2021版高中数学第二章平面向量2.5向量的应用学案苏教版必修4

1、.2.体会2.5向量的应用【学习目标I 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.Q问题导学知识点一几何性质与向量的关系设 a= (xi, yi), b= (X2, y2), a, b 的夹角为 0 .思考1证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？思考2证明垂直问题，可用向量的哪些知识?梳理 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由表示出来.知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问

2、题转化为2 通过，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.3 把运算结果“ '成几何关系.知识点三物理中的量和向量的关系1 .物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 2 物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的题型探究类型一用平面向量求解直线方程例1 ABC勺三个顶点A(0，- 4) , B(4,0) , q 6,2)，点D, E, F分别为边BC, CAAB的中点. 求直线DE ef, fd的方程；求AB边上的高线CH所在的直线方程.反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法那么 进行运算跟踪训练1在厶ABC中, A(4,

3、1),耳7,5) , C( 4,7)，求/ A的平分线所在的直线方程.类型二 用平面向量求解平面几何问题例2 在正方形 ABCDK E、F分别是CD AD的中点，BE CF交于点P.求证：BE! CF(2) AP= AB反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种根本思路：(1) 向量的线性运算法的四个步骤：选取基底用基底表示相关向量利用向量的线性运算或数量积找出相应关系把 几何问题向量化.(2) 向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系. 把相关向量坐标化. 用向量的坐标运算找出相应关系. 把几何问题向量化.跟踪训练2 如图，在正方形 ABCDK P为对角线 AC上任一点，PE! A

4、B PFL BC垂足分别 为E, F,连结 DP EF,求证：DPL EF£ 13类型三 向量在物理学中的应用与铅垂线的夹角分命题角度1向量的线性运算在物理中的应用例3(1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧,别为30°，60° (如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.如果一帆船所受的风力20 km/h.假设不考虑其他(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动， 方向为北偏东30°,速度为20 km/h,此时水的流向是正东，流速为 因素，求帆船的速度与方向.反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一

5、种是几何法，选取适当的基底，将 题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法那么，运算律或性质计算第二种是坐标法，通 过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.中的速度为10 :'3 km/h，求小船的实际航行速度.命题角度2向量的数量积在物理中的应用例4两恒力 Fi = (3,4) , F2= (6 , - 5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点氏7,0).(1)求力Fi, F2分别对质点所做的功； 求力Fi, F2的合力F对质点所做的功.反思与感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.跟踪训练4 一个物体受到同一平面内的三个力 Fi, F2, F3的作

6、用，沿北偏东 45°的方向移 动了 8 m其中I刊=2 N,方向为北偏东 30°, | F2| = 4 N,方向为北偏东 60°, | Fs| = 6 N, 方向为北偏西30°,求合力F所做的功.1 .一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移 s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,那么力F所做的功 WJ.2 .过点A(2,3)，且垂直于向量 a = (2,1)的直线方程为 .3 .用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如下图，灯具重10 N,那么每根绳子的拉力大小为N.4 .如图，在平行四边形 ABCD中， AB=

7、 8, AD= 5, CP 3pQ AP- BF 2，那么XB-忌的值 是.5如下图，在 ABC中，点0是BC的中点过点 0的直线分别交直线 AB AC于不同的两点M N,假设XB=AC=门尿 贝U m n的值为I一"规律与方法 ,利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题禾U用向量解决平面几 何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思 路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.合案精析问题导学知识点一思考1可用向量共线的相关知识：a / b? a=入 b? xy-x?yi = 0(0).思考2可用向量垂直的相关知识：a丄 b

8、? a b= 0? X1X2 + yiy2= 0.梳理向量的线性运算及数量积知识点二1 .向量问题2.向量运算 3.翻译知识点三(1)向量(2)加法运算与减法运算题型探究例1 解 (1)由得点 D( - 1,1) , E - 3, - 1) , F(2 , - 2)，设Mx, y)是直线DE上任 意一点，那么DM/ DEDM= (x+ 1, y- 1) , 6e= ( -2, - 2).( - 2) X( x+ 1) - ( - 2) X(y - 1) = 0, 即x-y + 2= 0为直线DE的方程.同理可求，直线 EF, FD的方程分别为 x + 5y+ 8 = 0, x+ y = 0.

9、设点N(x, y)是CH所在直线上任意一点，那么 &丄XB 6n- XB= 0.又Sn= (x + 6, y-2) , AB= (4,4). 4( x+ 6) + 4( y- 2) = 0,即x + y + 4= 0为所求直线 CH的方程.跟踪训练 1 解 XB= (3,4) , AC= ( - 8,6),/A的平分线的一个方向向量为4 35 5XB XCa =+=|AB | AC设P( x, y)是角平分线上的任意一点,/ A的平分线过点A, AP/ a,所求直线方程为7( x-4) - 1( y- 1) = 0.整理得 7x + y 29= 0.例2 证明建立如下图的平面直角坐标系

10、，设AB= 2，那么A(0,0) ,B(2,0) , C(2,2)，耳1,2),F(0,1)(1) BE= ( 1,2) , CF= ( 2,1) E3E- AF= ( 1) X ( 2) + 2X ( 1) = 0, BE! CF,即 BEL CF设点P坐标为(x, y),那么FP= (x, y 1),FC= (2,1)，: FP/ FC x = 2(y 1),即 x= 2y 2 ,同理，由 BP/SE 得 y= 2x + 4 ,x= 2y 2 ,由y= 2x + 4 ,x=5，8点p的坐标为(6 , 8).55ap =,6 2+ 5 2= 2=|鬲，即 AP= AB跟踪训练2 证明 设正方

11、形 ABC啲边长为1, AE= a(0<a<1).贝U EP= AE= a , PF= EB= 1 a , AP= 2a,A AA AA AAAA DP- EF= ( DM AP ( EP+ PF) = DA- EP+ DA-PF+ AP. EP+ AP. PF=1 x ax cos 180 ° + 1 x (1 a) x cos 90 ° + , 2a x ax cos 45 ° + ,2ax (1 a) x cos 45 =a+ a + a(1 a) = 0. 6pl EF,即卩 DPI EF例3(1)解 如图，两根绳子的拉力之和 OA OB= O

12、C且 I O(P = | OG = 300 N，/ AOC= 30°,/ BOG 60°.在厶 OAC中,/ ACO=Z BOG60°，/ AOC= 30°,那么/ OAG 90°,从而 | OA = |O(C cos 30 ° = 150 ：3(N),| Ac = | OC sin 30 ° = 150(N),所以 |OB = | AC| = 150(N).答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是 150 .'3 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是 150 N. 解 建立如下图的平面直角坐标系，风

13、的方向为北偏东30°,速度为| V1| = 20(km/h),水流的方向为正东，速度为 |V2| = 20(km/h),设帆船行驶的速度为 V,那么 V = V1 + V2.由题意，可得向量 V1= (20cos 60 ° , 20sin 60 ° ) = (10,10 ：3)，向量 V2= (20,0),那么帆船的行驶速度为v = V1 + V2= (10,103) + (20,0) = (30,10 ；3),所以 | v| = ；302 + 10 .3 2 = 20 3(km/h).因为tan a =匕穿 =_33( a为V和V2的夹角，且为锐角 )，所以a

14、= 30°,所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h.跟踪训练3解设a, b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作OA=a, OB= b,以OA 3囲邻边作矩形 OACB连结6c如图，那么OC= a + b,并且&即为小船的实际航行速度. I Sep = w a+ b = :a + b tan / AO=耳諾='3,=20(km/h),小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行.例 4 解 (1)AB= (7,0) - (20,15) = ( - 13,- 15),W= F1 XB= (3,

15、4) ( - 13,- 15) = 3X ( - 13) + 4X ( - 15) =- 99(J),w= F2 XB= (6 , - 5) ( 13,- 15) = 6X ( 13) + ( 5) X ( 15) =- 3(J).力Fi, F2对质点所做的功分别为一99 J和一3 J. W= F AB= (F1 + F2) XB= (3,4)+ (6 , - 5) ( - 13,- 15)=(9 , - 1) ( - 13,- 15) = 9X ( - 13) + ( -1) X ( - 15)=-117+ 15=- 102(J).合力F对质点所做的功为一102 J.跟踪训练4解 以O为原点，正东方向为 x轴的正方