平差教学成晓倩协因数传播律PPT课件

1、第1页/共42页设 方差为 ，协方差为 ,ijL L22,ijij2201iiiiQp令：2201jjjjQp20ijijQ为 的协因数iiQiL为 的协因数jjQjL为 关于 的互协因数或相关权倒数ijQjLiLiiiQ202jjjQ20220ijijQ第2页/共42页2201iiiiQp2201jjjjQp20ijijQ协因数与权成反比，故亦为衡量精度的相对指标协因数与权成反比，故亦为衡量精度的相对指标当当 =0=0，说明两观测值独立（不相关），说明两观测值独立（不相关）ijQ第3页/共42页2111222200011121222122122222200020122122220001nnn

2、nXXnnnnnnnQQQQQQDQQQXXXXQD20XXQ协协因因数数阵阵n n维随机向量,1 nX第4页/共42页111212122212nnXXnnnnQQQQQQQQQQ1. 1.主对角元素主对角元素 是随机变量是随机变量 的协因数，即权倒数；的协因数，即权倒数；iXiiQ2.2.非主对角元素非主对角元素 是随机变量是随机变量 关于随机变量关于随机变量 的互协因数，且有的互协因数，且有 ，故协因数阵为对称阵；，故协因数阵为对称阵； iXjiQijjXjiijQQ 3. 3. 表明随机变量表明随机变量 与与 独立，不相关独立，不相关iXjiQij 0jX第5页/共42页设有观测向量 和

3、 ，它们的方差阵分别为 和 ， 关于 的互协方差阵为 ，令1 ,nXnnXXD,1 , rYrrYYD,rnXYD,1 ,nX1 , rYXXnnXXDQ20,1YYYYQD20XYXYQD20YYrrYYDQ20,1XYrnXYDQ20,1XXXXQD20为 的协因数阵nnXXQ,1 ,nXrrYYQ,为 的协因数阵1 , rY为 关于 的互协因数阵rnXYQ,1 ,nX1 , rY第6页/共42页1. 1. 中的元素就是中的元素就是 关于关于 的相关权倒数；的相关权倒数；XYQiXjY2. 2. 为为 关于关于 的的相关权逆阵相关权逆阵；XYQXY3.3.因因 ，所以，所以 ；TYXXYD

4、DTXYYXQQ4.4. 和和 是相互独立的观测向量；是相互独立的观测向量；XY0TXYYXQQrnnnrryxyxyxyxyxyxyxyxyxXYD2122212121111 11212 122212rrnnnrx yx yx yx yx yx yXYx yx yx yQQQQQQQQQQ第7页/共42页 1. 1. 中的对角元素是各个中的对角元素是各个 的权倒数，非对角元的权倒数，非对角元素是素是 关于关于 的相关权倒数；的相关权倒数；jiXjXXQiXiX2. 2. 中的元素就是中的元素就是 关于关于 的相关权倒数；的相关权倒数；XYQiXjY3.3. 和和 为为 和和 的权逆阵；的权逆

5、阵； 为为 关于关于 的相关的相关权逆阵；权逆阵；XYQYYQXXQXYXY4. 4. 为对称阵为对称阵 ， ；XYTYXQQXXQ 和和 是相互独立的观测向量；是相互独立的观测向量；5.5.XY0TXYYXQQ第8页/共42页YXZ20201ZZZZZZZZQDDQYYYXXYXXZZDDDDDYYYXXYXXZZQQQQQ2022201iiiipp精度评定中常用的两种形式，精度评定中常用的两种形式，不仅适用于观测值还适用于观测值函数不仅适用于观测值还适用于观测值函数第9页/共42页第10页/共42页nnnnnnXXPPPPPPP称对22211211,0,11iiiippQ1iiiQp,1X

6、XXXQP1XXXXPQ120XXXXPD第11页/共42页nnXXXX211 ,22221,0000000nnnXXDnnnXXPPPP00000021,202202220212000000001nXXXXDQnppp101000121IQPQPXXXXXXXX11. 是由独立观测值 的权 构成的对角阵。iXXXPip2. 与权逆阵（协因数阵）与权逆阵（协因数阵） 互为逆阵，通常称互为逆阵，通常称 为为 的权阵的权阵XXPiXXXPXXQ第12页/共42页1. 1.独立观测值的协因数阵独立观测值的协因数阵 、权阵、权阵 是对角阵，是对角阵，权阵主对角元素就是相应观测值的权。权阵主对角元素就是

7、相应观测值的权。XXPXXQ2.2.相关观测值的协因数阵相关观测值的协因数阵 、权阵、权阵 是非对角阵，是非对角阵，权阵的主对角元素不再是相应观测值的权。权阵的主对角元素不再是相应观测值的权。XXPXXQ1212222111211XXnnnnnnXXQPPPPPPPPPP， 也称为也称为 的权阵。的权阵。XXXP对于相关的观测向量对于相关的观测向量 仍令仍令IQPQPXXXXXXXX1X第13页/共42页例：已知观测值向量 的权阵为 ，试求观测值 的权 1 , 3L321242123P321,LLLip解：观测值向量的协因数阵11321242123 PQLL21012101241由协因数的定义

8、可知：2142332211QQQ21321iiQppp无论观测值相关还是独立，其协因数阵无论观测值相关还是独立，其协因数阵 主对角元主对角元素均为相应观测值素均为相应观测值 的权倒数。的权倒数。XXQiX第14页/共42页第15页/共42页设有观测值向量 和 的线性函数XY00FFYWKKXZ根据协方差传播律：TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDDQD20顾及协方差阵与协因数阵的关系：TXYTXYZWTYXTYXWZTYYTYYWWTXXTXXZZKFQKQFQFQKFQKQFFQFQFQKQKKQKQ202020202020202020202020TXYZW

9、TYXWZTYYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ化简得：1. 1.线性函数线性函数第16页/共42页如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数2. 2.非线性函数非线性函数),(),(),(,),(),(),(21212211212121221121rWrrWrWrnZtnZnZtYYYfYYYfYYYfWWWWXXXfXXXfXXXfZZZZFdYdWKdXdZ求微分法，线性化nZtZtZtnZZZnZZZXfXfXfXfXfXfXfXfXfK212221212111rWrWrWrrWWWrWWWYfYfYfYfYfYfYfYfYfF212221212111TXYZWTYXWZT

10、YYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ第17页/共42页3.3.独立观测值独立观测值对于独立观测值 ，假定各 的权为 则 的权阵、协因数阵均为对角阵 1 ,nLiLiP1 , nLnLLpppP00000021nnnLLpppQQQQ100010001000000212211若有函数),(21nLLLfZnnZZZpLfpLfpLfPQ1)(1)(1)(12222121nnnTLLZZLfLfLfpppLfLfLfKQQ212121100010001KdLdLLfdLLfdLLfdZnn2211第18页/共42页例：设有函数：0KKXZ0FFYWWZSFYKXRX的协因数 ，Y的协

11、因数 ，X关于Y的互协因数阵为 （ ）， 又 为常系数阵。求XXQYYQXYQTXYYXQQFKFK、00ZYZXRRSSWZWWZZQQQQQQQ、解：TXXZZKKQQTYYWWFFQQTXYZWFKQQTYYTYXTXYTXXWWWZZWZZSSFFQKFQFKQKKQQQQQQYXFKFYKXRTYYTYXTXYTXXTTYYYXXYXXRRFFQKFQFKQKKQFKQQQQFKQ0KKXZXXTXXZXKQIKQQXYTXYZYKQIKQQ0000KYXKKKXZYXIY0XYXYXXYYYXXYXXZYKQIKQKQIQQQQKQ000第19页/共42页例：设独立观测值 的权均为

12、 ，试求算术平均值的权), 2 , 1(niLip nLx xp解： nnLLLnnnLnLnLnnLx.1.111112121nnnpppnnnpQnxxx1111.011.11121nppnnpppn11)111(122nppx第20页/共42页例：设独立观测值 的权均为 ，试求的权ip), 2 , 1(niLi pLxpxp解： 11221nnpLxp Lp Lp Lpp 22212212111111nxnppppppppp xpp此时x为带权平均值，带权平均值的权等于各观测值权之和带权平均值的权等于各观测值权之和应用权倒数传播律：第21页/共42页例：已知观测向量 和

13、 的协因数阵 和互因数阵 ，1X2X1122X XX XQQ、12X XQ12XXX11122122X XX XXXX XX XQQQQQ12YFXZKX设有函数 ，试求Y关于Z的协因数阵YZQ解：120XYFX120XZKX1112212200X XX XYZTX XX XQQQFQQK12TYZX XQFQK第22页/共42页第23页/共42页Applications of Generalized Propagation in Surveying1. 由三角形闭合差计算测角中误差 Standard deviation of angle observations calculated by

14、the closure error of triangle Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors Mean Square Errors calculated by the difference of double observations第24页/共42页三角测量方法是布设水平控制网的主要方法之一1.1.由三角形闭合差计算测角中误差由三角形闭合差计算测角中误差Standard deviation of angle observations calculate

15、d by the closure error of triangle中国天文大地网第25页/共42页1.1.由三角形闭合差计算测角中误差由三角形闭合差计算测角中误差Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangleiCiAiB180iiiiWABC二等三角网三角形闭合差为真误差第26页/共42页n 个三角形的 3n 个独立等精度的角度观测量12,nW WW121212,nnnB BBC CC m180iiiiWABCn 个独立等精度的三角形闭合差WWWmn2222iWmmmmi

16、WWmm3iWmm3WWmn1.1.由三角形闭合差计算测角中误差由三角形闭合差计算测角中误差Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle第27页/共42页1.1.由三角形闭合差计算测角中误差由三角形闭合差计算测角中误差Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle3WWmn 菲列罗公式 Ferreros Formula应用：三角测量外业结束后用于估计测

17、角中误差，初步评定测角观测量的精度等 级一 等二 等三 等四 等测角中误差0.70.7 1.01.0 1.81.8 2.52.5 第28页/共42页Applications of Generalized Propagation in Surveying1. 由三角形闭合差计算测角中误差 Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Preci

18、sion True Errors Mean Square Errors calculated by the difference of double observations第29页/共42页n，21n，21)(2，iiNL)0(2，Ni观测值 的方差为iLn2nLLL，21一组同精度独立观测值2. 2. 用不等精度的真误差计算单位权中误差用不等精度的真误差计算单位权中误差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors 同精度独立的真误差计算中误差同精度独立的真误差

19、计算中误差第30页/共42页数学期望、方差和权分别为: 、 和i2iipiiiL)(2iiiNL，)0(2iiN，nLLL，21现在设是一组不同精度的独立观测值2. 2. 用不等精度的真误差计算单位权中误差用不等精度的真误差计算单位权中误差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors 问题：如何利用一组不同精度的真误差来求得单位权中误差0现设 是一组同精度，且权 的独立真误差：i1ip 设：iii 2111iiipp权倒数传播律：iipiiip 第31页/共42页

20、0n 0pn 0limnpn理论值理论值估值估值不同精度独立的真误差计算单位权中误差不同精度独立的真误差计算单位权中误差2. 2. 用不等精度的真误差计算单位权中误差用不等精度的真误差计算单位权中误差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors iiip 第32页/共42页Applications of Generalized Propagation in Surveying1. 由三角形闭合差计算测角中误差 Standard deviation of angle

21、 observations calculated by the closure error of triangle Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors Mean Square Errors calculated by the difference of double observations第33页/共42页测量中，常常对一系列被观测量进行成对观测，测量中，常常对一系列被观测量进行成对观测，这种成对观测称为这种成对观测称为双观测双观测。设对量 ，观测两次，

22、得独立观测值和权 ：nXXX，21nLLL，21第一次：nLLL ，21第二次：权：nppp，21 和 是对同一量 的两次观测，称为一个观测对iLiL iX设对内精度相同，对间精度不同。3. 3. 由双观测值之差求中误差由双观测值之差求中误差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observations第34页/共42页两次观测值的差数：第i对观测值平均值的方差：iiiLLd )21(ni，iiiiiidddLLXXi 0)()(npddnpddd220iLLpii12022 iLXpii2122022观测值 和

23、的方差：iLiL 由权倒数传播律：单位权方差：3. 3. 由双观测值之差求中误差由双观测值之差求中误差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observationsiiidppppi21112idppi由双观测值之差由双观测值之差求得单位权方差求得单位权方差第35页/共42页例：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于下表中， 试求：（1）每公里观测高差的中误差；（2）第二段观测高差的中误差； （3）第二段高差的平均值的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测 高差的中误差及全长平均值的中误差段

24、段号号高差（高差（m）距离距离S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.7044.03.22.02.63.4iLiL第36页/共42页解：（1）单位权中误差（每公里观测高差的中误差）为段段号号高差（高差（m）距离距离S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.63.416.020.024.524.67.4 15.292.5iiidLLiLiLiid diiiiiid dp d dS092.53.0210pddmmn 公里第37页/共42页段段号号高差（高差（m）距离距离S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.6