..弯矩、剪力、荷载集间的关系 叠加法作剪力图和弯矩图

1、杆件的内力及其求法 梁的内力图及其绘制 弯矩、剪力、荷载集度 间的关系 叠加法作剪力图和弯矩图 其它杆件的内力计算方法 小结第一节第二节第三节第四节第五节返回第一节 杆件的内力及其求法 一、杆件的外力与变形特点 平面弯曲荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内，梁轴线也在该平面内弯成一条曲线。 1.弯曲梁（横向力作用）受力特点：垂直杆轴方向作用外力， 或杆轴平面内作用外力偶；变形特点：杆轴由直变弯。 单跨静定梁的基本形式：返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结2、轴向拉伸与压缩 杆（纵向力作用）受力特点：外力与杆轴线方向重合；变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短。3、扭转轴（外力偶作用

2、）受力特点：外力偶作用在垂直杆轴平面内；变形特点：截面绕杆轴相对旋转。4、组合变形两种或两种以上基本变形的组合。返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结二、梁的内力及其求法 1、剪力和弯矩的概念 图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平衡状态。 求距支座a为x的横截面m-m.上的内力。用截面法求内力。 步骤：1)截开 2)代替 内力外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。 杆件横截面上的内力有：轴力，剪力，弯矩，扭矩等。剪力q限制梁段上下移动的内力;弯矩m限制梁段转动的内力偶。 单位：剪力q kn, n；弯矩m kn.m ， n.m 3)平衡 0y0qraarq 0o

3、m0 xrmaoxrmao若取右半段梁为研究对象,可得：qq oomm 返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 1）剪力q：截面上的剪力q使所取脱离体产生顺时针转动趋势时（或者左上右下）为正，反之为负。 2）弯矩m：截面上的弯矩m使所取脱离体产生下边凸出的变形时（或者左顺右逆）为正，反之为负。 为避免符号出错,要求： 未知内力均按符号规定的正向假设。返回 下一张 上一张 小结 2、剪力和弯矩的符号规定返回 下一张 上一张 小结例例3-1：悬臂梁如图所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和弯矩。解：解：1）求1-1截面上的内力 0yqlpq21100m218121qlplm021

4、1qqlp04)21(21mlqllp 求得的 q1 、m1 均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 o 是1-1截面的形心。2）求2-2截面上的内力0yqlpq200m2221qlplm02qqlp02)(2mlqllp 求得的 q2 、m2 均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 o1是2-2截面的形心。返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 例3-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。解：1、求支座反力：由整体平衡0638, 021abyppmknya140632, 021bayppmknyb9校核： 反力无误。020391421ppyyyb

5、a 2、求1-1截面上的内力：取左半段研究0, 011qpyyaknpyqa1131411013, 011mypmao矩心o1-1截面形心 3、求2-2截面上的内力：取右半段研究0, 02byqyknyqb9205 . 1, 02mymbomknpyma53111mknymb5 .135 .12若取左半段梁研究，则0, 0221qppyyaknppyqa92031421205 . 15 . 65 . 4, 0221mppymaomknppyma5 .135 . 15 . 65 . 4212矩心o2-2截面形心返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结3、直接法求梁的内力：（由外力直接

6、求梁横截面上的内力） （1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和；iqpq 符号规定：外力使截面产生顺时针转动趋势时（或左上右下）该截面剪力为正，否则为负； （2）梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对截面形心力矩的代数和；)(iqopmm 符号规定：外力使梁段产生上凹下凸变形时（或左顺右逆）该截面弯矩为正，否则为负； 计算时可按二看一定的顺序进行：一看截面一侧有几个力，二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一

7、张 小结例例3-3：简支梁如图所示。试计算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和弯矩。 解解：1）求支座反力 0am0322lvlpplb0mb 06p7p6pvpvyba 61pvqa)(6032pvlvlpplaa2）计算截面内力 1-1截面：)(67pvb反力无误。校核1831pllvma2-2截面：62pvqa9423632plpllpmlvma3-3截面：63pvqa1872326)33(3plpllpmllvma4-4截面:674pvqb18736734pllplvmb返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 第二节 梁的内力图及其绘制 梁各截面的内力随截面位

8、置而变化，其函数关系式 qx=q(x), mx=m(x) 称作剪力方程和弯矩方程。 列内力方程即求任意截面的内力。qxpxq)(221)(qxpxxm 反映剪力（弯矩）随截面位置变化规律的曲线，称作剪力（弯矩）图。二、剪力图和弯矩图的作法： 取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；可先列内力方程再作其函数曲线图。)0(lx )0(lx 如悬臂梁：当x=o, q(x)=-p, m(x)=0; x=l, q(x)=-p-ql, m(x)=-pl-ql2/2.其剪力图和弯矩图如图示。221qlpl 返回 下一张 上一张 小结 一、剪力图和弯矩图的概念返回 下一张 上

9、一张 小结 例3-4 作图示悬臂梁的内力图。 解：1.列内力方程：（先确定x坐标，再由直接法求x截面的内力。）)0( ,)(lxpxq)0( ,)(lxpxxm 2.作内力图：（先取坐标系确定端点坐标，再按内力方程特征绘图。）q(x)等于常数，为水平线图形；由;)(,)0(, 0plqlxpqx作剪力图 m(x)等于x的一次函数，为斜直线图形；由;)(,; 0)0(, 0pllmlxmx作弯矩图 结论：当梁段上没有荷载q作用时，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 例3-5 作图示简支梁的内力图。解：1.列内力方程：先求支座反力)0( ,21)(

10、lxqxqlqxvxqa)0(),(2121)(22lxxlxqqxxvxma利用对称性：)(21qlvvba 2.作内力图： q(x)为x的一次函数，q图为斜直线；;21)(,;21)0(, 0qllqlxqlqx作 m(x)为x的二次函数，m图为抛物线；;81)2(,2; 0)(,; 0)0(, 02qllmlxlmlxmx 结论：当梁段上有均布荷载q作用时，q图为斜直线，m图为二次抛物线。作返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 例3-6 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方程： 求支座反力：由整体平衡),(lpbva);(lpavb校核无误。 因p作用，内力方程应分a

11、c和cb两段建立。ac段：)0( ;)(,)(axxlpbxvxmlpbvxqaacb段：);()()(,)(1111xllpaxlvxmlpavxqbb)(1lxa2.作内力图：)0( ;)(,)(2222bxxlpaxmlpaxq; 0)0(,)0(, 0mlpaqx; 0)(,)(,amlpbaqax;)(,)(),( ,21lpabamlpbaqbxax. 0)(,)(),0( ,21lmlpalqxlxac段：cb段：返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 结论：在集中力p作用截面，q图发生突变，突变值等于该集中力p的大小；m图有尖角，尖角的指向与集中力p相同。 内力函

12、数的不连续是由于将集中力的作用范围简化为一个点的结果。若考虑集中力为微梁段上的均布荷载，则c截面的 q图和m图应为斜直线和抛物线。 因此，当谈到集中力作用出的剪力时，必须指明是集中力的左侧截面（c左）还是集中力的右侧截面（c右）。返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 例3-7 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方程：求支座反力)(lmvvba校核无误。ac段：)0( ;)(,)(axxlmxmlmxqcb段：)();()(,)(1111lxaxllmxmlmxq)0( ;)(,)(2222bxxlmxmlmxq 2. 作内力图：; 0)0(,)0(:0mlmqx;)(,)(

13、:lmaamlmaqax;)(,)(:1lmbamlmaqax. 0)(,)(:1lmlmlqlxac段：cb段： 结论：在集中力偶作用截面，q图不受影响；m图有突变，突变值等于该集中力偶的力偶矩。（谈弯矩时，必须指明集中力偶作用截面的左侧或者右侧。）返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结第三节 弯矩、剪力、荷载集度间的关系 一、弯矩、剪力、荷载集度间的关系 由梁微段的平衡条件：0)()()()(, 0dxxqxdqxqxqy).()(axqdxxdq; 02)()()()()(, 0dxdxxqdxxqxmxdmxmmo(mo矩心o取在右侧截面的形心。).()(bxqdxxdm

14、将(b)代入(a)，).()(22cxqdxxmd(a)、(b)、(c)三式即q、m、q间的关系。力学意义：微分形式的平衡方程；几何意义：反映内力图的凹凸性；（一阶导数反映切线斜率； 二阶导数反映曲线凹凸性。）返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 二、m、q、q三者间关系在内力图绘制中的应用（内力图特征） q=0梁段 q=c梁段 p作用截面 m 作用梁段 梁上外力剪力图弯矩图 返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结例例3-8：用简捷法绘出图示简支梁的内力图。解解：1）计算支座反力 )(kn6va )(18knvb0461864qvvybaknqvqknqabc18

15、4664,6knvqqaca6, 0am0,24122bacmmknvm0)(qxvxqbmqvxb3618mknqvmb2723330mknvmac122在q=0处，弯矩有极值,数值为：由bc 段：ab 段：bc 段：ab 段：3）画内力图：（先求控制截面内力值，再按内力图特征画图。） 剪力图 校核无误。2) 梁分段：为ac,cb两段。弯矩图返回 下一张 上一张 小结4）确定内力最大值：,18|maxknq在b支座处。,.27|maxmknm在距b支座3m处。返回 下一张 上一张 小结 三、简捷法绘梁内力图的步骤： 1. 求支座反力；（注意校核！悬臂梁可省略。） 2. 将梁分段；（以梁上荷载

16、变化处为界，包括：p、m作用点，q的起止点，梁的支座和端点等。） 3. 绘内力图；（先确定控制截面内力值，再按 绘图，最后用内力图特征检验。控制截面即梁分界截面。注意p、m作用处应取两侧截面。） 4. 确定内力最大值及其位置。(从图上直接找 。)maxmax| ,|mq 简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值（一般用直接法）；熟记内力图的特征。 确定控制截面内力值的方法有三种： 1）截面法；（三个步骤，两套符号规定。） 2）直接法；（由外力定内力符号看梁的变形。） 3）积分法。（微分关系逆运算的应用。）返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结内力图特征 3）积分法求指定截

17、面的内力： 假定梁段上从左向右依次有a、b两个点，a点的qa、ma已知，可由此计算b点的qb、mb.。 a b 由),()(xqdxxdq;)()(dxxqxdq,)()(babadxxqxdq;)(baabdxxqqq同理，由),()(xqdxxdm;)(baabdxxqmm 如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值；按内力图的特征逐段绘图。 这样需知梁端点上的内力值：梁端点荷载剪力值弯矩值铰支座无集中荷载支反力值 零固定端无集中荷载支反力值支反力偶矩 自 由 端无集中荷载 零 零 集中力p p力值 零集中力偶m 零 m力偶矩返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小

18、结 例3-9 试用简捷法绘制图示外伸梁的内力图。 解：1、求支座反力：)(7)32108288(121knya)(5)152104248(121knyb02281bayyy校核无误； 2、梁分段：为ac,cd,db,be四段； 3、绘图：从左向右逐段作q图和m图； 检验q最后与右端p2值相等,结果无误； m极值点的确定:（由三角形的相似比）;434),134(xxx;3)3143(mxmknmf.5 .20112120mknmmknmrdld.61016.1633215 .204、确定内力最大值：|q|max=7kn 在a端； |m|max=20.5kn.m 在距a端5m处（在f端）。返回 下

19、一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结第四节 叠加法作剪力图和弯矩图 一、叠加原理： 分析图示悬臂梁。 ,qlrprqlprbqbpb;2,222qlmplmqlplmbqbpb;)(;)(,)(qxxqpxqqlpxqqp;2)(,)(,2)(22qxxmpxxmqxpxxmqp;bqbpbrrr;bpbpbmmm);()()(xqxqxqqp).()()(xmxmxmqp返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 叠加原理： 由几个荷载所引起的反力，内力或其它参数（应力、位移）等于各个荷载单独引起的该参数值相叠加。 二、 叠加法作剪力图和弯矩图 步骤： 1）先把作用在梁上的

20、复杂荷载分解为几组简单荷载单独作用情况； 2）分别作出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。（各图已知或容易画出，可查表51） 3）叠加各内力图上对应的纵坐标代数值，得原梁的内力图。 叠加原理适用条件：参数与荷载成线性关系。即各种荷载对结构产生的效应（即各参数）彼此独立。 对静定结构，小变形假设可保证这一点。 注意：叠加不是图形的拼合，而是将同一截面上的内力值代数相加；是各简单荷载下的内力图在对应点的纵坐标相加。返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结例310 用叠加法作图所示外伸梁的 m 图。解解：1）先分解荷载为p1、p2单独作用情况； 2）分别作出各荷载单独作用下梁的弯矩图

21、； 如图 a 3）叠加各控制截面各弯矩图上的纵坐标得梁的弯矩图。如图d返回 下一张 上一张 小结返回 下一张 上一张 小结 三、区段叠加法作梁弯矩图(适用于复杂荷载作用下结构的弯矩图。) 梁中取出的任意梁段都可看作是简支梁，用叠加法作简支梁的弯矩图即梁段的弯矩图。 梁段中的极值的求法： 1.列剪力方程； 2.令剪力方程为零，确定x坐标； 3.将x截面各m图的纵坐标叠加。 ;2bdcdbcbcllplmm返回 下一张 上一张 小结 因为m极值未必是最大值，且一般极值与跨中截面的弯矩值较接近，故结构内力计算时多求梁段中 点弯矩，而不求极值，以简化计算。返回 下一张 上一张 小结第五节 其它杆件的内

22、力分析 一、拉压杆(沿轴线纵向力作用） 内力：轴力n， 轴力的符号规定：拉为正，压为负。;inpn 二、扭转圆轴（横截面内力偶作用）返回 下一张 上一张 小结 1、扭矩 ： 用截面法求内力。 轴力图的规定：正值的轴力图画在轴上侧，负值在轴下侧。 1）截开；2）代替；3）平衡。扭矩限制轴段转动的内力偶。扭矩单位：;,mknmn., 0, 0knknxmmmmm扭矩的符号规定：按右手螺旋法则， 顺时针为正，逆时针为负。 二、功率、转速与扭矩之间的关系作用在传动轮上的外力偶矩通常需由轴的功率和转速换算。 设皮带轮处的力偶矩为mk (单位：nm) 轴转动一分钟时力偶矩mk所作的功为：则皮带轮每分钟所作

23、的功为： 机器的功率为t(单位：千瓦；1kw 当于每秒钟作1000nm的功）；或功率为n(单位：马力；1ps=735.5 nm/s); 轴每分钟转速为n(单位：r/min)；)(min)/()(9550.260000mnrnkwtntmk)(60000mntwkmnw.2或：)(min)/()(70207024mnrnpsnnnmk返回 下一张 上一张 小结, ww 例3-11、试作图示机器传动轴的扭矩图。已知轴的转速 ，主 动轮1 的功率 ，三个从动轮2、3、4的功率 分别为 。, wwpsn5001;1502psn psnpsn200;15043求外力偶矩：（2）计算扭矩：根据平衡条件：与

24、轴转向一致mknm.70.1130050002. 71mknmm.51. 330015002. 732mknm.406830020002. 74021mmnmknmmn.51. 3210322mmmn 0 xmmknmmmn.02. 7322043mmnmknmmn.68. 443mknmn.02.7max （3）确定最大值： 在31轴段。返回 下一张 上一张 小结3、 组合变形杆件的内力：（将外力向沿杆轴和垂直杆轴的对称轴方向分解，再由平衡条件确定内力。） （1）斜弯曲 （双向平面弯曲）： 两分力py,pz分别引起沿铅垂面和水平面的平面弯曲。略去剪力作用，则x截面的弯矩方程为：.sinsin

25、)(mxpxpxmzy;coscos)(mxpxpxmyz 例3-12 作图示悬臂梁的弯矩图。.2,/5knpmknq;1025212122maxmknqlmz.422maxmknplmy返回 下一张 上一张 小结 （2）拉伸（压缩）与弯曲的组合：两分力px、py产生沿轴线方向的拉伸（压缩）和铅垂面内的平面弯曲变形。x截面的内力方程为：;sin)(ppxnx.cos)(xpxpxmyz 例3-13 简易吊车如图，作横梁内力图。 解：1）作横梁内力图，求拉杆作用力： 2）求内力：;8 .1285 . 25 . 15 . 2knyb;408 .128 . 05 . 2knxb;12knxnbx.1

26、25 . 15 . 25 . 15 . 28 .12mknmb3）作内力图：返回 下一张 上一张 小结（3）偏心压缩（拉伸）： 偏心力p平移后所得力p和附加力偶m使杆件产生轴向压缩（拉伸）和纯弯曲的组合变形。;yzpempn.zypem例3-14 厂房牛腿柱如图，已知横梁传来轴向力p1=100kn,吊车梁传来偏心力p2=30kn,偏心距e=0.2m。求作其内力图。 解：;130)30100()(21knppn.62 . 0302mknepm返回 下一张 上一张 小结4）弯曲与扭转的组合：皮带轮紧边受力t大于松边t，向轴线平移所得p和附加力偶mk使轴产生铅垂面弯曲和扭转的组合变形。;)()(xttpxxm;2)(dttmk例3-15 卷扬机工作时受摇把上推力p和吊装勿重量q共同作用。设横轴匀速转动，不考虑轴承摩擦，试作其内力图。 解：铅垂面内重力q使轴产生弯曲变形，跨中截面最大弯矩为ql/4; 力p,q均未通过轴线，分别产生力偶矩mxa=pa和mxb=ql,ac轴段扭矩mx=pa=ql;分别作弯矩