是循环矩阵.3.循环矩阵的特征值与特征向量3.1循环矩阵特征值与特征向量的概念以及性质定义2 设A是数域P上的n阶循环矩阵,则称关于l的多项式|E-A|为A的特征多项式, 其在复数域C上的根为循环矩阵A的特征值.若是n阶循环矩阵A的特征值, 那么齐次线性方程组(E-A)X=0的非零解则称为循环矩阵A 的属于特征值的特征向量.设是数域P 上线性空间V的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一数0，存在一个非零向量, 使得=0, 那么0 成为的一个特征值, 而

11、称为的属于特征值0的一个特征向量.性质11 设是循环矩阵A的特征值, 且循环矩阵A是可逆的, 则-1是A-1的特征值.证明 设1,2,n为循环矩阵A的特征值, 则|A|=12n0, 所以i0(i=1, 2, , n). 设属于循环矩阵A的特征值的特征向量为, 则A=, 那么, 则=, 因为循环矩阵A的特征值最多只有n个, 所以是的特征值.性质12 若是n阶循环矩阵A的特征值, f (x)是数域P上的任意一个多项式, 那么f ()是f (A)的特征值.证明 设是循环矩阵A的特征向量, , 那么A=, 进而Ai=i所以,因此f ()也是f(A)的特征值.性质13 设n阶循环矩阵A每一行元素之和为a

12、, 那么a必是A的特征值.证明 设循环矩阵A=, 则由题设条件可知： =a所以a是循环矩阵A的特征值.3.2循环矩阵特征值与特征向量的一般求法3.2.1 基本计算法基本步骤：1) 求出循环矩阵A的特征多项式;2) 求出=0的所有根;3) 解齐次线性方程组X=0, 其基础解系就是循环矩阵A的特征根线性无关的特征向量.3.2.2 特殊法 第一步：对于单位循环矩阵K=circ(0,1,0,0), 其特征方程为ln-1,其特征值为1,w,w2, wn-1(其中), 第二步：由于循环矩阵A= circ(a0,a1,an-1)=f(K), 根据性质12, 则矩阵A的特征值为1, f(w), f(w2),

13、f(wn-1). 第三步：设rk=wk (k=0,1,2,n-1), 则属于A的特征值=f (wk )的特征向量为 . 4.循环矩阵对角化4.1循环矩阵可角化的概念以及性质 定义3 对于n阶矩阵A，如果存在n阶可逆矩阵T使得T-1AT为对角阵，则称A可以对角化. 引理 任意n阶循环矩阵A在复数域C上都是可对角化的. 证明 取n阶可逆矩阵,其中且.根据 A为n阶循环矩阵, 可设A= , 从而 推论2 任意循环矩阵A可以表示成n个循环矩阵Ai (i=1, 2, ., n). 证明 由引理,则,那么 =. 其中Eij是第i行第j列位置元素为1, 其余为0的n级矩阵.性质14 设A是数域P上的一个n阶

14、循环矩阵, 是循环矩阵A的不同的特征根, 那么存在n阶循环矩阵, 使得(1) A=；(2) =E, E为单位矩阵；(3) . 证明：(1) 因为循环矩阵A是可对角化的, 那么就存在数域P上的一个n阶可逆矩阵D, 使得DAD=C, 其中的重数是(i=1,2,t), 因为 C=+, 所以 =+, 令, 则A=.由推论2以及性质3和性质5可知为循环矩阵.(2) 因为=diag(0,.,0,0,0) (i=1,2,t), 所以+=E, 进而+=E, 所以+=E.(3) =, 那么.4.2对角化的应用例4 将循环矩阵A对角化, 其中A=.解 令 f (x) = 1+2x + 3x2 + 4x3, A=f

15、A (K), 其中K=, 由于, 所以其特征值为：fA (1)=10, fA(h)=-2-2i, fA(h2) =-2, fA(h3)=-2+2i, T=1/2, T=1/2, 可验证：TAT -1=diag(10, -2-2i, -2, -2+2i).5.结束语 迄今为止, 对循环矩阵的认识还处在初级阶段.需要更加深入地探索学习.其应用是一个很重要的研究方向,并且随着研究的深入, 循环矩阵的应用越来越广泛.参考文献：1 徐仲. 矩阵类的快速算法M. 西安：西北工业大学出版, 2001.2 王萼芳. 高等代数教程M. 北京：清华大学出版社,1996.3 北京大学数学系. 高等代数M. 北京：高等教育出版社, 1999.4 威尔全集. 代数特征值问题M. 北京：科学出版社, 2001.5 张贤科, 许莆华. 高等代数学M. 北京：清华大学出版社,1998.6 刘𠇔生. 矩阵对角化与循环矩阵J. 九江职业技术学院学报, 2006.7 张爱萍. 循环矩阵的性质及其对角化J. 广西师院学报, 2000,17(4):10-13.8 陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵M. 北京：清华大学出版社, 2001.9 王萼芳, 石生明. 高等代数M. 北京：高等教育出版社,2003.10张盛虞. 关于循环矩阵的一