§7车辆随机振动基础

1、§ 9车辆随机振动车辆的随机振动实际上是车辆运行时的振动响应，这种响应主要是由于轨道不平顺的随机激励而引起的。本章主要介绍随机振动以及相关的概念， 以及单轴车模型在随机激 励下响应的基本特征，初步了解车辆随机振动的分析计算方法和改善 车辆运行平稳性的途径。所讨论的是车辆系统，其结构和参数是对称的，因此垂向和横向的 强迫振动响应是解耦的，可以分别独立研究。对于机车而言，它产生振动的因素，除线路的构造和状态，轮对的构造和状态外，柴油机组和输助机组的构造和状态也会起到激扰作用（对柴油机）；电动机的构造和状态对电力机车也会起到激扰作用。对车辆和机车的振动过程研究中，可在增加一组外力来反映这些

2、作 用。第一节 随机过程的统计特性一、随机过程的统计特性1. 随机过程的基本概念一切物理现象可分为两类：在给定的时间内能确定其物理变量的现象就称为确定性现象；如 在一静止的车辆上置一激振器，以激起车体在弹簧装置上的 振动，激励力是已知的简谐力F = Fo si，车体受激励而产生的振动规律由x（t） - /sin（7）来描述。车体在任意时间t的振幅和加速度都 可由计算确定，这种振动称为确定性的振动，它由确定性的激励所引起。反之在给定时间t物理变量不能预先确定的现象称为随机现象。如在任意时间t的振动变量不能预先确定，而只能用概率统计的方法对其进行整体描述，这种振动称为随机振动。在随机振动中的一些量

3、如振幅和加速度称为随机变量。随机变量是在随机试验的结果中能取到不同数值的量。随机过程：不能用确定性函数来描述但具有一定统计特性的过程称 为随机过程。随机过程是一簇n个随机变量的总集合。其中任一个元素称为随机过程的样本。振动的时间历程：以时间t横坐标，以振动量（位移、速度和加速X1(t)tx2(t)xn(t)t1t 1+1t2tm度)为纵坐标的线图，常称为振动波形图n在研究许多随机过程时通常作如下徦设:1) 平稳性假设若一随机过程x(t)在任何时间11时的概念统计规律与ti+i 时的一样，即过程的概率统计规律不因时间的推移而改变， 则称x(t)为平稳随机过程；2) 各态历经性徦设随机振动的统计特

4、性是考虑全部子样而得到的。如果在任一时间ti跨越总集合的统计特性与单个子样 Xi(t)的统计特性相 等，则称这个随机过程为各态历经的。3) 随机振动过程的概率分布符合正态(高斯)分布规律。二、随机变量的概率密度和均值为了描述随机过程的特性，采用时域上的各种参数和频域上的参 数来进行。先了解如下概念。1. 幅值概率密度(概率的定义：E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每 一事件A赋予一实数，记为P (A),称为事件A的概率，如果 它满足下列条件：1。 对于每一事件 A有 OW P (A)< 1,2。P ( S)= 13。对于两两互不相容的事件Ak ( k = 1,2 -)有P ( aA

5、2An- )= P (A)+ P (A)+ P (An)幅值概率密度用p(x)表示.幅值概率密度p(x)是随机变量瞬时值出现于某一单位幅值区间内的概率。随机振动幅值处于x到X+Ax之间的概率是p(x)x在振动时间历程上0幅值Ti t 2 t 3 tx+厶xp(x):1(t1 t2tn)p(x)1TxX tV概率密度曲线p(x)xi与X2对应的面积就是 之间的幅值出现的概率p(x)愈精确xi 与 X2其值为 P(x)= ° p(x)dx2. 统计平均值与概率分布随机振动的幅值特性由时间域内的下列均值来描述:1) 平均值Ex】= xp(x)dx 或 E x 1 = x(t)dt2) 平均

6、绝对值Ex】=J x p(x)dx 或 Ex|】=1 J x(t)dto3) 均方值E I2 】=fx2 p(x)dx 或 E x =丄x2 (t)dt4) 均方根值Xrms = 【I2 p(x)dx或 Xs =0 X.t)dt平均值EX为T时间内x(t)的算术平均值，代表了随机变量的稳态量 当平均值EX 1= 0时，E X2和Xrms就分别等于统计学中的方差、二2和标准离差匚。方差的定义为 二2 =-(X E x)2 p(x)dx匚2表示随机变量在其平均值两边的分布特性。均方值和均方根值能表征随机振动所含的能量，是个重要的描述 量。对于振幅为X0的正弦波，平均值EX1= 0_ 2均方值E X

7、2x2 p(x)dx = (x-E X)2 p(x)dx = c 2 =卫2随机振动的概率分布通常服从正态分规律，若振动瞬时值为x，幅值的平均值E'x = m其幅值概率密度p(x) =1 e-mL2 二 2二m值的改变将使p(x)曲线沿x轴平移而不改变其形状、二改变时将使p(x)曲线形状改变，但曲线和x轴之间所围的面积仍然不变而等于1。-愈小，则该面积愈集中于平均值 m的附近。随机振动幅值的概率主要分布在士 3二之间。占到99.7%+x因此常把m+3作为随机振动的最大幅值 正态分布的均方值可由这两式求得，2乂 2E(x )=.二x p(x)dx,ex2 = m+ - 三、随机过程的相关

8、函数与功率谱密度函数(一)相关函数1. 自相关函数随机过程的自相关函数定义为x(t)x(t )的平均值即RxC) =EX(t)x(t .)1对于各态历经随机过程，每个样本函数的自相关函数定义为幅值的关联程度。T小，X(t+ T )与X(t)关系密切；T大，X(t+ T )与X(t)关系不密切。X(t)所决定的成分减少。Rx()也就小。当T > ： , X(t+ T )与X(t)无关，此时,Rx()就衰减到随机变量平均值的平方，或衰减到零。当二=0时，自相关函数为上式表明，自相关函数的最大值即等于该随机变量的均方值。如果X(t)是周期性函数，则其自相关函数也是周期性的。2. 互相关函数两个

9、不同的平稳随机函数X(t)与y(t)之间的互相关函数定义为：和RyX( )二 Ey(t)x(t )1对各态历经过程，可以用样本函数的互相关函数来表示，即 对于大多数随机过程，时差T越大则相关性越弱，当T很大时，可以 认为X与y互不相关，此时有互相关函数的图线形状和自相关函数相类似，但其左右的对称轴不象后者是在T = 0时，而是在某一一 T o时互相关函数达到最大值。(二)、功率谱密度函数1 .功率谱密度函数1）从频域上，用功率谱密度函数来描述。 功率谱密度函数用 Wx （f）表示。用谱密度的均方值对随机变量的频率结构进行描述。对随机振动而 言，表示振动能量在频率域上的分布。其定义为随机变量x（

10、t）在微小频带宽度：f内的均方值除以带宽Wx（ f）f:某一窄频的带宽;x f（t）:在甘范围内的变量，即经过带宽为f的窄带滤波器后的变量，如振动量。（位移、加速度、速度等）Wx（f）中含有x2 （t）项，表示了系统的能量如振动系统的位能。（动能，粘性阻尼消耗的能量都和振幅的平方成正比）。故Wx （ f）表示了能量的度量，借用“功率”来命名，实际上Wx（ f）本身并不包含功率的意思，故称其为均方谱密度函数 更确切。还被称为：功率谱（power spectral density PSD自功率谱谱密度宽频带的随机功率谱图频谱图可通过将实测的随机振动的时间历程记录经频谱分析仪得到。 功率谱密度函数的

11、单位：（随机变量单位）2/单位频率。如 当x（t）是振动位移的时间历程时，其谱密度单位为（位移）2/Hz。当x（t）是振动加速度的时间历程时，其谱密度单位为（g） 2/Hz。 当x（t）是轨道不平顺波形时，其谱密度单位为（mm） 2 m倜。 功率谱图形的意义：上式左边为上图中以阴影表示的微面积；右边为微小宽带f内的均方值。于是在整个频带范围内由 Wx( f)和横坐标所围的面积就等于全部宽带内的相应的均方值之和。即等于 x(t)的总的均方值ExT功率谱的作用：通过对它的分析，有助于了解随机振动的机理，有助于进行振动 模拟。如已测得轨道不平顺的功率谱，就可对其进行谱型模拟， 用它作激励函数在室内对

12、车辆进行振动模拟试验，由此而得到试验结果和车辆在实际线路上运行的结果具有相同的特性。在随机过程理论的推理中，常用傅里叶变换来表明自相关函数和功率 谱密度函数间的关系：s( )Rx( )e“ d.( 1)Rx( ) = "SxC )ej(2)SxC )称为自相关函数Rx()的傅里叶变换，而RxC)则称为Sx( )的傅 里叶逆变换。在(2)式中令 t = 0 则得 Rx(0) = ： Sx( )d 因 Rx(0) = E X2，故EX2"Sx( )d -=0这样，又得到了均方值E X2 1等于SxC )曲线与横坐标3轴之间 面积的关系式。上式中的Sx( )称为双边功率谱Sx(

13、)-(，d J 33 (， d)两种功率谱的关系式为2Sx( )d® = Wx (f) df而 f= 3 /2 ndf=d 3 /2 n所以，有 Wx (f )= 4 n SxC )2. 互功率谱密度函数两个随机过程的互谱密度函数定义为这两个过程的互相关函数的傅里叶变换。即互谱密度的一个重要性质是两者为共轭复数，即Sxy () = Syx( )Syx( J = Sxy ( )第二节线性系统随机响应的基本特性当系统的激励与响应可以用线性微分方程描述时，成为线性系统。 若系统方程中的系数不随时间而变，则称为常系数线性系统。一、线性系统的基本特性常系数线性系统具有如下特性：1) 叠加性：若

14、系统的激励函数 Xi(t)单独作用下，对应于某一响应 为 yi(t), 在 Xn(t )作用下的响应为 yn(t),则在 xi ( t) X2(t)、。Xn ( t) 的同时作用下总的响应y(t)为yi(t)、y2(t)。yn(t)之和；2) 齐次性当激励的输入项按某一倍数变化时，输出量也按同一倍数变化；3) 频率保存性系统在频率为3的谐和函数激励下，其响应也具有相同的频率3 ,不会引起频率的转换，而只能改变相位和振 幅。线性系统适用于叠加原理，可使问题简化。这样可将系统分解为一 个输出对应于一个输入来研究，然后将响应进行叠加即得系统总的响 应。二、频率响应函数线性振动系统受到谐和函数x(t)

15、=x°sin 3 t激励时，其响应也具有同频 率的简谐波，但存在相位差©，即y(t)=y osin( 31+ © ).因此，用振 幅比y。/ X。和相角©就可确定系统的传递特性。频率响应函数或传递函数用 H( 3 )表示H(3 )的定义：该函数的模等于输出与输入的振幅比，虚部与实部 之比等于相角的正切。即H(3)= A(3)jB(3) 注意：输出量并不一定就是振幅，是广义的幅值。 yo具有不同的意义时，H(3 )值也不同。应用复数表示法中的ej=cose>t + jsincot的关系，可将上面输入和输 出写为y(t) = H( ) x(t) = H

16、( ) x0ej t随然是系统对谐和输入的频第响应函数，但在随机输入所引起 的随机振动响应中有十分重要的应用，它决定了系统的响应特性。(一)单自由度系统受单一激励时的频率响应函数求HC )的方法M系统受到轨道不平顺Zv(t)的激励 其动动方程为取Zv (t)为单位振幅的谐和函数ej tF (t)则响应 z(t)= H 0 ) ej 1Hi( )=K + jCoK - M 2 jC 为求出 H ( )的模 令 E= K, F= Cw , G= K m3, H= Cw则 HQ)=E jFG jH(E jF )(G - jH ) _ (EG FH ) j(FG - EH )(G jH )(G - j

17、H )G2 H 2H1C)的模为:EG +FH卡Lg2+h2 丿FG - EHlG2 +H 2e2 + f2.G2 H22 2K +(g)2 2 2(K - M ) (C )将z(t)代入上面方程| Zv(t)再进行下面代换：令系统的自振频率为 P,减振因素为D，频率比为 r,则有D JK D CP= D =r =M2MPP将上式分子分母各除以K，经演算后得上式为车体振幅与线路波形振幅之比的扩大倍率。(二)、单自由系统受多个激励时的频率响应函数仍以上图为例，除有轨不平顺产生的激励外，簧上部分还作用有垂 向激振力F(t)系统的方程为MZ CZ KZ =CZv - KZV - F(t)该系统的Hi

18、()已求得，以下求F(t)作用的频率响应函数H2(T现令乙(t) = 0, F (t) = ejt5代入上式得1H2( ) = K-M.2 jC .2为求其模'将上式写成 H2(J=(KKMM2)2j(；)2=A(')-jB()于量有H2)|YA2)+B2®(Krug)：Y【(K -MB2)2 +(8)2 2当系统受到多个激励时，便会有多个频率响应函数，其中每一个都可 按求H2()的方法单独求出。以上讨论的是系统输出位移的频率响应函数，对于输出的是振动速度 和加速度时可如下处理；若系统输出的是y(t)=y osin( 31+ © )，输入的是x(t)=xgs

19、in®t，贝S有 y(t) = y 0® cos( 3 t+ © )y(t) = yo ® 2sin( ® t+ © )于是，振动速度和加速度的频率响应函数分别为三、系统响应的谱密度随机过程理论表明：对于线性系统，如果输入的函数是平稳随机过程 而且是各态历经的和呈正态分布的，则输出的振动响应也是平稳的、 各态历经的和呈正态分布的。如单个输入函数x(t)的谱密度为Sx(3),输出函数y(t)的相应谱密 度为Sy( 3)，则有下列重要关系存在：152Sy()=|HSx(eo)( 1)当有两个输入函数时有：Sy(3 )=HiC)Hi(.)S

20、xi HiC)H2C)Sx1x2C) H2C)Hi(.)SX2xie.) H2C )H2( )Sx2 ( )(2)式中 Hi('),H2(J分别为Hi(),H2)的复数共轭；SxiC ), Sx2 C )分别为Xi(t),X2(t)输入的谱密度；Sx1x2 ( ), Sx2x ()分别为xi (t), X2 (t)输入的互谱密度。当有n个输入函数时，则相应的式子为：n nSy (JH r C ' ) H S C ' )Sxrxs C ' )( 3)r =1 s z!对于单个输入的情况有 Sy( ) = H；( )Hi( )Sx()因复数和它的复共轭的乘积等于该复

21、数模的平方，故有(1)式 对于互不相关的各个输入，其互谱密度均为零，由式(3)可得nSy (豹)=区 Hr ® )| Sxr ® )( 4)r =1由3式与4式比较，互谱密度为零时，计算响应的谱密度要简单得多。 因此，只要互谱密度很小，在工程计算中往往略运河不计。四、系统响应的均方值若已知系统的响应谱密度Sy( )，则其均方值可按下式求得:(5)Ef L . . Syf Od 对于单个输入，有对于多个互不相关的输入，有即此时系统总的均方响应值为各个输入产生的响应均方值之总和。 如多个输入之间存在着相关关系时，就需用(3)式求出相应的谱密 度SyC )，然后再用式(5)求出响应的均方值。(6)对于单个输入的响应加速度均方值有:=Sy ( )d 式中的Sy” = S ()即导出得到，过程加速度的谱密度是原振动位移谱密度的倍同样有振动速度的谱密度是原振动位移谱密度的倍。有此重要关系，就可从已知的输入谱密度 Sx( )通过以上关系式计算出响应速度和加速度的均方值。而后者正是计算车辆响应和评定 平稳性所必须的。例 由上图系统为例计算其响应的均方值。Sf ( )这里仅