北工大数学建模作业3--已通过考核

1、数学建模作业（最优化与存储模型实验）基本实验1.曲线拟合有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系，y=0+1x，其中x为车速，y为刹车距离，现测得50组数据（xi，yi）（i=1,2,，50）（见表3.1，用三种方法(1)平方和最小；(2)绝对偏差和最小；(3)最大偏差最小)估计系数0和1，并分析三种方法的计算效果(注:用LINGO软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线)，说明哪一种方法得到有结果更合理。解：(1) 根据题意列出目标方程为：min0,1=i=1n(0+1xi-yi)2使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：model:sets:quantity/1.50/: x,y;

2、endsetsmin=sum (quantity: (B0+B1*x-y) 2);data:y=2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;x=4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19

3、 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25;enddatafree (B0); free (B1);End得到结果如下：Local optimal solution found. Objective value: 11353.52 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 16 Variable Value Reduced CostB0 -17.57909 -0.2710756E-08B1 3.932409 -0.4680284E-07X (1

4、) 4.000000 0.000000X (2) 4.000000 0.000000X (3) 7.000000 0.000000X (50) 25.00000 0.000000Y (1) 2.000000 0.000000Y (2) 10.00000 0.000000Y (3) 4.000000 0.000000Y (50) 85.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 11353.52 -1.000000所以得到平方和最小时的0为-17.57909，1为3.932409。(2) 根据题意可以列出目标方程：min0,1=i=1n0+1xi

5、-yi使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：model:sets:quantity/1.50/: x,y;endsetsmin=sum (quantity:abs (B0+B1*x-y);data:y=2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;x=4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 1

6、3 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25;enddatafree (B0); free (B1);End得到结果如下：Linearization components added: Constraints: 200 Variables: 200 Integers: 50 Global optimal solution found. Objective value: 563.8000 Objective bound: 563.8000 I

7、nfeasibilities: 0.1776357E-14 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 83 Variable Value Reduced CostB0 -11.60000 0.000000B1 3.400000 0.000000X (1) 4.000000 0.000000X (2) 4.000000 0.000000 X (3) 7.000000 0.000000 X (50) 25.00000 0.000000 Y (1) 2.000000 0.000000 Y (2) 10.00000 0.000000 Y (3)

8、 4.000000 0.000000 Y (50) 85.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 563.8000 -1.000000所以得到绝对偏差和最小时的0为-11.60000，1为3.400000。(3) 根据题意可以列出目标方程：min0,1=max1in0+1xi-yi使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：model:sets:quantity/1.50/: x,y;endsetsmin=max (quantity:abs (B0+B1*x-y);data:y=2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 2

9、8 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;x=4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25;enddatafree (B0); free (B1);End得到结

10、果如下：Linearization components added: Constraints: 301 Variables: 251 Integers: 100 Global optimal solution found. Objective value: 36.00000 Objective bound: 36.00000 Infeasibilities: 0.3552714E-14 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 996 Variable Value Reduced Cost B0 -12.00000 0.000000

11、B1 4.000000 0.000000 X (1) 4.000000 0.000000 X (2) 4.000000 0.000000 X (3) 7.000000 0.000000 X (50) 25.00000 0.000000 Y (1) 2.000000 0.000000 Y (2) 10.00000 0.000000 Y (3) 4.000000 0.000000 Y (50) 85.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 36.00000 -1.000000所以得到绝对偏差和最小时的0为-12.00000，1为4.0000

12、00。根据y=0+1x，得到的三个解析方程式为：y=-17.57909+3.932409xy=-11.60000+3.400000xy=-12.00000+4.000000x利用Matlab求得所有数据的线性回归方程：Linear model Poly1: F(x) = p1*x + p2Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 3.653 (2.877, 4.429) p2 = -15.36 (-27.99, -2.737)Goodness of fit: SSE: 9803 R-square: 0.6987 Adjusted R-squ

13、are: 0.6925 RMSE: 14.29分析结果，其R2约为0.6987，解析式为y=-15.36+3.653x2.最优设计问题请设计一个圆柱形金属罐，其容积为340ML，且罐的高度不能超过直径的2倍。已知底面的造价与侧面的造价相同，顶面的造价是侧面造价的4倍，试给出金属罐最优造价的尺寸。 解：设罐的侧面的造价为X，则顶面的造价为4X，罐的直径为YH2Y3.选址问题计划在丛林中修建2个临时机场为3个野外作业点提供远程加油服务。第1个作业点每月需要油料25吨。第2个作业点，位于第1个作业点以东75公里，以北330公里，每月需要油料14吨。第3个野外作业点，位于第1个作业点以西225公里，以

14、南40公里，每月需要油料34吨。请确定2个临时机场的位置，使得每月从机场到作业点的吨公里数最少。解：根据题意可设两个机场的位置分别为（Xj，Yj），向三个作业点运油量为Cij，其中，i=1，2，3，j=1，2。则目标函数为：minj=12i=13cij(xj-ai)2+(yj-bi)212约束条件为：s.t.j=12cij=di, i=1, 2, 3LINGO程序model:sets:demand/1.3/:a,b,d;supply/1.2/:x,y;link(demand, supply):c;endsetsdata:作业点位置;a=0, 75,-225;b=0, 330,-40;需求量;d

15、=25, 14, 34;enddata目标函数;OBJmin=sum(link(i,j):c(i,j)*(x(j)-a(i)2+(y(j)-b(i)2)(1/2);需求约束;for(demand(i):Demand_Comsum(supply(j):c(i,j)=d(i););for (supply:free(x); free(y) ;);End运行结果 Local optimal solution found. Objective value: 4737.816 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 39 Model Class

16、: NLP Total variables: 10 Nonlinear variables: 10 Integer variables: 0 Total constraints: 4 Nonlinear constraints: 1 Total nonzeros: 16 Nonlinear nonzeros: 10Variable Value Reduced CostA (1) 0.000000 0.000000 A (2) 75.00000 0.000000 A (3) -225.0000 0.000000 B (1) 0.000000 0.000000 B (2) 330.0000 0.0

17、00000 B (3) -40.00000 0.000000D (1) 25.00000 0.000000 D (2) 14.00000 0.000000 D (3) 34.00000 0.000000 X (1) 0.4387874E-08 0.000000 X (2) -225.0000 0.000000 Y (1) 0.1930665E-07 0.000000 Y (2) -40.00000 0.000000 C( 1, 1) 25.00000 0.000000 C( 1, 2) 0.000000 228.5279 C( 2, 1) 14.00000 0.000000 C( 2, 2)

18、0.000000 137.9248 C( 3, 1) 0.000000 228.5279 C( 3, 2) 34.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price OBJ 4737.816 -1.000000DEMAND_COM (1) 0.000000 0.000000DEMAND_COM (2) 0.000000 -338.4154DEMAND_COM (3) 0.000000 0.000000由运行结果可得：2个临时机场的位置坐标分别为A（0.4387874E-08,0.1930665E-07），B（-225.0000，-40.00000）。可

19、将临时机场修建在第1个和第3个作业点的位置。4.路灯照明问题（1）在一条20M宽的道路两侧，分别安装了一只2KW和一只3KW的路灯，它们离地面的高度分别为5M和6M。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？（2）如果3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化，如何使路面上最暗的亮度最大？解：根据题意可得下面的原理图：设路灯的光照强度I=K*(P*sinR2 )，路灯光照强度系数K=1,由题意可得：I1=K*(P1*sin1R12), I2=K*(P2*sin2R22), 并且R12=H12+X12，R22=H22+X22，sin1=H1R1，sin2=H2

20、R2，则Q点的光照强度为：Cx=I1+I2=P1H1(H22+X2)3+P2H2(H22+(S-X)2)3其中，H1=5, H2=6, P1=2, P2=3,S=20 求路面上的最亮点和最暗点的问题可转化为求C(x)的最值。LINGO程序min=2*5/(52+x2)3)(1/2)+3*6/(62+(20-x)2)3)(1/2);x>=0;x<=20;运行结果Local optimal solution found. Objective value: 0.1824393E-01 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 T

21、otal solver iterations: 68 Model Class: NLP Total variables: 1 Nonlinear variables: 1 Integer variables: 0 Total constraints: 3 Nonlinear constraints: 1 Total nonzeros: 3 Nonlinear nonzeros: 1Variable Value Reduced CostX 9.338303 0.4709445E-08Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.1824393E-01 -1.000000

22、 2 9.338303 0.000000 3 10.66170 0.000000LINGO程序max=2*5/(52+x2)3)(1/2)+3*6/(62+(20-x)2)3)(1/2);x>=0;x<=20; 运行结果 Local optimal solution found. Objective value: 0.8447655E-01 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 64 Model Class: NLP Total variables: 1Nonlinea

23、r variables: 1 Integer variables: 0 Total constraints: 3 Nonlinear constraints: 1 Total nonzeros: 3 Nonlinear nonzeros: 1 Variable Value Reduced Cost X 19.97670 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.8447655E-01 1.0000002 19.97670 0.0000003 0.2330419E-01 0.000000由运行结果可得：9.3383处照度最暗为0.018244，19.9

24、767处照度最亮为0.0844766。解答（2）由Q点的光照强度Cx=I1+I2=P1H1(H22+X2)3+P2H2(H22+(S-X)2)3可得CX=3P2H2S-X(H22+S-X2)5-3P1H1XH12+X25CH2=P2(H22+S-X2)53-3P2H22H22+(S-X)25MATLAB程序solve('3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0')ans = 2(1/2)*h + 20（舍去） 20 - 2 (1/2)*hsolve('-30*(20-2(1/2)*h)/(25+(20-2(1/2)

25、*h)2)(5/2)+9*h*(20-(20-2(1/2)*h)/(h2+(20-(20-2(1/2)*h)2)(5/2)=0')ans =7.4223928896768612557104509932959由运行结果可得：h=7.42239，带入可得，x=9.5032，c=0.0186。综上，h=7.42239时，最暗点的亮度最大为0.0186KW。5. 库存问题I（1）某厂为了满足生产需要，定期向外单位订购一种零件，假定订货后供货单位能及时供应。这种零件平均日需求量为100个，每个零件一天的存储费为0.02元，订货费一次100元。假设不允许缺货，求最佳订购批量、订购时间和单位时间总费

26、用。（2）在问题（1）中，假定允许缺货，每个零件的缺货损失费为一天0.08元，其他条件不变，求最佳订购批量、订购时间和单位时间总费用。（3）在问题（1）中，假定供货单位不能及时供应，而是按一定的速度均匀供应，设每天供应量为200个，其他条件不变，求最佳订购批量、订购时间和单位时间总费用。解：（1） 根据题意已知D=100个/天，CP=0.02元/个.天，CD=100元/次，根据公式可得如下Lingo程序。LINGO程序C_D=100;D=100;C_p=0.02;Q= (2*C_D*D/C_p) 0.5;T=Q/D;n=1/T;TC=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q;运行结果Feasible

27、 solution found. Total solver iterations: 0 Model Class: . . . Total variables: 0 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 0 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 0 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value C_D 100.0000 D 100.0000 C_P 0.2000000E-01 Q 1000.000 T 10.00000 N 0.10000

28、00 TC 20.00000 Row Slack or Surplus1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000由运行结果可得：最佳订购批量为1000件，订购周期为10天，单位时间总费用为20元。（2） 根据题意已知D=100个/天，CP=0.02元/个.天，CD=100元/次，根据公式可得如下Lingo程序。LINGO程序C_D=100;D=100;C_p=0.02;C_S=0.08;Q=( 2*C_D*D*(C_p+C_S) (C_p*C_S) 0.5T= QD;TC=( 2*C_

29、P*C_S*C_D*D(C_p+C_S) 0.5;运行结果Feasible solution found. Total solver iterations: 0 Model Class: . . . Total variables: 0 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 0 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 0 Nonlinear nonzeros: 0 Variable ValueC_D 100.0000 D 100.0000 C_P 0.2000000

30、E-01 C_S 0.8000000E-01 Q 1118.034 T 11.18034 TC 17.88854 Row Slack or Surplus1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000由运行结果可得：最佳订购批量为1118件，订购周期为14天，单位时间总费用为18元。（3） 根据题意已知D=100个/天，CP=0.02元/个.天，CD=100元/次，根据公式可得如下Lingo程序。LINGO程序C_D=100;D=100;C_p=0.02;P=200;Q= (2*C_D*D

31、*P(C_p*(P-D) ) 0.5;T= QD;TC= (2*C_P*C_D*D*(P-D)P) 0.5;运行结果 Feasible solution found. Total solver iterations: 0 Model Class: . . . Total variables: 0 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 0 Nonlinear constraints: 0Total nonzeros: 0 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value C_D 100

32、.0000 D 100.0000 C_P 0.2000000E-01 P 200.0000 Q 1414.214 T 14.14214 TC 14.14214 Row Slack or Surplus1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000由运行结果可得：最佳订购批量为1414件，订购周期为14天，单位时间总费用为14元。6. 库存问题某类货物的日消耗量是30件，每天每件库存的费用为0.05元，订货费100元。假设不允许缺货，而且一次购买量不超过600件时，采购单价为10元，否则为8元。订货提前时间为21天，请求出最优库存策略。解：根据题意，需求率是D=30件/天，储存费Cp=0.05元/每件每天，订货费为CD=100元/次，采购费C1=10元，采购费C2=8元，分界点Q为600件，提前时