金融数学研究进展与展望

1、    金融数学研究进展与展望    摘要：金融数学作为一门新兴的交叉学科，广泛地应用于金融的各个领域。就金融数学的几个重要的基础理论和最新进展做一综述，以期对学科未来的发展提供借鉴。关键词：金融数学，证券组合理论，鞅理论20世纪初伴随着金融实践的迅猛发展和金融产品的不断创新，金融学越来越多的表现与数学的交融：一方面通过运用合适的数学分析方法来解决金融问题；另一方面金融学中大量的现实问题也向数学提出了研究的新方向，这样的一种现实催生了一门新兴学科的诞生，金融数学是以金融问题为研究对象，运用数学理论和方法(例如概率论、随机分析、随机微分方程、非线性分析、随

2、机微分方程等)进行定量研究和分析现实的金融问题的学科。这门学科自产生以来，不断地为金融学家们吸收和运用，同时也使得数学和金融学紧密交织，密不可分又相映生辉，由于金融学研究问题的不确定性，注定使随机分析作为主要工具得到了广泛的应用，这无疑提高了这门学科的门槛。虽然金融数学是一门年轻的学科，但是在发生了两次华尔街革命后，金融数学得到了迅猛发展，如今它已成为发展最快的应用数学分支之一。金融数学不仅对金融工程的创新和对金融市场的有效运作产生直接影响，而且在公司的投资决策和研究开发项目评估以及在金融机构的风险管理中均得到了广泛的应用。一、金融数学的基础理论(一)选择理论1952年美国经济学家马科维茨(h

3、arry m. markowitz)在他的博士论文“投资组合的选择”中提出了证券组合理论。他用证券组合的收益率随机变量的均值刻画证券组合的收益，用收益率的方差刻画证券组合的风险，由此形成一套“预期收益收益方差分析”方法，并建立了二次规划模型，利用拉格朗日乘子法得到了二次规划的最优解，得到了资本市场线。马科维茨指出在资本市场线上，投资者必定会选择一个适合他的投资理念和资金实力的点来决定他的投资组合。证券组合理论不但否定了古典经济学中投资者单纯追求期望收益率最大化的假设，而且又证明了投资多个证券比投资单个证券的风险小，即分散投资降低风险，这一理念一直作为投资风险的指导思想。马科维茨提出的证券投资组

4、合理论对金融资产的收益和风险之间的关系进行论述，此理论奠定了微观金融学的基础，可以说这是数学在金融学的重大突破，也是金融学的一个重要的里程碑。(二)资本资产定价理论马科维茨的证券组合选择理论是金融学上的第一个阐述收益风险关系的理论，但是他所说明的是均值方差的有效证券组合的收益方差关系，并不能说明每一种金融资产的收益风险的关系如何，尤其不能回答金融资产的风险价值从何而来。对这一问题进一步给出答案的是马科维茨的学生夏普(william f. sharpe)在1960年提出的资本资产定价模型(capm)，得到了单个风险资产收益和市场组合收益之间的相对关系，夏普利用了资本市场线有这样的性质，有2名投资

5、者都在各自的资本市场线上选择了一个点作为他们的投资决策将仍在资本市场线上，他将收益作为自变量，风险作为因变量，得到了资本资产定价模型，并证明任何证券的超额收益都与市场的超额收益成正比，即风险资产的预期收益率与市场投资组合的风险报酬之间呈线性关系，他又指出市场组合是均值方差有效的。他认为资本市场线是由无风险证券和市场组合形成的一条射线，在风险资产定价中，对定价仅仅起作用的是贝塔系数。即任意一种风险资产都在证券市场线上，它可以表示为单一风险测度的贝塔的线性函数。由于收益的方差度量风险大小，从而导致与市场风险不相关的单个风险在股票的定价中不起任何作用，而起作用的只是有规律的市场风险。资本资产定价模型

6、在证券估价、投资组合绩效评估、风险资本预算以及风险投资分析等方面具有广泛的应用，而对于资本资产定价模型也一直是有大量的实证研究作为基础，从而为金融市场的收益结构提供的初步近似。虽然在资本资产定价模型中，风险已有了明确的体现，但仍然是一个比较静态的模型，与实际研究相差甚远，那么如何把它向多期，尤其是连续时间的推广便成为当务之急，对动态的不确定问题的分析则需要更为精密和复杂的数学工具。(三)期权定价模型1900年法国数学家巴施里耶(bachelie)在投机理论论文中第一次采用布朗运动描述股票价格的变化并考虑期权的定价问题，但得到的期权定价公式只有方法论上的意义，最终没有被肯定。直到1973年，布莱

7、克(fischer black)和舒尔茨(myron scholes)在期权定价与公司负债经典论文中提出了black-scholes公式，两位经济学家利用了风险对冲、随机分析、偏微分方程等各方面的理论和工具，通过证券组合复制的方法得到了期权价格与股票价格关系的一个偏微分方程，即期权定价公式。在模型中，时间变量是连续的，并且只有两种证券，第一种是无风险证券，相当于银行账户；另一种证券是风险证券，它是期权的所谓标的资产，black-scholes公式的方便之处在于除股价波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到，而且在实际计算中，无风险证券的瞬时收益率可以直接用短期利率代入。这是一种新方法论的应用

8、，此公式的创新之处体现在两个方面，一是它使用无风险的自我融资的交易技术，并运用了无套利的方法，得到了具有普遍意义的偏微分方程；二是对公司金融和投资方面的问题深入研究和大量的应用。与此同时，默顿(merton)对期权定价模型和定价公式作了完善和多方面的推广，并将它们用期权来估价的思想发展成为所谓的未定价权益分析。在期权定价模型问世后，衍生证券定价理论随着衍生证券市场飞速发展，1973年美国成立了第一家期权交易所芝加哥期权交易所，正式推出期权的挂牌交易。2000年，这家交易所的日交易量已经超过一百万个合约，而这里每一个合约的交易都用到black-scholes公式或它推广进行估值。因而，black

9、-scholes公式被认为是人类有史以来运用最频繁的一个数学公式。black-scholes公式的诞生，激发了以无套利为原理的现代金融理论的建立，也促进金融实践的迅猛发展。二、金融数学的前沿理论(一)鞅理论1962年，苏联数学家girsanov研究了布朗运动在等价测度变换下的不变性并得到了girsanov定理。这一定理在资产定价理论中重要的应用，由杜邦开创的鞅理论逐渐形成了现代随机过程的一般理论的基础，1979年(harrison)和(kreps)提出了期权定价的鞅方法。他们对black-scholes公式增加了可取性条件，研究了对证券价格存在等价鞅测度和市场无套利之间的关系，从而得到了折准价

10、格过程等价鞅测度可推出市场是无套利的结论，同时证明了无套利机会隐含等价鞅测度的存在。也就是说，当市场是完备时，等价鞅测度存在且唯一，此时任意一种衍生证券的现值均等于该证券未来收益折现值在等价鞅测度下的数学期望。刻画这些通过测度等价改变能够变成鞅的随机过程在金融数学中具有深远的意义，此后鞅理论成为未定权益定价和对冲的主要思想方法。可以说，此方法在金融分析中占据了主导地位，同时向无套利一般均衡迈进了重要的一步，在有限离散时间金融市场模型中引入鞅理论，无套利机会就等价于存在等价概率鞅测度，而在连续时间的金融市场模型中，无论是作为无套利机会的必要条件还是充分条件，都与存在等价概率鞅测度有不小的距离，在

11、连续时间的金融市场模型围绕等价概率鞅测度的资产定价模型始终是核心。鞅理论自从产生以来，广泛应用于解决金融市场不完备条件下衍生证券的定价问题研究，也使现代金融理论取得了突破性的进展。(二)随机最优控制理论20世纪60年代随机最优控制理论产生，它利用测度理论和泛函分析方法解决随机问题。由于金融市场的显著特征就是具有不确定性，随机最优控制理论主要应用于金融学中大量的不确定性的系统建模、分析和最优控制等不确定问题的决策。默顿(merton)在1969年和1971年的两篇论文中利用随机动态规划的方法研究了连续金融时间金融模型下的最优消费投资和资产组合的问题。即在布朗运动的随机过程驱动的不确定环境时，个人

12、如何做出消费投资决策，使其终身效用最大化，这些工作为连续时间的金融问题的研究奠定了坚实的基础。布洛克(brock)和米尔曼(mirman)在不确定情况下使用离散时间的方法对经济最优增长问题进行研究。此后，随机最优控制理论广泛地应用于连续时间金融市场模型研究。中国学者彭实戈建立了倒向随机微分方程理论，并得到了一般随机最大值原理，从而进一步推动了金融数学学科的发展。(三)微分对策理论微分对策理论是对策论和控制论的重要分支，在现代金融理论的研究中得到了广泛的应用。通过运用微分对策方法来研究期权定价问题以及投资决策的信息不对称下的相互对策问题。当金融市场不满足其假定条件或出现相关异常波动时，证券的价格

13、便不服从几何布朗运动当运用随机动态模型来研究证券投资决策问题的方法时，会存在着比较大的偏差。如果运用微分对策理论来研究相关的金融决策问题可以对假设条件放宽，并把不确定的扰动考虑为敌对的一方，同时把最差的情况考虑优化，则可得到“鲁棒性”比较强的一种投资策略，微分对策理论在解决证券投资决策问题的方法已成为金融数学领域研究的新方向。(四)其他智能优化方法伴随着金融数学在金融领域应用的不断创新和发展，近年来主要表现为将智能优化方法应用到金融领域中，例如遗传算法、模拟退火算法、小波分析、人工神经网络等，力求解决风险控制和投资决策问题。我国学者赵宏等运用神经网络的方法对证券市场中的股票价格预测，虽然智能优

14、化的方法发展较晚，但却给研究学者提供了更为宽泛的课题研究领域。三、金融数学的展望金融数学在金融学问题研究主要有三项任务：建模；求解；验证模型，因此，金融数学基本覆盖了现代金融理论研究中所运用的几乎所有的数学工具和方法。金融数学的两个重要领域，一个是投资组合的风险管理，在资本资产定价模型上达到了最高点，一个是资产定价理论，在black-scholes公式上达到了最高点。这些均是离散时间金融市场模型和定性的研究和统计分析，然而，从理论研究过程中发现，连续时间金融市场模型已被证明是一个很方便的框架，金融学家也喜好用连续时间模型解决实际问题，例如在资产定价，衍生品定价、利率期限结构等，用连续时间方法建

15、立模型已成为最有效的研究途径，这主要得益于能够借助随机分析工具，在期权定价和对冲以及投资组合研究方面，用随机分析工具可以得到显式解或解析表达式。但连续时间模型在数学上处理很复杂，比如说连续时间金融模型的参数估计，如何应用计量经济学中矩阵估计方法、参数估计方法、非参数估计方法等，如何对模型技术方面的处理；如何对模型数据进行检验；这些问题引起了计量经济学家的重视，20世纪80年代以来，许多概率论领域的学者也开展了对金融数学的理论和应用的研究，如何采用软件对金融模型进行应用分析；如何运用金融数学的思考模式来对大量市场交易活动进行应用分析等都是金融数学未来研究的新问题。金融数学将会在现代金融理论研究和

16、实践中面临着新的挑战，得到深入的发展和广泛的应用。参考文献：1宋逢明.金融工程原理无套利均衡分析m.北京：清华大学出版社，1999.2郑振龙.金融工程m.北京：高等教育出版社，2011.3张友兰，丁爱民.金融数学的研究与进展j.高等数学研究，2004，7(4)：53-55.4郭文旌，胡奇英.随机市场系数的mv最优投资组合选择：一个鞅方法j.高校应用数学学报：a辑.2003，18(3): 295-302.5赵宏，邹雯，汪浩.证券市场预测中的神经网络方法j.系统工程理论与实践，1997.17.6markowitz. h. porfolio selectionj. journal of finance, 1952, 7: