直线和平面所成的角与二面角第1课时ppt课件

1、第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲第一课时第一课时考点考点搜索搜索直线和平面所成的角的概念与计算直线和平面所成的角的概念与计算二面角、二面角的平面角的概念，二面角、二面角的平面角的概念，平面角大小的计算高考平面角大小的计算高考高考高考猜测猜测1. 利用几何或向量方法求直线和平利用几何或向量方法求直线和平面所成的角、二面角的平面角面所成的角、二面角的平面角.2. 转化角的条件，探求角的范围转化角的条件，探求角的范围.1. 一个平面的斜线和它在这个平面内的_的夹角，叫做斜线和平面所成的角；假设直线和平面垂直，那么直线和平面所成的角为_;假设直线在平面内或与平面平行，那

2、么直线和平面所成的角为_.2. 从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的_，每个半平面叫做二面角的_.射影射影900两个半平面两个半平面棱棱面面 棱为棱为l，两个平面分别为，两个平面分别为、的二面的二面角记为角记为_. 3. 一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角-l-的棱且与的棱且与两个半平面的交线分别是射线两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，那么为垂足，那么AOB叫做二面角叫做二面角-l-的的_.4. 从二面角从二面角-l-的棱上任取一点的棱上任取一点O，分，分别在二面角的两个面别在二面角的两个面、内作内作 _ 的射的射线线OA、OB,那么那么_为二面角

3、的平面角为二面角的平面角.-l-平面角平面角垂直于棱垂直于棱AOB5. 从二面角从二面角-l-的一个面的一个面内取一点内取一点P，过，过点点P作作的垂线，垂足为的垂线，垂足为A，过点，过点A作棱作棱l的垂线，的垂线，垂足为垂足为B，那么，那么 _为二面角的平面角为二面角的平面角(或其或其补角补角).6. 平面角是平面角是_的二面角叫做直二面角的二面角叫做直二面角.7. 直线和平面所成的角的取值范围直线和平面所成的角的取值范围_;二面角的平面角的取值范围二面角的平面角的取值范围_.8. 平面的斜线和平面所成的角，是这条斜平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中线和这个

4、平面内任一条直线所成的角中_.PBA直角直角0,0, 2最小的角最小的角1.假设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，那么A1C1究竟面ABCD的间隔为( ) A. B. 1 C. D. 解：依题意，B1AB=60，如图，BB1=1tan60= ，应选D. 3D3322.平面的斜线与所成的角为30，那么此斜线和内一切不过斜足的直线中所成的角的最大值为( )A. 30 B. 60 C. 90 D. 150解：此题易误选D，由于斜线和内一切不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90.C 2.在边长为在边长为a的正三角形的正三角形ABC中，中，AD BC于于D

5、，沿，沿AD折成二面角折成二面角B-AD-C后，后，BC = a，这时二面角这时二面角B-AD-C的大小为的大小为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 解：折起后的解：折起后的BCD为正三角形，应选为正三角形，应选C.C121. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面AB CD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点. (1)求证:平面AEF平面PAB; (2)设AB= BC，求直线AC与平面AEF所成的角的大小.2题型题型1 求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角解法1：(1)证明：连结PE.由于PD底面ABCD，所以PDDE.又CE=ED，PD= A

6、D=BC，所以RtBCE RtPDE，所以PE=BE.由于F为PB的中点， 所以EFPB. 由三垂线定理，得PAAB.所以在所以在RtPAB中，中，PF=AF.又又PE =BE=AE，所以所以EFP EFA，所以，所以EFFA.由于由于PB、FA为平面为平面PAB内两相交直线，内两相交直线，所以所以EF平面平面PAB，故平面故平面AEF平面平面PAB. (2)无妨设无妨设BC=1，那么，那么AD=PD=1，AB = 2，PA=2，AC=3. 所以所以PAB为等腰直角三角形为等腰直角三角形,且且PB =2. 由于由于F为斜边为斜边PB的中点，所以的中点，所以BF= 1，且且AFPB. 又又EFP

7、B，所以，所以PB平面平面AEF. 连结连结BE，交，交AC于于G.作作GHBP交交EF于于H，那么那么GH平面平面AEF，所以GAH为AC与平面AEF所成的角.由EGCBGA可知，EG= GB，所以EG= EB，从而AG= AC= .由EGHEBF可知，GH= BF= .所以在RtAHG中 ，所以AC与平面AEF所成的角为arcsin .1213232 33133sin6GHGAHAG3613解法2：以D为坐标原点，DC、DA、D P所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. (1)设点A(0，1，0)，点E(a，0，0) (a0)，那么点C(2a，0，0)，B(2a，1，0)

8、，P(0，0，1)， F(a， ， )，所以 =(0， ， )， =(2a，1，-1)， =(2a，0，0).12EFPB PB 121212于是 ， ，所以EFPB，EFAB.那么EF平面PAB，故平面AEF平面PAB. (2)由 ，得a= ，所以 =( ，-1，0)， =( ，1，-1)， =( ，- ， ).于是 ，所以PBAF.又PBEF，所以PB平面AEF，0EFPB 0EFAB 2222ACBCACPB 2AF2212120PBAF 即 是平面AEF的一个法向量.由于cos ， = ，所以异面直线AC与PB所成的角为arccos .设AC与平面AEF所成的角为，那么 ，所以 所以=

9、arcsin .故AC与平面AEF所成的角是arcsin .PB PB AC36ACPBAC PB 363arccos26-33sincos arccos66()3636点评：直线与平面所成的角，其本质点评：直线与平面所成的角，其本质就是直线与其在平面上的射影所成的角就是直线与其在平面上的射影所成的角.找直线在平面上的射影是关键，然后把题找直线在平面上的射影是关键，然后把题中条件转化到某些三角形中去，再利用解中条件转化到某些三角形中去，再利用解三角形的知识求得所求角三角形的知识求得所求角.假设用向量法假设用向量法来解，那么关键是求平面的法向量来解，那么关键是求平面的法向量. 如图，l1、l2是

10、相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN. (1)证明：ACNB; (2)假设ACB=60，求NB与平面ABC所成的角的余弦值.解法1：(1)证明：由知l2MN，l2 l1，MNl1=M，可得l2平面ABN.由知MNl1，AM=MB=MN，可知AN=NB且ANNB.又AN为AC在平面ABN内的射影，所以ACNB. (2)由于RtCNA RtCNB，所以AC=BC.又知ACB=60，因此ABC为正三角形.在ABN中，AN= AB.在RtANC中，由于AC=AB，所以NC=NA，所以NC=NA=NB.22因此，N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC

11、的中心.连结BH，那么NBH为NB与平面ABC所成的角.在RtNHB中，363cos322ABHBNBH.NBAB解法2：如图，建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1，那么有A(-1，0，0)，B(1，0， 0)，N(0，1，0).(1)由于MN是l1、l2的公垂线，l2l1，所以l2平面ABN，所以l2平行于z轴，故可设C(0，1，m).于是 =(1，1，m)， =(1，-1，0).由于 =1+(-1)+0=0，所以ACNB.ACNBACNB (2)由于AC=(1，1，m)，BC=(-1，1，m)，所以 又知ACB=60，所以ABC为正三角形，AC=BC=AB=2.在RtCNB中，NB=

12、，可得NC= ，故C(0，1， ).连结MC，作NHMC于H.设H(0，2)(0)，所以 =(0，1-，-2)， =(0，1，2).| AC | | BC | .222HN MC 由于 =1-2=0，所以= .由H(0， ， )，可得 =(0， ，- ).连结BH，那么 =(-1， ， ).由于 所以HNBH.又MCBH=H，所以HN平面ABC，那么NBH为NB与平面ABC所成的角.由于 =(-1，1，0)，所以HNMC 131323HN HN 1323220099HNBH-, BN463cos2323BHBNNBH.BH BN 13232. 如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACB

13、C，D是AB的中点，且AC= BC=a，VDC= (0 ). (1)求证：平面VAB平面VCD; (2)当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.2题型题型2 求直线和平面所成的角的取值范围求直线和平面所成的角的取值范围解法1：(1)证明：由于AC=BC=a，所以ACB是等腰三角形.又D是AB的中点，所以CDAB.由于VC底面ABC，所以VCAB.于是AB平面VCD.而AB平面VAB，所以平面VAB平面VCD.(2)如图，过点C在平面VCD内作CH VD于H，那么由(1)知CH平面VAB.连结BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.在RtCHD中， 设CBH=.在RtBH

14、C中，CH = a sin，所以 sin=sin.由于0 ，所以0sin1，那么0sin . 2sin2CHa,222222又0 ，所以0 .即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围是(0， ).解法2：(1)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如下图的空间直角坐标系，那么C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D( ， ，0)，V(0，0， atan). 242a2242a于是 =( ， ，- atan)， = ( ， ，0)， =(-a，a，0).从而 =(-a，a，0)( ， ，0) ，即ABCD.同理， 即ABVD.又CDVD=D，所以AB平面VCD.

15、而AB平面VAB，所以平面VAB平面VCD.VD 2a22CD ABABCD 22110022-aa2(- , ,0)(,-tan )2 22a aABVDa aa 22110022-aa2a2a2a2a2a (2)设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n=(x，y，z).那么由n =0，n =0，得 .故可取n=(1，1， cot).又 =(0，-a，0)，于是 .由于0 ,所以0sin1,那么0sin .AB02tan0222-axayaaxy -azVD 2BC22sinsin222 cotnBCan BCa222又0 ，所以0 . 即直线BC与平面VAB所成的角的取

16、值范围为(0， ).点评：求与角有关的取值范围问题，一是可利用函数思想把所求问题转化为某参数的函数问题；二是可利用数形结合思想结合图形的某些特殊情况求得最值或范围.244 假设BC平面，斜线AB与平面所成的角为，ABC=，AA 平面，垂足为A，ABC= (为锐角)，那么( )A. cos=coscos B. sin=sinsinC. cos=coscosD. cos=coscosA解：作ADBC于D，连结AD.由三垂线定理得ADBD.在RtAAB中，cos= .在RtABD中，cos= .在RtABD中，cos= .所以coscos= ，应选A.A BABBDA BBDABcosA BBDBDABA BAB1. 直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角(直线与平面垂直或平行(包括直线在平面内)时，成直角或