格林公式及其应用(打印课件

1、第二节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第八章第八章 （一）、区域连通性的分类（一）、区域连通性的分类 设设D D为平面区域为平面区域, , 如果如果D D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围成的部分都属于成的部分都属于D, D, 则称则称D D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域D DD D（二）、格林公式（二）、格林公式定理定理1 1连连成成与与由由21LLL组组成成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向:

2、: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, ,区域区域D D总在他的左边总在他的左边. .2LD1L2L1LD),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1),()(),(21dycyxyyxD y yx xo o a ab bD Dc cd d)(1xy )(2xy A AB BC CE E)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)

3、(2yx DcCE)(1yx 证明证明(2)(2)L1L2L3LD D1D2D3D两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLLG GD D3L2LF FC CE E1LA AB B证明证明(3)(3)由由(2)(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyP

4、dx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对DLLLx xy yo oL L1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分（三）、简单应用（三）、简单应用A AB BDBOABOAL LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于.412rdxdyxdyDAB 2. 2. 简化二重积分简化二重积分x xy yo oAB11D BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e OADAOAOOAOAdxdyyPxQ)(（例例3 3 计算计算 ,dy)y(sinedx)ycos(eI

5、xLx11 解：可直接化为对解：可直接化为对x x的定积分，但计算量较大。这的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。里用格林公式。 xyLsin: 从到从到)0 , 0(O)0 ,( A（01 dxdyysine)y(sinexDx 0sin00sin xdxedyedxxxx.2121| )cos(sin20 exxex解解L( (1 1) ) 当当D )0, 0(时时, ,1DrlxyoLD Lyxydxxdy022yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy.2 ( (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) ) dr

6、rr22222sincos 20小结：小结：（1 1）L L是是D D的边界，在的边界，在D D上上yPxQ 简单，进而简单，进而 DdxdyyPxQ)(易于计算时，可应用格林公式计算易于计算时，可应用格林公式计算 LQdyPdx.注注: : 此例中所作的辅助圆此例中所作的辅助圆l l一定要是一定要是D D内的圆内的圆周（即周（即r r充分小）充分小） （2 2）L L不封闭时，采取不封闭时，采取“补线补线”的方法：的方法： lDlLlLdxdyyPxQ)(l 要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。 选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。选用直线段、

7、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。 l（3 3）如在）如在D D上上P P、Q Q一阶偏导连续，且处处有一阶偏导连续，且处处有 ,yPxQ 则则; 0 L 如如D D内除点外均有内除点外均有 则则 ,yPxQ lL),(000yxM 其中是包围点的与同向的光滑的简其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点坏点”） 例例 5 5 计算计算 逆时针逆时针方向。方向。 ,yx:C,yxydxxdyIC142222 ,yxxQ,yxyP222244 解

8、：解：,)yx(yx)yx(xx)yx(xQ222222222244484 Lll),(00yx),(00yx,)4(4)4(2)4(2222222222yxyxyxyyyxyP 除原点外处处有除原点外处处有 .yPxQ 取取, ,逆时针方向，则逆时针方向，则 2DLLcdxdyydxxdy 14:22 yxL LDydxxdydxdy23. 3. 计算平面面积计算平面面积解解 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANMG Gy yx xo

9、o 1LQdyPdx 2LQdyPdx1L2LB BA A如果在区域如果在区域G G内有内有 二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件1 1、平面上曲线积分与路径无关的等价条件、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.2.设设 是单连通域是单连通域 , ,)y,x(Q),y,x(P在在 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, ,(1) (1) 沿沿 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 , ,有有.0ddLyQxP(2) (2) 对对 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 , , 曲线积分曲线积分(3)(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) (

10、4) 在在 内每一点都有内每一点都有.xQyP LyQxPdd与路径无关与路径无关, , 只与起止点有关只与起止点有关. . 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价: :在在 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分, ,即即 DDDDLLDD说明说明: : 积分与路径无关时积分与路径无关时, , 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)(1) (2)设设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为为D D内任意两条由内任意两条由A A到到B B的有向分段光滑曲线的有向分段光

11、滑曲线则则( (根据条件根据条件(1)(1)BAyQxPddAByQxPdd证明证明 (2)(2)（3 3）在在D D内取定点内取定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 则则),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可证同理可证yu ),(yxQ 因此有因此有yQxPuddd 和任一点和任一点, ,与路径无关与路径无关, ,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数有函数 ),(yxB证明证明 (3)

12、 (3) （4 4）),(yxu设存在函数设存在函数 使得使得yQxPuddd 则则)y,x(Qyu),y,x(Pxu 在在D D内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数, ,xyuyxu 22所所以以从而在从而在D D内每一点都有内每一点都有xQyP xyuxQ,yxuyP 22QP,证明证明 (4)(4)（1 1） 设设L L为为D D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线, ,DD ( (如图如图) ,) ,上上因此在因此在 D xQyP 利用格林公式利用格林公式 , , 得得ydx)xQxQ(ydQxdPLDd DDL0 所围区域为所围区域为证毕证毕yx说明说明: : 根据定理根据定理2

13、,2,若在某区域内若在某区域内,xQyP 则则2) 2) 求曲线积分时求曲线积分时, , 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算, ,3)3)可用积分法求在域可用积分法求在域D D内的原函数内的原函数: :Dyx ),(00及动点及动点,),(Dyx yd )y,x(Qxd )y,x(P)y,x(u)y,x()y,x( 00 xxxd )y,x(P00或或 yyyd )y,x(Q)y,x(u000y0 x则原函数为则原函数为 yyyd )y,x(Q0 xxxd )y,x(P0若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, , 可添加辅助线可添加辅助线; ;取定点取定点1) 1) 计算曲线积分

14、时计算曲线积分时, , 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径; ;QdyPdxdu yAxoL例例5. 5. 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL 其中其中L L 为上半为上半24xxy 从从 O (0, 0) O (0, 0) 到到 A (4, 0).A (4, 0).解解: : 为了使用格林公式为了使用格林公式, , 添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L L所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd4 OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx圆周圆周区域为区域为D , D , 则则3648 例例6.6.验证验证yyxxyxdd22 是某个函数的

15、全微分是某个函数的全微分, ,并求并求出这个函数出这个函数. . 证证: :设设,22yxQyxP 则则xQyxyP 2由定理由定理2 2 可知可知, , 存在函数存在函数 u (x , y)u (x , y)，使，使yyxxyxuddd22 ),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x xxx0d0yyxyd02 yyxyd02 2221yx 例例7.7.验证验证22ddyxxyyx 在右半平面内存在原函在右半平面内存在原函数数 , , 并求出它并求出它. . 证证: : 令令2222,yxxQyxyP 则则)0()(22222 xyQyx

16、xyxP由定理由定理 2 2 可知存在原函数可知存在原函数 ),()0 , 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxyoxy yyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx)0( xoxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx ),()0 , 1(22dd),(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctan xxy例例8. 8. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线 L :L :xycos2 由由)2, 0( A移动到移动到,

17、)0,2( B求力场所作的功求力场所作的功W W解解: :)dd(2 Lyxxyrk令令,22rxkQrykP 则有则有)0()(22422 yxryxkyPxQ可见可见, , 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. . )(22yxr 其其中中LBAyox),(2xyrkF sFWLd :AB)dd(2yxxyrkWAB d)cos(sin2022 k)02:(sin2,cos2 yxk2 取圆弧取圆弧LBAyox注意注意, , 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关 ! !内容小结内容小结1. 1.

18、格林公式格林公式 LyQxPdd2. 2. 等价条件等价条件在在 D D 内与路径无关内与路径无关. .yPxQ 在在 D D 内有内有yQxPuddd yxyPxQDdd LyQxPdd对对 D D 内任意闭曲线内任意闭曲线L L有有0dd LyQxP在在 D D 内有内有设设P,QP,Q在单连通域在单连通域D D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, , 则有则有思考与练习思考与练习1. 1. 设设,4:,1:222412 yxlyxL且都取正向且都取正向, , 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ? ? Lyxxyyx22d4d)1( lyxxyyx22d4d lxyyxd4d41Do2y1x2Ll D d5415 Lyxxyyx22dd)2( lyxxyyx22dd lxyyxdd41 D d241 2 提示提示: :时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(2. 2. 设设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求提示提示: : ),(dyxuxxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),(yxuyox),(yx)0