2021年高考数学基础突破导数与积分第4讲导数与函数的单调性

1、2021年高考数学根底突破一一导数与积分第4讲 导数与函数的单调性【知识梳理】1. 函数的单调性与导数的关系假设f(x)在某个区间(a, b)内可导，那么有：(1) 如果f (x)0,那么函数y= f(x)在这个区间内单调递增;(2) 如果f (x)0,那么函数y= f(x)在这个区间内单调递减(3) 假设f (x) 0 ,那么f(x)在这个区间内是常数函数.【根底考点突破】考点1 导数与函数的单调性命题点1 不含参数的函数的单调性In x【例1】求函数f (x)的单调区间.x【归纳总结】 确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f (x) ； (3)解不等式f (x)

2、 0,解集在定义域内的局部为单调递增区间；(4)解不等式f(X)0 ,解集在定义域内的局部为单调递减 区间.变式训练1.函数f (x) = ex 2x的单调递增区间是 .命题点2 含参数的函数的单调性【例2 ( 2021年四川高考改编)设函数f (x)= ax2-a-ln x，其中a R,试讨论f (x)的单调性.【归纳总结】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨 论.(2) 划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.(3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，女口f(x)= x3, f'(x) = 3x2>

3、;0, f(x)在R上是增函数.1 2变式训练2.函数f (x) =- ax + x- ln(1 + x)，其中a>0,求f (x)的单调递减区间.考点2.利用函数单调性求参数【例3】函数f (x) = x2+ aln x.2(1) 当a=- 2时，求函数f (x)的单调递减区间；(2)假设函数g(x) = f (x) + -在1 ,+)x上单调，求实数 a的取值范围.【归纳总结】函数单调性，求参数范围的两个方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y f (x)在(a,b)上单调，那么区间(a,b)是相应单调区间的子集.f (x)0 ；假设函数单调递(2) 转化为不等式的恒成立问题：即“假

4、设函数单调递增，那么减，贝y f (x)0 来求解.变式训练3. (2021 新课标全国n卷)假设函数f (x) = kx In x在区间(1 ,)上单调递增，那么k的取值范围是()A. ( a, 2 B . (a, 1 C . 2 ,+s)D. 1 ,+s)1 3 a 2变式训练4.设函数f (x) = 3X qx + bx+ c,曲线y= f (x)在点(0 , f (0)处的切线方程为y =1.(1) 求b, c的值；(2) 假设a>0,求函数f (x)的单调区间；(3) 设函数g(x) = f (x) + 2x，且g(x)在区间(一2, 1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围

5、. 设函数g(x) = f (x) + 2x，且g(x)在(一2, 1)内为减函数，求实数 a的取值范围.(5) 设函数g(x) = f (x) + 2x，假设g( x)的单调减区间为(一2, 1)，求a的值.(6) 假设g( x)在(一2, 1)上不单调，求a的取值范围.【根底练习稳固】21. (2021 北京海淀区模拟)函数f (x) = x 2ln x的单调递减区间是()A. (0 , 1) B . (1 ,+a) C . (a, 1)D. ( 1, 1)2. 函数y = f (x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数y = f '(x)的图象如下图，那么该函数的图象是()3.

6、假设函数f (x) = x3 tx2+ 3x在区间1 , 4上单调递减，那么实数 t的取值范围是()A.a51"8B . ( a, 3 C518,D. 3 ,+a)4. (2021 九江模拟)函数f(x) = (x 3)ex的单调递增区间是 5. 函数f (x) = ex 2x的单调递增区间是 .6. 函数f (x) = x3 ax2+ ax是R上的增函数，那么实数 a的取值范围为 7.【2021北京高考】函数f(x) xea x bx,曲线y f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y (e 1)x 4.(1 )求a , b的值；(2)求f (x)的单调区间.8【2021 全国卷

7、】 函数f(x) = In( x+ 1) (a>1)，讨论f(x)的单调性.x + a2x 19.( 2021 年山东咼考) f(x) a x Inx2 ，a R .x31,2(I)讨论f (x)的单调性；(Il )当a 1时，证明f(x)>f' x 3对于任意的x2成立.2021年高考数学根底突破一一导数与积分第4讲导数与函数的单调性(教师版)【知识梳理】1 .函数的单调性与导数的关系假设f(x)在某个区间(a, b)内可导，那么有：(1) 如果f (x)0,那么函数y= f(x)在这个区间内单调递增；(2) 如果f (x)0 ,那么函数y= f(x)在这个区间内单调递减

8、(3) 假设f (x) 0 ,那么f(x)在这个区间内是常数函数.【根底考点突破】考点1 导数与函数的单调性命题点1 不含参数的函数的单调性In x【例1】求函数f (x)的单调区间.xIn x1|n x解析 函数f (x)的定义域为(0，+m).因为f (x)= ，所以f'( x) =xxx当f'(x)>0 ,艮卩0<x<e时，函数f (x)单调递增；当f'(x)<0,艮卩x>e时，函数f (x) 单调递减.故函数f (x)的单调递增区间为(0 , e)，单调递减区间为(e ,+).【归纳总结】确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x

9、)的定义域；(2)求f (x) ； (3 )解不等式f (x) 0,解集在定义 域内的局部为单调递增区间；(4)解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的局部为单调递减区间.变式训练1.函数f (x) = ex_ 2x的单调递增区间是 .解析 f'(x) = ex_ 2,令f '(x)>0，解得x>ln 2,那么函数f (x) = ex_ 2x的单调递增区 间为(In 2 ,+s).命题点2 .含参数的函数的单调性【例2】(2021年四川高考改编)设函数 性.解析：由题意，f' x 2ax 1 x当a 0时，2ax21f (x)= ax2- a-ln x，其

10、中a R,试讨论f (x)的单调2ax2 1,xx0 , f ' x 0 , f x在0,上单调递减.当a 0时,2a xx 0,f x 在 0,时，f ' x 0 ；当上单调递增.上单调递减，在综上，当a0 时，f x在0, 上单调递减;a 0 时，fx在0,上单调递减，在上单调递增.【归纳总结】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨 论.0的点和函数的划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 间断点.(3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，女口f(x) = x3, f'(x) = 3x 2 解： 易知函数 f

11、 (x) = - 2ax + x- ln(1 + x)( a>0)的定义域为(1,+),>0(f'(x)=0在x= 0时取到)，f (x)在R上是增函数.1 2(x)=ax+ 1 ax2( 1- a) xx+ 1x+ 1变式训练2 .函数f(x) =- ax + x- ln(1 + x)，其中a>0,求f (x)的单调递减区间.1 一 a 1 令 f'(x) = 0,得 X1 = 0, X2= 1.a a当0<a<1时，X1<X2，所以当x变化时，f (x) , f '(x)的变化情况如下表:X(1,0)01(0, a-1)1 -1

12、a1(-1,+g) af'(X)0+0f(x)f(0)开/1f ( 1) a1所以f (x)的单调递减区间是(一1, 0) , ( -一 1 ,+).a2x当a= 1时，X1 = X2= 0, f' (x) = x+ 1 w 0，所以f (x)的单调递减区间是(一 1， +g).当 a>1 时，一1<X2<0,所以当x变化时，f (x), f'(x)的变化情况如下表:X1(1，-1)1 -11(L 1, 0 )0(0 , +m)aaaf'(X)0+0f(x)"4.1f (1) af(0)1所以f(x)的单调递减区间是(一1, a- 1

13、), (0,+).a1综上，当0<a<1时，f (x)的单调递减区间是(一1, 0), ( -一 1 ,+);a1当a>1时，f (x)的单调递减区间是(一1，-一 1), (0,+); a当a= 1时，f (x)的单调递减区间是(一1 ,+).考点2 利用函数单调性求参数2【例3】函数f (x) = x + ain x.(1) 当a=- 2时，求函数f (x)的单调递减区间；2 一(2) 假设函数g(x) = f (x) + x在1 ,+s)上单调，求实数 a的取值范围.x解析 (1)由题意知，函数的定义域为2(0 ,+)，当 a=- 2 时，f '(x) = 2x

14、 -=x2 (x + 1)( x 1)由f'( X) V 0得0v x V 1，故f (x)的单调递减区间是(0 , 1) a 2(2)由题意得g'(x) = 2x+ -二，函数g(x)在1 ,+)上是单调函数.x x2假设g(x)为1 , +)上的单调增函数，那么g'(x) >0在1 , +)上恒成立，即a>-x22x2 在1 ,+ )上恒成立，设0 (x) = - 2x2,V 0 (x)在1 , +m )上单调递减， 0 ( x) max=0 (1) = 0,二 a>0.假设g(x)为1 ,+s)上的单调减函数，那么 g'(x) <0

15、在1 ,+)上恒成立，不可能.实数a的取值范围为0,+).【归纳总结】函数单调性，求参数范围的两个方法:(1)利用集合间的包含关系处理：y f (x)在(a,b)上单调，那么区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题：即“假设函数单调递增，贝Uf (x) 0 ；假设函数单调递减，那么f (x)0 来求解.变式训练3. (2021 新课标全国n卷)假设函数f (x) = kx in -在区间(1 , +)上单调递增, 那么k的取值范围是()A. ( a, 2 B . ( a, 1 C . 2 ,+a)D. 1 ,+a)11解析依题意得f'(x)= k ->0

16、在(1 ,+a )上恒成立，即 k> -在(1 ,+a )上恒成x立,/ x> 1,二 Ov1,. k> 1,应选 D.1 a o变式训练4.设函数f () = 3 2 + b+ c,曲线y= f ()在点(0 , f (0)处的切线方程为y求b, c的值; 假设a>0,求函数f (x)的单调区间；g(x) = f (x) + 2x，且g(x)在区间(一2, 1)内存在单调递减区间，求实数a(3)设函数的取值范围.g(x) = f (x) + 2x，且g(x)在(一2, 1)内为减函数，求实数 a的取值范围.g(x) = f (x) + 2x，假设g( x)的单调减区间

17、为(一2, 1)，求a的值.假设g( x)在(一2, 1)上不单调，求a的取值范围.设函数设函数(1) f' () = x2 a+ b,由题意得 0= 1，f'0= 0,即 C = 1,b= 0.由(1)得，f '(x) = x2 ax= x(xa)( a>0),当 x ( a, 0)时，f '( x)>0 ；当 x (0 , a)时，f' ( x)<0 ；当 x ( a, +a)时，f '(x)>0 .所以函数f (x)的单调递增区间为(一a, 0), (a,+)，单调递减区间为(0 , a). g'(x) =

18、x2 ax+ 2，依题意，存在 x ( 2, 1)，使不等式 g'(x) = x2 ax+ 2<0成立,即x ( 一 2，一 1)时，a<(x +升一 2、2当且仅当2x= x即x = :2时等号成立.所以满足要求的a的取值范围是(一a, 2_：2).2(4)方法一：/g'(x) = x ax+ 2,且 g(x)在(2,1)内为减函数， g'(x)<0,即 x2 ax+ 2W0 在(一2, 1)内恒成立，g'g'w 0,4+ 2a+ 2w 0,即w 0,1 + a + 2 w 0,解之得aw 3,即实数a的取值范围为(一a, 3.方法二

19、 / g'(x) = x ax+ 2，由题意可得g'(x) wo在(2, 1)上恒成立,22厂即 awx+ -在(一2, 1)上恒成立，又 y = x+ ( 2, 1)的值域为(一3, 2 2 ,a w 3, 实数a的取值范围是(一a, 3.(5)/ g(x)的单调减区间为(一2, 1) , xi = 2, X2= 1 是 g'(x)= 0 的两个根，' ( 2) + ( 1) = a, 即即 a= 3.(6)由 知g(x)在(一2, 1)上为减函数，a的范围是(一R, 3,2假设g(x)在(2, 1)上为增函数，可知 a>x + -在(2, 1)上恒成立

20、，x2又 y = x+ x的值域为(一3, 2 '2 , a 的范围是2 .：2 ,+8),函数g(x)在(一2, 1)上单调时，a的取值范围是(一R, 3 U 2)2,+s), 故g(x)在(一2, 1)上不单调，实数 a的取值范围是(一3, 2 ：'2).【根底练习稳固】1. (2021 北京海淀区模拟)函数f (x) = x2 2ln x的单调递减区间是()A. (0 , 1) B . (1 ,+s) C . (s, 1)D. ( 1, 1)2 2 (x + 1)( x 1)解析/ f (x) = 2x 一 =一(x> 0).xx当 x (0 , 1)时 f 

21、9;(x) v 0, f(x)为减函数；当 x (1 ,+s)时，f'(x) > 0, f(x)为 增函数.答案 A2. 函数y = f (x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数y = f '(x)的图象如下图，贝U该函数的图象是()解析 由y=f'(x)的图象知，y= f (x)在1, 1上为增函数，且在区间(一1, 0)上增长速度越来越快，而在区间(0 , 1)上增长速度越来越慢.答案 B3. 假设函数f(x) = x13151因为y = x+ -在1 , 4上单调递增，所以t >4 + 4 =2x248 tx2+ 3x在区间1 , 4上单调递减，那么

22、实数 t的取值范围是()5151A. m,B . (s, 3 C ., +mD. 3 , +s)88解析 f '(x) = 3x2 2tx + 3,由于f (x)在区间1 , 4上单调递减，那么有f '( x) <0在1 ,3 14上恒成立，即3x2 2tx + 3< 0, 即卩t > x+ -在1 , 4上恒成立.2x答案 C4. (2021 九江模拟)函数f(x) = (x 3)ex的单调递增区间是 .解析 函数 f (x) = (x 3)ex的导数为 f'(x) = ( x 3)ex'= ex + (x 3)ex= (x 2)ex. f&

23、#39;(x) = (x 2)ex>0，解得 x>2.答案 (2 ,+R)5. 函数f (x) = ex 2x的单调递增区间是 .答案(In 2,+R)xx解析f '(x) = e 2,令 f '(x)>0，解得 x>ln 2，那么函数 f(x) = e 2x 的单 调递增区间为(In 2 ,+s).6. 函数f(x) = x3 ax2+ ax是R上的增函数，那么实数 a的取值范围为 . 答案 0 , 3解析易知f '(x) = 3x2 2ax + a>0恒成立，所以A = 4a2 12a<0,解得0< aw 3.7. 【202

24、1年高考北京理数】 设函数f(x) xea x bx，曲线y f(x)在点(2, f(2)处的切 线方程为 y (e 1)x 4 .【答案】(i) a0 , g(x)在区间(,1) 时， g(x)当 x (1,)时，g(x) 0 , g(x)在区间(1,) 上单调递增.(1 )求a , b的值；(2)求f (x)的单调区间.解析：(1)因为 f(x) xea x bx ,所以 f (x) (1 x)ea x b.2 , b e ； (2) f(x)的单调递增区间为依题设,f(2)2e2,2ea 22b2e 2,f(2)e即1,ea2be 1,解得 a2,be；( 2)由(I)知f (x)xe2

25、 x ex.由 f (x)2 ex(1xx12 xe )即 e0知,f (x) 与 1 x ex 1 同号令 g(x)1xex1那么 g (x)1 ex 1所以，当 x (,1) 上单调递减；故g(1) 1是g(x)在区间(，)上的最小值,从而 g(x) 0,x (,).综上可知，f (x)0 , x (,)，故f (x)的单调递增区间为(，).ax8【2021 全国卷】 函数f(x) = In( x+ 1) (a>1)，讨论f(x)的单调性.x + a解:(1)增函数;2x x ( a 2a) 勿知f (x)的疋义域为(一1, +m), f (x)=(x+ 1)(x + a)22当 1

26、<a<2 时，假设 x ( 1, a 2a)，贝U f'(x)>0，所以 f (x)在(一1, a 2a)上是(2)上是增函数.假设 x (a2 2a, 0)，那么 f'(x)<0，所以 f(x)在(a2 2a, 0)上是减函数；假设x (0,+)，贝U f'(x)>0，所以f (x)在(0,+)上是增函数.当a= 2时，假设f '(x) >0, f '(x) = 0成立当且仅当x = 0,所以f (x)在(一1, +s)当a>2时，假设x ( 1, 0)，那么f'(x)>0，所以f(x)在(一1,

27、 0)上是增函数；9.( 2021年山东高考)2x 1f(x) a x In x2, a R .x(I)讨论f (x)的单调性；3(Il )当a 1时，证明f(x)>f' x对于任意的x 1,22假设 x (0 , a2 2a)，那么 f'(x)<0，所以 f(x)在(0 , a2 2a)上是减函数；假设 x (a2 2a,+)，贝U f '(x)>0，所以 f (x)在(a2 2a,+)上是增函数.成立.1 2x 2【解析】(i)求导数f '(x) = a(1 ) -3x x(x1)(ax22)当 a <0 时，x (0,1) , f&

28、#39;(x)>0, f(x)单调递增,x (1,+马,f (x) < 0 , f (x)单调递减;当a>0时,f (x)=(x1)(ax2 2)a(x1)(x2)(x +x3(1)当 0v av2 时，、> 1, ax (0,1)或 x (J2,+旳,f (x) > 0, f (x)单调递增, V a厂当 a = 2时，/=1, ax (1f2), f (x) < 0 , f (x)单调递减； ¥ ax (0,+旳,f'(x) >0 , f(x)单调递增,当a>2时，O<心"，x (o j2)或 x (1, +x a),f'(x)>0 , f (x)单调递增,x (2,1),af'(x)<0, f (x)单调递减;(n)当 a 1 时，f(x)= x Inx+2x1x2，f(x) =(x1)(x22)x311-xx2,2x1122f (x) f (x) = x In x +(飞+ 3)xx x x3=x In x1 + - +xX 1,2入312令 g(x) = x Inx , h(x) = 1+_ +二x x1,2f(x) f'(x) = g(x)+ h(x) , g (x) = 1-xx一1>0 , g(x)的最小值为xg(1)