连续函数的运算与初等函数的连续性(1)课件

1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则1.1.连续函数的四则运算连续函数的四则运算定理定理1 函数函数(x)与与g(x)在在x0 处连续处连续,则则0( )(3) ( ()0)( )f xg xg x (1)( )( )f xg x (2)( )* ( ) f xg x都在都在x0 处连续处连续.0lim ( )( )xxf xg x00lim( )lim( )xxxxf xg x 00()().f xg x ( (利用极限的

2、四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明) )xx cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续连续连续xx cos,sin例如例如,2. 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性定理定理2 设函数设函数 y = (x)在某个区间上在某个区间上单调且连续单调且连续, 则则其反函数其反函数y= f -1(x)在相应区间上亦在相应区间上亦单调且连续单调且连续.例如例如,xysin 在在,22 上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数xyarcsin 在在 1 , 1 上也连续单调递增上也连续单调递增.xey 在在),( 上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数xyln

3、 在在),0( 上也连续单调递增上也连续单调递增.又如又如, ,:对对称称像像关关于于直直线线直直接接函函数数与与反反函函数数的的图图说说明明xy .,可反映出来可反映出来单调和连续性从图像上单调和连续性从图像上单值单值)(证证明明从从略略,)(,)(lim点点连连续续在在设设auufaxg :则下面的公式成立则下面的公式成立.)(lim)(limxgfxgf.lim可交换可交换与与即即f. )48(P可参考可参考证明略证明略,)()(lim:00axgxgxx 设设推论推论, )()(limafufau )(lim0 xgfxx则则f)(limxgxx0)(0 xgf:推论表明推论表明.连连

4、续续的的连连续续函函数数的的复复合合函函数数是是*)(0点连续点连续在在xg)(点点连连续续在在af定理定理3,)(,)(lim0点点连连续续在在设设auufaxgxx .)(lim:0fxgfxx 证证明明)(limxgxx0.证证 .)(,0 afxgf欲欲证证,)(点点连连续续在在auuf , 对对于于正正数数,0时时当当 au .成成立立 afuf,)(limaxgxx0, 对对于于正正数数,0,00时时当当 xx,)(成立成立 axg .)(成成立立 afxgf)()(limafxgfxx0.f)(limxgxx0例如例如,xy1sin 是由连续函数链是由连续函数链),(,sin u

5、uy,1xu *R x因此因此xy1sin 在在*R x上连续上连续 .复合而成复合而成 ,xyoxy1sin .),0(内内连连续续在在其其定定义义域域幂幂函函数数 xy,. xy 证证,lnlnxy ,ln xey ,ln的的复复合合函函数数与与为为两两个个连连续续函函数数xueyu .),0(内内连连续续在在所所以以 xy.1例例二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经复合后仍连续连续函数经复合后仍连续定理定理: 一切初一切初等函数在等函数在定义定义区间区间内内连续连续例如例

6、如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而:定理定理是我们原先未曾证明的是我们原先未曾证明的重要定理的直接结果就重要定理的直接结果就则则有定义有定义是初等函数是初等函数设设,)(,)(0 xfxf)()(lim00 xfxfxx xxxsinlnlim0) .ln0(是是连连续续的的时时当当uu xxxsinlimln01ln.0例例2 2例例3. 求求.)1(loglim0 xxax 解解: 原式原式xxax1)1(loglim0 ealog aln1 例例4. 求求.1lim0

7、 xaxx 解解: 令令,1 xat则则, )1(logtxa 原式原式)1(loglim0ttat aln 说明说明: 当当, ea 时时, 有有0 x)1ln(x 1 xexx)1(lim(log10 xxxa 1)1ln(lim:0 xxx特特别别地地11lim:0 xexx特特别别地地例例5. 求求.)21(limsin30 xxx 解解:原式原式ex0lim )21ln(sin3xx exx30lim6e 说明说明: 若若,0)(lim0 xfxx则有则有 )()(1lim0 xgxxxf,)(lim0 xgxxe )(1ln)(lim0 xfxgxx e)()(lim0 xgxfx

8、xx2xxxesin)21ln(3lim0 aealn: 转换转换ababeeablnln 经经验验公公式式推推导导 )01(11313lim xxxx )01(11321lim xxx.32 ee )()(limxgxfx e 13)1(2lim xxx例例6.7例例,)(lim,0)(lim00gxGfxFxxxx 设设.)(lim)(lim)(lim)(000 xGxxxGxxxxxFxF 则则,0)(,)(.0 xFxU内内在在证证.0,)()( yxFyxG且且有有意意义义)(ln)(lim)(00)(limxFxGxGxxxxexF 则则)(lnlim)(lim00 xFxGxxx

9、xe 乘乘法法原原则则fgeln gfeln gf .)(lim)(lim00 xGxxxxxF )(lim)()(lim)(limxGxxxGxxxxxFxF000同同时时的的极极限限可可在在底底和和指指数数上上求求幂幂指指函函数数)()(xGxFy .)( ,存在存在如果底和指数的极限都如果底和指数的极限都取极限取极限.中可以应用中可以应用此结论在解题此结论在解题 xxxcot20tan31lim xxxxxcottantantanlim223312031)(01xxxxxxcottanlimtantanlim2023312031xyyxytanlim)(lim310010e.1例例8.)0(, )(,.1仍仍连连续续除除式式商商乘乘方方积积差差连连续续函函数数的的和和 .2调连续的反函数调连续的反函数单调的连续函数存在单单调的连续函数存在单:lim,.3可可交交换换与