2021版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程学案新人教B版必修2

1、2. 3.1 圆的标准方程【学习目标丨1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定 系数法求圆的标准方程.Q问题导学知识点一圆的标准方程思考i确定圆的标准方程需要知道哪些条件？思考2在平面直角坐标系中，如下图，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(X 2 21) + (y 2) = 4 来表示？梳理圆的标准方程2 2 2 . . . . . .(1) 方程(x a) + (y b) = r称为以点Ca, b)为圆心，r为半径的圆的方程， 叫做圆的标准 方程. 以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为 x2+ y2= r2.知识点二点与圆的位置关系思考点A(1

2、,1),耳4,0) , C(,'2)同圆X2 + y2= 4的关系如下图,那么|OA, |OB,|0C同圆的半径r=2是什么关系?梳理 点Mxo , yo)与圆C： (x a)2 + (y b)2= r2的位置关系及判断方法/亠护¥方 位置大糸利用距离判断利用方程判断点M在圆上| CM = r z7"2: 、22 (xo a) + (yo b) = r点M在圆外| CM>r z7"2: 、22 (xo a) + (yo b) >r点M在圆内| CM<r(xo a)2+ (yo b)2<r2类型一求圆的标准方程命题角度i 直接法求圆的

3、标准方程例1 (1)圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 M0, ,：5)在圆C上，且圆心到直线 2x y =0的距离为 纣5，那么圆C的标准方程为5(2) 与y轴相切，且圆心坐标为 (一5, 3)的圆的标准方程为 .反思与感悟(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. 确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识， 如“弦的中垂线必过圆心 “两条弦的中垂线的交点必为圆心等.跟踪训练1以两点A 3, 1)和氏5,5)为直径端点的圆的方程是()2222A. (x+ 1) + (y+ 2

4、) = 10B. (x 1) + (y 2) = 1002222C. (x+ 1) + (y+ 2) = 25D. (x 1) + (y 2) = 25命题角度2待定系数法求圆的标准方程例2求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x + 3y+ 1 = 0上的圆的方程.反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤役所卓al的才科为(厂耐纭卢由已暂杀性"建虫关于比虹的方程组 解方越细.咸出o.br跟踪训练2 ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),耳1 , 2) , C( 3, 4)，求该三角形的外接圆的方程.类型二点与圆的位置关系例3(1)点P(rn,5)与圆x2+ y2=

5、24的位置关系是()A.点P在圆内B.点P在圆外C.点P在圆上D.不确定点 M5.a + 1 , a)在圆(x 1)2 + y2 = 26的内部，贝U a的取值范围是反思与感悟(1)判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比拟即可. 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.(2)灵活运用假设点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.跟踪训练3 点(1,1)在圆(x a)2 + (y + a)2 = 4的外部，贝U a的取值范围是类型三 与圆有关的最值问题例4实数x, y满足方程(x 2)2+ y2= 3,求三的最大值和最

6、小值.引申探究1 假设本例条件不变，求 y x的最大值和最小值.2 22 假设本例条件不变，求 x + y的最大值和最小值.反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型y b(1)形如u=形式的最值问题，可转化为过点 (x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题.x a 形如I = ax+ by形式的最值问题，可转化为动直线 y = bx + b截距的最值问题. 形如(X a)2+ (y b)2形式的最值问题，可转化为动点 (X, y)到定点(a, b)的距离平方的 最值问题.1跟踪训练4 x和y满足(x + 1)2+ y2= 4,试求:(1) x2 + y2的最值；(2) x+

7、y的最值.甌当堂训练1.假设某圆的标准方程为(x 1)2+ (y+ 5)2= 3,那么此圆的圆心和半径长分别为()A.( 1,5),、:3B.(1 , 5) ,：3C.( 1,5),3D.(1 , 5) ,32 圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是()2 2A. x + (y 2) = 1B. x2 + (y + 2)2= 12 2C. (x 1) + (y 3) = 12 2D. x + (y 3) = 13. 点A(1 , 1),巳1,1),那么以线段 AB为直径的圆的标准方程为()A. x2 + y2 = 2B. x2+ y2= '2C. x2 + y2 =

8、1D. x2+ y2= 44. 假设实数x , y满足(x + 5)2+ (y 12)2= 142 ,那么x2 + y2的最小值是 .5. 求以下圆的标准方程.(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6) , C(3 , 4);过两点C( 1,1)和Q1,3),圆心在x轴上的圆.规律与方法-1.判断点与圆的位置关系(1) 几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比拟大小.(2) 代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断:2 2 2点 P(xo, yo)在圆 C上? (xo a) + (yo b) = r ； 点 P(xo, yo)在圆 C内？(xo a)2+ (yo b)2<r

9、2; 点 P(xo, yo)在圆 C外？(xo a)2+ (yo b)2>r2.2求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1) 弦的垂直平分线必过圆心(2) 圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心(3) 圆心与切点的连线是半径(4) 圆心与切点的连线必与切线垂直 3求圆的标准方程常用方法(1) 待定系数法 (2) 直接法合案精析问题导学知识点一思考1圆心坐标与圆的半径.思考2能.知识点二思考 I 0A<20B>2，|O(C = 2.题型探究例 1(1)( x 2)2 + y = 9解析 设圆心C的坐标为(a

10、, 0)( a>0),由题意知，一:=，解得a = 2,<55 C(2,0).那么圆C的半径为r = |CM = ,：22+5 2= 3.圆的标准方程为(x 2)2+ y2= 9.2 2(2)( x+ 5) + (y+ 3) = 25解析圆心坐标为(一5, 3)，又与y轴相切, 该圆的半径为5,该圆的标准方程为(x + 5)2+ (y+ 3) 2= 25.跟踪训练1 DAB为直径，圆心为AB的中点(1,2), 半径为|AB =5+ 3 2+5+ 1 2= 5,该圆的标准方程为(x 1)2+ (y 2) 2= 25.例2解方法一(待定系数法) 设圆的标准方程为(x a)2+ (y b

11、)2= r2,2 . 2 2a + b = r ,由 1 a +1 b = r ,2a + 3b+ 1 = 0,a= 4,解得b= 3,r = 5. . 2 2 圆的标准方程是(X 4) + (y+ 3) = 25.方法二(直接法)由题意知，0P是圆的弦，其垂直平分线为x + y 1 = 0.弦的垂直平分线过圆心，2x + 3y+ 1 = 0,x = 4,由得x+ y 1 = 0,y = 3,即圆心坐标为(4 , 3),半径为 r = '42 + 3 2 = 5.圆的标准方程是(x 4)2+ (y+ 3) 2= 25.跟踪训练2 解 方法一设所求圆的标准方程为(x a)2+ (y b)

12、2= r2,因为A(0,5),巳1 , 2), Q 3, 4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，2.22小0 a +5 b = r ,a= 3,2 2 2于是有 1 a + 2 b = r ,解得b= 1,2 2 23 a + 4 b = r ,r = 5.故所求圆的标准方程是(x+ 3) + (y 1) = 25.1 3方法二 因为A(0,5) , B(1 , 2)，所以线段AB中点的坐标为(刁2)，直线AB的斜率为 S2 5311=1 0 = 7,因此线段AB的垂直平分线的方程是y 2 = 7(x 2)，即x 7y + 10 = 0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x+ y

13、+ 5 = 0.x 7y + 10= 0,由2x+ y + 5= 0,得圆心坐标为(一3,1).又圆的半径 r = ； 3 02 +1 5 2= 5,故所求圆的标准方程是(x+ 3)2+ (y 1)2= 25.例3(1)B由(卅)2 + 52 =卅+ 25>24，得点P在圆外.0,1)解析由题意知，a?0,5 ,''a+ 1 1 2+_:a 2<26,a> 0, 即解得0w a<1.26a<26,跟踪训练 3( a, 1) U (1 ,+s)2 2解析 由题意知，(1 a) + (1 + a) >4,2ar = / 1 2 2 +1 0 2

14、=10,圆的标准方程为(x 2)2+ y2= 10. 2>0,即 a< 1 或 a>1.例4解 原方程表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆,y设1= k,即卩y = kx.x当直线y= kx与圆相切时，斜率 k取最大值和最小值，此时|2 k 0|7+ 1解得k=± 3.故y的最大值为，3,最小值为 3.x引申探究1.解设 y x= b,即 y= x+ b.当y = x + b与圆相切时，纵截距 b取得最大值和最小值,此时|2 0+ b|3, 即卩 b= 2±6.故y x的最大值为一 2 +詁6, 最小值为2 6.2 22 .解 x +y表示圆上的点与原点

15、距离的平方.由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2,故(X2 + y2)max= (2 +3) 2= 7 + 4 3,(x2+ y2) min= (2 3)2= 7 4 3.跟踪训练4 解(1)由题意知，x2 + y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆 上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(一1,0)的距离为d= 1, 故圆上的点到坐标原点的最大距离为11 +1=1 1最小距离为1 2= 2问题转化为斜率为一1的直线在经过圆上的点时，在 y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时，在 y轴上的截距取得最大值和最小值,-1 z|一212,解得z=±三2 1,因此x+ y的最大值为 1，最小值为一2 1.当堂训练1 . B 2.A3.A4. 1解析 x2+ y2表示圆上的点(x, y