高等代数试题及答案

1、高等代数试题及答案 -中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷数学科学 学院 高等代数课程试题(a 卷) 共 2 页 第 1 页授课老师命题老师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共2 页第2 页- -五(10分)证明：设a 为n 级矩阵,()g x 是矩阵a 的最小多项式,那么多项式()f x 以a 为根的充要条件是()g x |()f x .六(10分)设v 是数域p 上的n 维线性空间,a b ,是v 上的线性变换，且=ab ba .证明:b 的值域与核都是a 的不变子空间.七(10分)设2n 阶矩阵ab a b a b aba ?=?o n n o,a b ,

2、求a 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域p 上线性空间v 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足()()0p f q f =(零变换)求证：()()()(),ker ,ker v w s w p fs q f = -中国海洋大学 xxxx-xxxx 学年 第x 学期 期末考试试卷学院xxx xxxxx 课程试题(a 卷) 共 页 第 页- -中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 高等代数试题(a 卷)答案一.推断题 1.× 2.× 3.× 4. 5.二.解：a =?1111111111111111，3|

3、(4)e a -=-，所以特征值为0，43重. 将特征值代入，求解线性方程组()0e a x -=，得4个线性无关的特征向量答案可以不唯一，再正交单位化，得4个单位正交向量：11111,)'2222(，2，3，4'.所以正交阵12126102610 2t ?-?=?-?而40'00t at ?=?. 三.证：(1) ,.a b m ? 验证,a b ka m +即可.(2) 令11010100110n e d e -?= ?oo o，d 为循环阵， -00n k k ke d e -?=?，(k e 为k 阶单位阵) 那么21,n n d d dd e -=l 在p 上

4、线性无关.且21121n n n n a a e a d a d a d -=+l ，令112(),n n f x a a x a x -=+l 有()a f d =.b m ?，必p ?上1n -次多项式()g x ，使()b g d =，反之亦真.()()()()ab f d g d g d f d ba = (3)由上可知：21,n e d d d-l 是m 的一组基，且dim m n =.四.解：a 的行列式因子为33()(2)d =+, 21()()1d d =.所以，不变因子为33()(2)d =+, 21()()1d d =，初等因子为3(2)+，因此a 的jordan 标准形为

5、21212j -?=-?-? 五证："":()()()()()()0f x g x q x f a g a q a ?=""?：()0,()0f a g a =设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或()()r x g x ?<?. 所以0()()()()f a g a q a r a =+, 因此()0r a =. 因为()g x 为最小多项式，所以()0r x =.()|()g x f x . 六证：在b 的核0v 中任取一向量，那么 - ()()()()00=b a ba ab a b a所以a 在b 下的

6、像是零，即0v a 即证明了0v 是a 的不变子空间 在b 的值域v b 中任取一向量b ，那么()()v =a b b a b . 因此，v b 也是a 的不变子空间综上，b 的值域与核都是a 的不变子空间 七解：22()ne a a b ?-=-?当0b =时，由于a ae o -=，()a m x x a =-当0b 时，由于22()a ae b e o -=，22()()a m x x a b =-八证：先证v w s =+，明显，w s v +?(),()p x q x q 互素，(),(),u x v x p x ?使得()()()()1u x p x v x q x += ()()()()u f p f v f q f +=单位变换 ,()()()()v p f u f q f v f ?+=设111()(),()()()()0q f v f p f p f q f v f w =q 222()(),()()()()0p f u f q f q f