2021版高中数学第1章常用逻辑用语1.1.2第2课时充要条件学案苏教版选修2-1

1、第2课时充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件 3通过学习，使学生明白对 充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.戸知识梳理自壬学习知识点一充要条件一般地，如果既有 p? q,又有q? p就记作_p? q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果 p? q,那么p与q互为充要条件.思考(1)假设p是q的充要条件，那么命题 p和q是两个相互等价的命题这种说法对吗？(2) “ p是q的充要条件与“ p的充要条件是q的区别在哪里？答案(1)正确假设p是q的充要条件，那么p? q,即p等价于q,故此说法

2、正确.(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“假设 p,那么q，逆命题为“假设q,那么p，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件知识点三 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件假设A? B,那么p是q的充分条件，假设 A B,那么p是q的|充分不必要条件假设B? A,那么p是q的必

3、要条件，假设 B A,那么p是q的 必要不充分条件假设A= B,那么p, q互为充要条件假设心 B且B g A，那么p既不是q的充分条件，也不 是q的必要条件<sCZ) ® CZ)其中 p： A= x|p(x)成立, q： B= x|q(x)成立.=题型探究重点突破题型一 充要条件的判断例 1(1) “ x = 1 是“ X p： | x|>3 , q： x >9.解在 ABC中，显然有/ A>/B? sin A>sin B所以p是q的充要条件. 假设 a + b = 0，贝V a= b= 0, 即卩 p? q；假设 a= b= 0,那么a2 + b2

4、= 0,即q? p,故p? q,所以p是q的充要条件. 由于p： |x|>3? q： x >9，所以p是q的充要条件.反思与感悟判断p是q的充要条件的两种思路(1) 命题角度：判断p是q的充要条件，主要是判断p? q及q? p这两个命题是否成立假设p? q成立，那么p是q的充分条件，同时 q是p的必要条件；假设 q? p成立，那么p是q的必要 条件，同时q是p的充分条件；假设二者都成立，那么p与q互为充要条件.(2) 集合角度：关于充分条件、必要条件、 充要条件，当不容易判断p? q及q? p的真假时， 也可以从集合角度去判断， 结合集合中“小集合？大集合的关系来理解， 这对解决与

5、逻辑 有关的问题是大有益处的.跟踪训练1 (1) a, b中至少有一个不为零的充要条件是 .ab = 0 ab>0 a2 + b2= 0 a2 + b2>0(2) “函数y= x2 2x a没有零点的充要条件是 . 2x+ 1 = 0 的条件.答案充要解析 解x2 2x+ 1 = 0得x= 1，所以“ x= 1是“ x2 2x+ 1 = 0的充要条件.(2)判断以下各题中，p是否为q的充要条件？ 在 ABC中, p:/ A>Z B, q: sin A>sin B;22 假设 a, b R, p： a + b = 0, q： a= b= 0；答案(2) a< 1解析

6、(1) a2 + b2>0，贝U a、b不同时为零；a, b中至少有一个不为零，那么a2+ b2>0. 函数没有零点，即方程x2 2x a= 0无实根，所以有 A = 4 + 4a<0,解得a< 1.反之，假设a< 1，贝U A <0,方程x2 2x a= 0无实根，即函数没有零点.故"函数y = x2 2x a没有零点的充要条件是a< 1.题型二充要条件的证明例2 求证：方程x2 + (2 k 1)x+ k2= 0的两个根均大于1的充要条件是k< 2. 证明必要性：假设方程x2+ (2k 1)x + k2= 0有两个大于1的根，不妨设

7、两个根为 X1, X2，贝U2 2A= 2k 1 4k >0,X1 + X2 2>0,X1 1+ X2 1 >0,X1X2 X1 + X2+ 1>0.X1 1X2 1 >0,2k 1 2>0,2k +2k 1+ 1>0,解得k< 2.充分性：当 k< 2 时，A = (2k 1)2 4k2= 1 4k>0.设方程x2+ (2k 1)x + k2= 0的两个根为X1, X2.那么(X1 1)( X2 1) = X1X2 ( X1 + X2) + 1=k2+ 2k 1 +1 = k(k + 2)>0.又(X1 1) + (X2 1)

8、 = (X1+ X2) 2=(2 k 1) 2= 2k 1>0,X1 1>0, X2 1>0. X1>1 , X2>1.综上可知，方程 x + (2k 1)x+ k = 0有两个大于1的根的充要条件为k< 2.反思与感悟一般地，证明“ p成立的充要条件为 q时，在证充分性时应以q为“条件，p是该步中要证明的“结论，即q? p；证明必要性时那么是以p为“条件，q为该步中要证明的“结论，即p? q.跟踪训练2 求证：一次函数f(x) = kx+ b(k丰0)是奇函数的充要条件是b= 0.证明充分性：如果b= 0,那么f(x) = kx,因为 f ( x) = k

9、( x) = kx,所以 f( x) = f(x),所以f(X)为奇函数.必要性：因为 f(x) = kx + b(k丰0)是奇函数，所以f ( x) = f ( X)对任意X均成立，即 k( x) + b= ( kx+ b),所以b= 0.综上，一次函数f (x) = kx + b(k丰0)是奇函数的充要条件是b= 0.题型三充要条件的应用例3关于x的方程x所以不等式ax + 2x+ 1>0恒成立的充要条件是 a>1. m灶2m- 3= 0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件.A> 0,解 设方程x2 mx+ 2m 3 = 0的两根分别为xi , X2,由题意知xi>

10、;1,X2>1A> 0,X1 1 + X2 1 >0,?Xi 1X2 1 >0A >0,X1 + X2>2,X1X2 X1 + X2+ 1>02m 42 m- 3> 0,? m>2,2 m- 3 m+1>0? m> 6.即使方程有两个大于 1的实根的充要条件为 m> 6.反思与感悟求充要条件常用以下两种方法：(1) 先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分 性和必要性都成立.(2) 变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件.跟踪训练3求不等式ax2 + 2x +1

11、>0恒成立的充要条件.解当a = 0时，2x+ 1>0不恒成立.当a0时，ax + 2x+1>0恒成立.a>0? a>1.A = 4 4a<01对于非零向量 a, b," a+ b = 0是"a / b的条件.答案充分不必要解析当a + b= 0时，得a=- b,所以a / b,但假设a / b,不一定有a+ b= 0.2. 集合A=1 ,a ,B= 1,2,3，那么“ a = 3是“A?B'的.答案充分不必要解析 a= 3 时，A= 1,3 , A? B,当 A? B时，a= 2 或 3.3. a :" a=±

12、; 2；卩：“直线x-y = 0与圆x2+ (y a)2= 2相切，那么 a是卩的 条件.答案充要解析 a=±2时，直线x y = 0与圆x2+ (y±2) 2= 2相切；当直线 x y = 0与圆x2+ (y a)2 = 2相切时，得"2 = ；2,二a=± 2. / a是卩的充要条件4. 直线li： x + ay+ 6 = 0和直线12： (a 2)x+ 3y + 2a= 0，贝U 11 /12的充要条件是 a答案 1解析 由 1 x 3 ax( a 2) = 0 得 a= 3 或一 1, 又 ax2 a 3x 6工0,所以 az3,所以 a= 1.1 15. 命题p： x>0, y<0,命题q： x>y,->-，贝U p是q的条件.x y答案充要1 1 、解析 当x>0, y<0时，x>y且j>-成立,x>0,y<0.x y>0,1 1当x>y且-时，得x yx y <0, xy所以p是q的充要条件._课堂小结11. 充要条件的判断有三种