线性定常系统的综合ppt课件

1、线性定常系统的综合线性定常系统的综合1. 形状反响和输出反响形状反响和输出反响2. 形状反响系统的能控性和能观测性形状反响系统的能控性和能观测性3. 极点配置极点配置4. 镇定问题镇定问题5. 形状重构和形状观测器形状重构和形状观测器6. 降阶观测器降阶观测器7. 带形状观测器的形状反响系统带形状观测器的形状反响系统8. 解耦问题解耦问题形状反响和输出反响形状反响和输出反响线性定常系统综合：给定被控对象，经过设计控制器的构造和参数，线性定常系统综合：给定被控对象，经过设计控制器的构造和参数，使系统满足性能目的要求。使系统满足性能目的要求。1 形状反响形状反响线性定常系统方程为：线性定常系统方程

2、为：DuCxyBuAxx 1假定有假定有n 个传感器，使全部形状变量均可以用于反响。个传感器，使全部形状变量均可以用于反响。KxVu2其中，其中，K 为为 反响增益矩阵；反响增益矩阵；V 为为r 维输入向量。维输入向量。nr形状反响和输出反响形状反响和输出反响那么那么有有DVxDKCy)(BVxBKAKxVBAxx)()(3形状反响和输出反响形状反响和输出反响2 输出反响输出反响采用采用HyVu4H 为为 常数矩阵常数矩阵mrVDDHIBHBxCDHIBHAHyVBAxx)()()(11DVDHICxDHIy11)()(5两者比较：形状反响效果较好；两者比较：形状反响效果较好； 输出反响实现较

3、方便。输出反响实现较方便。形状反响的能控性和能观测性形状反响的能控性和能观测性线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxyBuAxx 6引入形状反响引入形状反响KxVu7CxyBVBK)xAx(那么有那么有8形状反响的能控性和能观测性形状反响的能控性和能观测性定理定理 线性定常系统线性定常系统6 6引入形状反响后，成为系统引入形状反响后，成为系统8 8，不，不改动系统的能控性。改动系统的能控性。对恣意的对恣意的K 矩阵，均有矩阵，均有证明证明 IKIBAIBBKAI0)(BAIBBKAIrank)(rankIKI0由于由于 满秩，所以对恣意常值矩阵满秩，所以对恣意常值矩阵K 和和 ，均，均有有9

4、9式阐明，引入形状反响不改动系统的能控性。但是，形状式阐明，引入形状反响不改动系统的能控性。但是，形状反响可以改动系统的能观测性。反响可以改动系统的能观测性。极点配置极点配置定理定理 线性定常系统可以经过形状反响进展极点配置的充分必要条线性定常系统可以经过形状反响进展极点配置的充分必要条件是：系统形状完全能控。件是：系统形状完全能控。形状反响形状反响KxVu11线性定常系统线性定常系统CxBAxxyu10CxbbK)xAxyV(形状反响系统方程形状反响系统方程12由于由于A 和和 b 一定，确定一定，确定K 就可以配置系统的极点。就可以配置系统的极点。极点配置极点配置经过线性变换经过线性变换

5、，可以使系统具有能控规范形。，可以使系统具有能控规范形。xPx113uaaan100100001000010110 xxx110ny系统传送函数：系统传送函数：)()()(011101221111ssasasasssssssgnn-nnn-nn- bAICbAIC14极点配置极点配置15引入形状反响引入形状反响xKxKPKxVVVu1令令1101nkkkKPK16其中其中 为待定常数为待定常数110,nkkk)()()(1001010010010111100110110nnnnkakakakkkaaaKbA极点配置极点配置形状反响系统特征多项式为形状反响系统特征多项式为)()()()(det)

6、(0011111kaskaskasssnnnnKKbAI17设形状反响系统希望的极点为设形状反响系统希望的极点为nsss,21其特征多项式为其特征多项式为*0*11*11*)()(asasassssnnnniiK18比较比较17式和式和18式，选择式，选择 使同次幂系数一样。有使同次幂系数一样。有ik1*11*10*0nnaaaaaaK19而形状反响矩阵而形状反响矩阵110nkkkPKK镇定问题镇定问题镇定问题镇定问题 非渐近稳定系统经过引入形状反响，实现渐近稳定非渐近稳定系统经过引入形状反响，实现渐近稳定23定理定理 SISOSISO线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxbAxxyu显然，

7、能控系统可以经过形状反响实现镇定。显然，能控系统可以经过形状反响实现镇定。那么，假设系统不能控，还能不能镇定呢？那么，假设系统不能控，还能不能镇定呢？假设系统不能控，引入形状反响能镇定的充要条件为：不能控的形假设系统不能控，引入形状反响能镇定的充要条件为：不能控的形状分量是渐近稳定的。状分量是渐近稳定的。镇定问题镇定问题当系统满足可镇定的条件时，形状反响阵的计算步骤为当系统满足可镇定的条件时，形状反响阵的计算步骤为1 将系统按能控性进展构造分解，确定变换矩阵将系统按能控性进展构造分解，确定变换矩阵1PCA2确定确定 ，化，化 为约当方式为约当方式2PCA3 利用形状反响配置利用形状反响配置 的

8、特征值，计算的特征值，计算1A1K4 所求镇定系统的反响阵所求镇定系统的反响阵1210PPKK 镇定问题镇定问题例例 系统的形状方程为系统的形状方程为u011500020001xx 试用形状反响来镇定系统。试用形状反响来镇定系统。解解 矩阵矩阵A 为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为-5，因此，系统可以镇定。，因此，系统可以镇定。能控子系统方程为能控子系统方程为uuCCCCC112001xbxAx镇定问题镇定问题引入形状反响引入形状反响CVuxK其中其中21kkK为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为为了保证系统是渐近稳定的，设希望极

9、点为222, 1js84)(2*sssK2121221122)3(11200100det)(det)(kkskkskkssssCKKbAI同次幂系数相等，得同次幂系数相等，得131k202k形状重构和形状观测器形状重构和形状观测器问题的提出：形状反响可以改善系统性能，但有时不便于检测。问题的提出：形状反响可以改善系统性能，但有时不便于检测。如何处理这个问题？如何处理这个问题？重构一个系统，用这个系统的形状来实现形状反响。重构一个系统，用这个系统的形状来实现形状反响。24系统方程为系统方程为)0()(0 xxCxyBuAxxt25重构一个系统，该系统的各参数与原系一致样重构一个系统，该系统的各参

10、数与原系一致样xCyBuxAx24式减去式减去25式式) () (xxCyyxxAxx26形状重构和形状观测器形状重构和形状观测器27当当 时，时， 也不为零，可以引入信号也不为零，可以引入信号 来校正系统来校正系统25，它就成为了形状观测器。，它就成为了形状观测器。 xxy-y) (y-yGyBuxGCAxxGCBuxAyyGBuxAx)() () (其中，其中， 为为 矩阵矩阵Gnn24式减去式减去27式式) )()(x-xGCAGyBuxGCABuAxx-x28由由28式可知，假设适中选择式可知，假设适中选择G 矩阵，使矩阵，使(A-GC) 的一切特征值的一切特征值具有负实部，那么具有负

11、实部，那么式式27系统就是式系统就是式24系统的形状观测器，系统的形状观测器， 就是重构的形状。就是重构的形状。0) (limxxtx 形状重构和形状观测器形状重构和形状观测器定理定理 系统的形状观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，系统的形状观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。实部。定理定理 线性定常系统线性定常系统 的观测器的观测器 CxyBuAxxGyBuxGCAx)(30可恣意配置极点的充分必要条件是系统能观测并且能控。可恣意配置极点的充分必要条件是系统能观测

12、并且能控。形状重构和形状观测器形状重构和形状观测器例例 系统方程为系统方程为u101200120001xx x011y要求设计系统的形状观测器，其特征值为要求设计系统的形状观测器，其特征值为3、4、5。解解首先判别系统的能观测性首先判别系统的能观测性441121011CQ3rankCQ系统能观测，可设计观测器。系统能观测，可设计观测器。设：设：210gggG其中其中 ， 待定待定ig)2, 1, 0( i希望特征值对应的特征多项式希望特征值对应的特征多项式604712)5)(4)(3()(23*sssssssG形状重构和形状观测器形状重构和形状观测器)424()834()5(det210210

13、2103gggsgggsggssGGCAI而形状观测器的特征多项式而形状观测器的特征多项式同次幂系数分别相等，可以得出同次幂系数分别相等，可以得出210103120210gggG几点阐明：几点阐明：1 希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更负。这样重构的形状才可以尽快地趋近原系统形状。负。这样重构的形状才可以尽快地趋近原系统形状。2形状观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否形状观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否那么，抗干扰才干降低。那么，抗干扰才干降低。3选择观测器特征值时，应该思索到不至于由于参数变

14、化而会有选择观测器特征值时，应该思索到不至于由于参数变化而会有较大的变化，从而能够使系统不稳定。较大的变化，从而能够使系统不稳定。降阶观测器降阶观测器1. 降阶观测器的维数降阶观测器的维数定理定理 假设系统能观测，且假设系统能观测，且rankC = m，那么系统的形状观测器，那么系统的形状观测器的最小维数是的最小维数是(n-m)。21CCCmCrank由于有由于有m 维可以经过观测维可以经过观测 y 得到，因此有得到，因此有(n-m)维需求观测。维需求观测。CxyBuAxx对系统方程对系统方程采用变换矩阵采用变换矩阵210CCIP进展线性变换，进展线性变换，Pxx 1 PAPAPBB 1 CP

15、C降阶观测器降阶观测器31得到如下方式的系统方程得到如下方式的系统方程221212122211211210 xxxIyuBBxxAAAAxx可见可见 可以经过可以经过 观测到，需求对观测到，需求对 维的维的 进展估计。进展估计。2xy)(mn1x因此，降阶观测器的维数为因此，降阶观测器的维数为(n-m)降阶观测器降阶观测器2. 降阶观测器存在的条件及其构成降阶观测器存在的条件及其构成将将31式改写成式改写成uByAxAuBxAxAx112111121211113233uByAxAyx222121234令令121222xAuByAyy 于是有于是有(n-m) 阶的子系统：阶的子系统：121xAy

16、 u)ByAxAx1121111(35降阶观测器降阶观测器以下构造这个子系统的形状观测器以下构造这个子系统的形状观测器36yGyAGAuBGBxAGAyGuByAxAGAx12211221112111111121211111)()()()()(由于子系统能观测，所以，经过选择由于子系统能观测，所以，经过选择 的参数，可以配置的参数，可以配置的特征值。的特征值。1G)(21111AAG为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，37yGxz11yGxz11yGzx11yGzx11即即降阶观测器降阶观测器37式代入式代入36，得，得yAGAGAGAuBGBz

17、AGAz)()()(2211212111121121111由于由于21xxx故故00limlim111 xxyyGzxtt38因此，因此， 是是 的估计。的估计。 yyGz1x39yzyGQQxQxPx1211形状图中形状图中)(221121211111AGAGAGAG带有形状观测器的形状反响系统带有形状观测器的形状反响系统SISO线性定常系统线性定常系统CxBAxxyu40全阶形状观测器全阶形状观测器yuGbxGCAx)(41形状反响形状反响xKVu42还有还有VbxbKAxxVbxbKGCAGCxx)(Cxy带有形状观测器的形状反响系统带有形状观测器的形状反响系统写成矩阵方式写成矩阵方式V

18、bbxxbKGCAGCbKAxx43xxC0y作线性变换作线性变换IIIP0IIIP01xxxxxxxIIIxxP044其中其中 为误差估计为误差估计xxx带有形状观测器的形状反响系统带有形状观测器的形状反响系统对对43式进展线性变换，得到如下方程式进展线性变换，得到如下方程VV00000bxxGCAbKbKAbbIIIxxIIIbKGCAGCbKAIIIxxxxCxxIIIC000y45)det()det(0detGCAsIbKAsGCAsIbKbKAsII46带有形状观测器的形状反响系统带有形状观测器的形状反响系统xx bKAGCAGCAbKA由上式可见，由上式可见， 的特征值与的特征值与

19、 的特征值可以分别配置，的特征值可以分别配置，互不影响。互不影响。 这种这种 的特征值和的特征值和 特征值可以分别配置，特征值可以分别配置，互不影响的方法，称为分别定理。需求留意：互不影响的方法，称为分别定理。需求留意： 的特征值应该的特征值应该比比 的特征值更负，普通为四倍左右，才可以保证的特征值更负，普通为四倍左右，才可以保证 尽快跟尽快跟上上 ，正常地实现形状反响。，正常地实现形状反响。bKAGCA这时传送函数为这时传送函数为bbKAsCbGCAsIbKbKAsC11000)(IIsgK解耦问题解耦问题CxyBuAxx 线性定常系统方程为线性定常系统方程为51引入形状反响引入形状反响Kx

20、FVu其中其中K 为反响阵，为反响阵，F为输入变换矩阵。为输入变换矩阵。BFVxBKAKxFVBAxx)()(Cxy 52形状反响系统的传送函数矩阵为形状反响系统的传送函数矩阵为BFBKAICG1)()(ssKF所谓解耦问题，就是寻求适当的所谓解耦问题，就是寻求适当的K 和和F 矩阵使得形状反响传送函数矩阵使得形状反响传送函数矩阵矩阵 为对角阵。为对角阵。)(sKFG)()()(diag)(2211sgsgsgsmmKFG解耦问题解耦问题 1 关于关于 的两个不变量的两个不变量)(sKFG假设假设 为严厉正那么有理传送函数矩阵，可以表示为如下方式为严厉正那么有理传送函数矩阵，可以表示为如下方式

21、)(sKFG),(),(),()(21FKGFKGFKGGssssTmTTKF53),(FKGsTi)(sKFG其中，其中， 为为 的第的第 行向量。行向量。i定义定义11,min),()()(2)(1imiiiFKd54其中，其中， 为为 的第的第k 个元素分母多项式和分子多项个元素分母多项式和分子多项式次数之差，式次数之差，),(FKGsTi)(ikmk, 2, 1解耦问题解耦问题),(),(4312111122)(212222FKGFKGGssssssssssssTTKF例例 传送函数矩阵如下，求不变量传送函数矩阵如下，求不变量id解解对于对于 来说，来说， ， 因此因此),(1FKGsT112112021201min),(12111FKd对于对于 来说，来说， ， 因此因此),(2FKGsT202212022211min),(22212FKd),(FKGsTi商定：对于商定：对于 为零向量时，为零向量时，nFKdi),(解耦问题解耦问题定义定义255),(lim),(1FKGFKssrTidtTii 这是一个这是一个m 维非零向量。它是这样构造的：对于维非零向量。它是这样构造的：对于1m 的行向的行向量量 ，各元素分子多项式中最高次幂的系数。，各元素分子多项式中最高次幂的系数。),(FKGsTi上例中上例中110122),(221sssssssT