格林公式及其应用(35)课件

1、 第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十章 LD区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左（域的内部靠左（P141）定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyx

2、QPdddd或或一、一、 格林公式格林公式 证明证明: : 1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 且且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD 即即yxxQDddLyyxQd),(同理可证同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得、两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd yxoL2) 若若D不满足以上条件不满足以

3、上条件, 则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域 , 如图如图)(的正向边界表示kkDD证毕证毕 例例+ +. . 设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 证明证明0dd22yxxyxL证证: 令令,22xQyxP则则yPxQ利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyxLdd22022xxDyxdd00 推论推论: : 正向闭曲线正向闭曲线 L L 所围区域所围区域 D D 的面的面积积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQx

4、PyxyPxQdddd例如例如, 椭圆椭圆20,sincos:byaxL所围面积所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab 例例1.1.计算计算 ABxdyooyDABL5 图xABr，其中曲线，其中曲线是半径为是半径为的圆弧在第一象限的部分的圆弧在第一象限的部分 ABOABOL解：引入辅助线解：引入辅助线 ABxdyxdyBOOAL则则 例例1 1 续续则则yxyPxQyQxPDLddddyxDdd)01 (241ddryxDryxOA0:, 0:000rOAdyxdy 0:, 0:rxyBO000rBOdxxxdyABxdy22410041rr则 例例2. 2.

5、 计算计算,dd22Lyxxyyx其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线.解解: 令令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设设 L 所围区域为所围区域为D,)0 , 0(时当D由格林公式知由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL dsincos2022222rrr,),(时时当当D 00在在D 内作圆周内作圆周,:222ryxl取逆时取逆时针方向针方向,1D, 对区域对区域1D应用格应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx

6、2222ddddL1Dloyx记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , 得得2 例例3 3 . .计算由星形线计算由星形线: :L L， 3cosax 3sinby ）（ 20 所围区域的面积所围区域的面积 DSLxyyxdd2120424223dt)tsintcostcost(sinba202223tdtcostsinba2041163dt)tcos(baba83解：由公式解：由公式 yAxoL练习练习. . 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L 为上半为上半24xxy从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式

7、, 添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周圆周区域为区域为D , 则则3648 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是是单连通域单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxud

8、d),(d(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)(1) (2)设设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 则则(根据条件根据

9、条件(1)BAyQxPddAByQxPdd 证明证明 (2) (3)(2) (3)在在D内取定点内取定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证同理可证yu),(yxQ因此有因此有yQxPuddd和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数有函数 证明证明 (3) (4)(3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x

10、 , y ) 使得使得yQxPuddd则则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22, 证明证明 (4) (1)(4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上因此在DxQyP利用利用格林公式格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为所围区域为证毕证毕 yx说明说明: : 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,xQyP则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化

11、计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:Dyx),(00及动点及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径; xyO 解解1523 原式原式=yyxxxyxd)(d)2

12、(422 102dxxyy d )1(104 xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 原积分与路径无关原积分与路径无关.例例 Lyyxxxyx.d)(d)2(422计计算算为为其中其中L.2sin)1 , 1()0 , 0(xyBO 的的曲曲线线弧弧到到点点由由点点xQyP )0 , 0()1 , 1()1 , 1(B )0 , 1(格林公式及其应用格林公式及其应用 例例4 4 计算计算 LyxdyyxdxyxI22)()(L222xy )0 , 1(A)0 , 1 (B为为上由上由到到的一段弧的一段弧 解法解法1 1： 因为因为 2222yxyxQyxyxP ,),(),(00 y

13、x所以所以 222222yxyxyyxyP )()( yQyxyxxy 222222 例例4 4续续 曲线只要绕过原点，积分就与路径无关曲线只要绕过原点，积分就与路径无关因此可选简单折线路径因此可选简单折线路径x10 图yoACD1211B)0 , 1 () 1, 1 () 1, 1()0 , 1(BDCA10, 1:：yxAC11, 1:：xyCD01, 1:：yxDBLyxdyyxdxyxI22)()(22)()(yxdyyxdxyxACCDDB 例例4 4续续012101122111111dyyydxxxdyyy112011122111112dxxxxdxdyy0120114dyy .)

14、(arctan401y 例例5. 5. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 并求并求 证证: 设设,22yxQyxP则则xQyxyP2由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx)4, 3()2, 1(22ddyyxxyx 例例5 5续续 ，所以，所以)4, 3()2, 1(22ddyyxxyx702)4, 3()2, 1(22yx 练

15、习练习. . 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线 L :xycos2由由)2, 0(A移动到移动到, )0,2(B求力场所作的功求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令令,22rxkQrykP则有则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取?OBAO取圆弧取圆弧LBAyox为什么

16、？为什么？注意注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关 ! 三、求解全微分方程三、求解全微分方程若一阶微分方程写成若一阶微分方程写成0),(),(dyyxQdxyxP dyyxQdxyxPyxdu),(),(),(Cyxu),(则称微分方程则称微分方程(3)(3)为全微分方程为全微分方程),(yxu 一旦找到了一旦找到了的形式后，如果存在的形式后，如果存在 ),(yxu，则，则为微分方程为微分方程(3)(3)的通解的通解 由例由例5 5知道全微分方程的通解有三种求法知道全微分方程的通解有三种求法 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd

17、2yyxxyyx 可知可知: :,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分别是上面的分别是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函数原函数. .全微分式全微分式. . 例例6 6 求微分方程求微分方程xyxxdxdy132的通解的通解解：微分方程可整理为解：微分方程可整理为0)1 ()(32dyxdxyxx设设 xQyxxP132，xQyP1方程是全微分方程方程是全微分方程则则 三种不同方法来求三种不同方法来求),(yxu 例例6 6续续 (1) (1) 曲线积分法曲线积分法),()0, 0(32d)1 (d)(),(yxyxxyxxyxuxyxxydxyxxd

18、yxy43)(4303200)(32dxxdxxydxxdydy0)43(43xxxyyd(2) (2) 凑微分法凑微分法 yxxxu 32dxyxxyxu)(),(32)(4343yCxyxx则则 因因，xyu 1又又 xyCx1)(则则 1)( yCyyC)(得得 即即 yxyxxyxu43),(43Cxxxyyyxu43),(43微分方程的通解微分方程的通解 (3) (3) 不定积分法不定积分法 练习练习. . 验证验证22ddyxxyyx在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 证证: 令令2222,yxxQyxyP则则)0()(22222xyQyxxyxP由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx ),()0