CH2-4随机变量的分布函数

1、Ch2-4-1为r.v.X 的分布函数.称函数x),xX(P)x(F定义定义2.4 随机变量的分布函数注注上的累积概率x ,(2) F(x)X在(1) F(x)关于x的一元函数,定义域 R, 值域0,1一一. r.v. 的分布函数的分布函数Ch2-4-2(2) F ( x ) 单调不减，即)()(,2121xFxFxx(1) Rx)x(F10,)x(Flim)(Fx1(4) F ( x ) 右连续，即)x(F)x(Flim)x(Fxx0000反之，性质性质(3) 0)x(Flim)(FxCh2-4-3)aX(P用分布函数求概率用分布函数求概率故分布函数能完整刻画故分布函数能完整刻画r.vr.v

2、. .的概率分布的概率分布)(bXP)()(aFbF（ab （)(bXaP)(aXP)(bXP)aX(P1)a(F1)(bFCh2-4-4例例2-4-12-4-1设设F1(x),F2(x)分别是随机变量分别是随机变量X1，X2的分布函数，为使得的分布函数，为使得 F (x)=0.6 F1(x)-a F2(x) 是某个随机变量的分布函数，是某个随机变量的分布函数，a应取值？应取值？)(aF)(F.)(F2160故a= - 0.411601a.解解 由分布函数的性质练练2-4-12-4-1 练习册练习册P17 二、二、21) 1ln()(limxxFx11limxx0Ch2-4-5二二. 离散型离

3、散型 r.v.的分布函数的分布函数01234xx,.3021 x,.1010 x, 00 x14x)x(F XP 0 1 2 3 40.1 0.2 0.20.30.2 )(xXP32 x,.5043 x,.80例例2-4-2 2-4-2 Ch2-4-61xF( x)ooooo 01234Ch2-4-7)xX(P)x(FX kxxx21P kppp21若离散型若离散型r.v. X 的概率分布律为的概率分布律为则则 X 的分布函数为的分布函数为一般地一般地xxkkpCh2-4-8 x,p121xxx, 01xx , 1nxx )(xF) xX( P,pp21,ppk1,ppp32132xxx43x

4、xx1kkxxxxxxxx1x2x3xkxnxCh2-4-91xF( x)ooooox1x2x3xkxn1p21pp kpp1321ppp F( x) 是分段阶梯函数是分段阶梯函数, 在在 X 的所有可的所有可能取值能取值 xk 处发生间断处发生间断, 在间断点在间断点xk 处有跳处有跳跃度跃度 pk的右连续曲线的右连续曲线.Ch2-4-10用分布律或分布函数计算事件的概率用分布律或分布函数计算事件的概率例例2-4-22-4-2续续 用分布律与分布函数求概率：解解15 . 03 . 02 . 0)31 ( XP)31 ( XP)3()2(XPXPXP 0 1 2 3 40.1 0.2 0.20

5、.30.2用分布律求概率：Ch2-4-11解解2) 1 ()3(FF5 . 03 . 08 . 0练练2-4-22-4-2 设练习册设练习册P11一、一、2 二、二、1)31 ( XP,.3021 x,.1010 x, 00 x14x)x(F )(xXP32 x,.5043 x,.80用分布函数求概率：Ch2-4-12x p(x)x)x(py xt)t (pxd分布函数的几何意义三三. 连续型连续型 r.v.的分布函数的分布函数)xX(P)x(FF ( x )Ch2-4-13xt)t (p)x(Fxd可变上限定积分可变上限定积分是是处处连续处处连续的的,因此几乎处处可导。在因此几乎处处可导。在

6、 p ( x ) 的连续点处，有的连续点处，有)x(F)x(pCh2-4-14对于连续型r.v. X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(aFbFbadx)x( p)(bXP)(aXP)()(bFbXP)(1)(aFaXPbxp(x)aCh2-4-15例例2-4-32-4-3 设随机变量设随机变量X 具有概率密度具有概率密度(1) 确定常数确定常数k(2) 求求X 的分布函数的分布函数( )F x 解(1) 由3403(2)12xkxdxdx16k 解得1dx)x(p其它,x,xx,kx)x(p0432230Ch2-4-16(2)x(F,dtdt)t(dttx44330022

7、6, 00 x,dttx0630 x43 x,dt)t(dttx3302264x034xxt)t ( pdCh2-4-17220, 0, 0312( )32, 3441, 4xxxF xxxxx Ch2-4-18练练2-4-32-4-3 练习册练习册P16 一、一、9 解解2, 121, 122)2(10,20, 0211020 xxxxdtttdtxxtdtxxx)x(Fxt)t ( pdCh2-4-19例例2-4-42-4-4设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度函数的概率密度函数p(x)是一个偶函数，是一个偶函数， F (x)为为X的分布函数，的分布函数，则对任意则对任意 xR ,

8、 有有F (x)+ F (-x)=？故 F (x)+ F (-x)=F()=1解解 由图可知， -x x阴影部分面积相同练练2-4-32-4-3 练习册练习册P16 二、二、1Ch2-4-20例例2-4-52-4-5 设随机变量的分布函数求(1) 常数a,b (2)密度函数p(x) 解 (1)由解得Rx , xarctanba)x(FX(3)P(-1X1)X(P11)xarctanba()x( F)x(p,/ba)(F/ba)(F2021,/b/a121(2)(3)5011.)(F)(F)x(211Ch2-4-211, 0abaxbxbxaax,xt) t ( p)x(Fd(1) 均匀分布均匀分布),(baUXxF(x)ba四四. 常见连续型常见连续型 r.v.的分布函数的分布函数Ch2-4-220,10, 0)(xexxFxxF( x)0(2) 指数分布指数分布)( eXCh2-4-23(3) 柯西分布柯西分布x, xarctan)x(F121Ch2-4-24CH2-