常微分方程期末考试试卷(6)

1、精品资料欢迎下载常微分方程期末考试试卷(6)学院 _班级 _学号 _姓名 _成绩 _一 填空题（共 30 分， 9 小题， 10 个空格，每格 3 分）。1.当 _时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全微分方程。2、_称为齐次方程。3、求 dy=f(x,y) 满足( x0 )y0 的解等价于求积分方程_的dx连续解。4、若函数 f(x,y) 在区域 G 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件，则方程 dyf (x, y)dx的解 y=(x, x0 , y0 ) 作为 x, x0 , y0 的函数在它的存在范围内是_。5、若 x1 (t ), x2 (t ),.x3

2、 (t) 为 n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。6、方程组 x /A(t ) x 的_称之为 x/A(t) x 的一个基本解组。7、若(t)是常系数线性方程组/Ax的基解矩阵，则 expAt =_。x8、满足 _的点（ x* , y* ），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _。二、计算题（共6 小题，每题 10 分）。1、求解方程： dy= xy1dxxy 232.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0精品资料欢迎下载3、讨论方程 dy31y 3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

3、并求通dx2过点（ 0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：x/2x /3xe t cost5、试求方程组 x /Ax 的一个基解矩阵，并计算 eAt12,其中 A为346、试讨论方程组 dxaxby,dycy（1）的奇点类型，其中 a,b,c 为常dtdt数，且 ac 0。三、证明题（共一题，满分10 分）。试证：如果 （ t）是 x/Ax 满足初始条件(t0 )的解，那么(t)e A( t t 0 )精品资料欢迎下载常微分方程期末考试答案卷一、填空题。（30 分）1、M ( x, y)N (x, y)yx2、 dyf (y )dxx3、y= y0+xf ( x, y)dxx04、连续的5、

4、w x1 (t ), x2 (t ,),., xn (t )06、n 个线性无关解7、 (t)1 (0)8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零稳定中心二、计算题。（60 分）1、解：(x-y+1)dx-(x+ y 2 +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx- y 2 dy-3dy=0即 1 d x 2 -d(xy)+dx- 1 dy 3 -3dy=023所以 1 x 2xy x1 y 33y C23、解： dy2(xy)1 ，令 z=x+y2( xy)2dx则 dz 1 dydxdxdz2 z1z 1z2dx1z2z,zdzdx21所以z+3ln|z+1|=x+ C1 ， ln

5、 | z1 |3 =x+z+ C1即 ( xy1)3Ce 2xy精品资料欢迎下载31f123、解： 设 f(x,y)=y 3 ,则y 3( y 0)2y2故在 y0 的任何区域上f 存在且连续，y因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然， y0 是通过点（ 0， 0）的一个解；又由 dy313y 3解得， |y|= ( xc) 2dx2所以，通过点（ 0，0）的一切解为 y0 及|y|=30( x c)(x c), c(xc) 20是常数4、解： (1) 223 0,1,212i齐次方程的通解为 x= et (c1 cos2tc2 sin2t)(2)1i 不是特征根，故取 x(

6、 A costB sin t )e t代入方程比较系数得 A=5 ，B=- 44141于是 x( 5 cost4 sin t) e t41411通解为 x= et (c1 cos2tc2 sin2t ) +(5cost 4 sin t )e t415、解： det( E1224 5 0A )=34所以，11,25设 11 对应的特征向量为 v1精品资料欢迎下载221由44 v10可得 v110取 v11同理取 v2121所以，(t ) = e t v1e5 t v2e te5te t2e5tt5t1eAt1(0)ee11(t )12e t2e5t1e te5t213e t2e5t111e5t2e te5te t32e5t2e t2e5te t6、解：因为方程组（ 1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件ab0，故奇点为原点（ 0，0）0acc又由 det(A-ab2( a c) ac 0得E)=c01a2c所以，方程组的奇点（ 0， 0）可分为以下类型：ac奇点为结点a0, c0,稳定结点a，c 为实数ac 0a 0, c 0, 不稳定结点奇点为鞍点（不稳定）ac 0b0,奇点为退化结点a0, c，稳定结点ac0b0,奇点为奇结点a0, c0,不稳定结点三、证明题。（10 分）证明： 设(t)的形式为(t )=eAt C（ ）1（C 为待定的常向量）