函数的极限ppt课件

1、数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙. . 培根培根(Advanced Mathematics)函数的极限函数的极限数列的极限数列的极限第二节第二节 函数极限函数极限(一一)第一章第一章 函数与极限函数与极限-极限的概念极限的概念1.数列数列:例：例：;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n按照自然数顺序陈列的一列数按照自然数顺序陈列的一列数,21nxxx简记为简记为nx函数极限函数极限一、数列的极限一、数列的极限普通式为普通式为:;,)1( ,1,1,11 n)1(1 n普通项普通项;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 1x2x3x4xnx数列的数列

2、的(两种两种)几何表示法几何表示法:)(nfxn 整标函数或下标函数整标函数或下标函数(1) 数轴上一个点列数轴上一个点列.数列的极限数列的极限(2) 不可将这串点连成曲线.onxn 1 2 3 4平面上一串分别的点平面上一串分别的点.正六边形正六边形 的周长的周长1l正十二边形正十二边形 的周长的周长2l正正 边形的周长边形的周长126 nnlR函数极限函数极限刘徽创刘徽创“割圆术，割圆术，数列的变化趋势数列的变化趋势记：记： 时，时，当当nlln2. 关注关注:例：例：计算圆的周长计算圆的周长l)26(12 )26(11 当当n无限增大时，无限趋近于无限增大时，无限趋近于lnl用无限接近极

3、限方法，可实现：用无限接近极限方法，可实现：近似近似准确准确量变量变量变量变直直曲曲注注,)1( ,1,1,1:)1(11 nn数数列列例例3符号：符号： 1)1( n函数极限函数极限当当n无限增大时无限增大时, 不趋于一个常数不趋于一个常数(极限不存在极限不存在)不存在不存在1)1(lim nn文字：文字： 图形：图形： 函数极限函数极限,2 ,8,4,2:2nn数列数列例例4符号：符号： n2当当n无限增大时无限增大时, 不趋于一个常数不趋于一个常数 (极限不存在极限不存在)不不存存在在nn2lim )2lim:( nn记记文字：文字： 图形：图形：一个确定的常数一个确定的常数A,nx设有

4、数列设有数列增大时的极限，增大时的极限， 收敛于收敛于A.nx或称数列或称数列 记为记为,limAxnn 或或).( nAxn那么称常数那么称常数A为数为数列列nx当当n无限无限假设当假设当n无限增大时无限增大时,或称数列发散或称数列发散.函数极限函数极限无限增大时，无限增大时，若当若当n无限趋近于无限趋近于nx数数，不不趋趋近近于于一一个个确确定定的的常常nxnx那么称数那么称数列列 的极限不存在，的极限不存在，4. 数列极限的定性描画数列极限的定性描画.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnn,511,411,311,211, 11 问题问题当当 无限增大时无限增大时

5、, 能否无限接近于某一能否无限接近于某一确定的数值确定的数值?nxn当当n无限增大时无限增大时, nx无限接近于无限接近于1.数列的极限数列的极限5. 数列极限的概念数列极限的概念1 nx1)1(1(1 nn1 nx可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,那么要看那么要看1 nx“无限接近无限接近|.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnnn1 只需只需n充分大充分大小到什么要求小到什么要求.数列的极限数列的极限当当n无限增大时无限增大时, 无限接近于无限接近于1.nx,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给

6、定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有, 0 任任给给定定,)1(时时只只要要 n.1成成立立有有 nxnxn1|1| 数列的极限数列的极限N, 0 恒有恒有 axn 收敛于收敛于a. nx或称数列或称数列 记为记为,limaxnn 或或).( naxn那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限(limit),假设数列没有极限假设数列没有极限, 就说数列发散就说数列发散(diverge).数列的极限数列的极限,N ,时时当当Nn N 定义定义x1x2x2 Nx1 Nx3x数列极限的几何意义数列

7、极限的几何意义 2 a aa,时时当当Nn .落落在在其其外外只只有有有有限限个个数列的极限数列的极限 axan)(Nn ),( aUxn axn即即,),(内内都都落落在在所所有有的的点点 aaxn)(个个至至多多只只有有N在无穷远点的极限在无穷远点的极限在一点的极限在一点的极限二、函数的极限二、函数的极限函数的极限函数的极限 x x x 0 xx 0 xx0 xx 1. 定性定义定性定义:记作：记作：.)(lim0Axfxx 0)(xxxfA当当是是函函数数则则称称个常数个常数A，时的极限时的极限.函数函数f(x)无限趋近于一无限趋近于一函数极限函数极限0 xx 若当若当时，时，).)(l

8、im(Axfx 或或)( x或或)( x或或假设在假设在x的某种趋向下的某种趋向下,并不无限接近一个常数并不无限接近一个常数那么称那么称:)(xf在在x的该种趋向下的该种趋向下极限不存在极限不存在.)(xf例例:时，时，当当 x记记设设函数极限函数极限xy1 ，01 xy. 01lim xx时时，当当1x，11 xy. 11lim1 xx记记时时，当当0 x， xy1极限不存在极限不存在记记不不存存在在；xx1lim0或或.1lim0 xxxyOxy1 1(1)一个常数，一个常数，y函数极限函数极限讨论函数极限，讨论函数极限， 须先明确自变量变化趋势须先明确自变量变化趋势.(2)极限存在，极限

9、存在，假设否，假设否，不存在不存在.时，时，0 xx (3)，0 xx 的空心邻域的空心邻域即即0 xx Axfxx )(lim0.)(0是是否否有有定定义义无无关关在在与与xxf注注解解 显然有显然有,2arctanlim xx,2arctanlim xxxxarctanlim 故故不存在不存在.例例 讨论极限讨论极限 能否存在能否存在?xxarctanlim Axfx )(lim函数的极限函数的极限且且Axfx )(limAxfx )(lim例例: 0, 10,1)(2xxxxxf设设)(lim0 xfx 函数的极限函数的极限xyO1xy 112 xy处处的的极极限限在在分分段段点点讨讨论

10、论0)( xxf)1(lim0 xx . 1 )(lim0 xfx )1(lim20 xx. 1 . 1)(lim0 xfx解解: )(lim0 xfx )(lim0 xfx1,00时时侧侧无无限限趋趋近近左左从从当当xxx函数的极限函数的极限.)(Axf处的处的在在为函数为函数则称则称0)(xxfA左极限左极限记作：记作：Axfxx )(lim0Axf )0(0或或(右右)极极限限.Axfxx )(lim0Axf )0(0或或2. 左、右极限左、右极限(单侧极限单侧极限)1)定义定义(右右)函数的极限函数的极限Axfxx )(lim0A此性质常用于判别分段函数当此性质常用于判别分段函数当x趋

11、近于趋近于分段点分段点时的极限时的极限. .2) 定理定理充要条件是充要条件是: : )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx(1)试证函数试证函数,1sin1)( xxxxxf.,1无极限无极限时时当当 x函数的极限函数的极限(2)试求函数试求函数 1,1.10 10, 0, 1)(2xxxxxxxxf处处的的极极限限和和在在函数的极限函数的极限).(lim , 0,0, 0,)()3(02xfxxxxxxfx 求求设设函函数数).(lim , 0,0, 0,)()4(01xfxxexfxx 求求设设函函数数(1)试证函数试证函数,1sin1)( xxxxxf)(lim1xfx xx

12、1lim.,1无极限无极限时时当当 x证证:)(lim1xfx xxsinlim1 1 1sin 函数的极限函数的极限)(lim)(lim11xfxfxx .)(lim1不不存存在在xfx所以所以由于由于函数的极限函数的极限(2)试求函数试求函数 1,1.10 10, 0, 1)(2xxxxxxxxf处处的的极极限限和和在在解解 (1) (1)由于由于.1)1(lim)(lim00 xxfxx.0lim)(lim200 xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx .)(lim0不存在不存在xfx所以所以函数的极限函数的极限(2) (2) 由由于于, 1lim)(lim211 xxfxx.

13、11lim)(lim11 xxxf.1)(lim1 xfx )(lim1xfx )(lim1xfx1所以所以函数的极限函数的极限).(lim , 0,0, 0,)()3(02xfxxxxxxfx 求求设设函函数数解解:)(lim0 xfxxxxx 20lim1)1(lim0 xx函数的极限函数的极限).(lim , 0,0, 0,)()4(01xfxxexfxx 求求设设函函数数解解:)(lim0 xfxxxe10lim xxe10lim0 xxe10lim 不不存存在在)(lim0 xfx1. 无穷小无穷小 (极限为零的变量极限为零的变量)的无穷小量的无穷小量, 简称简称无穷小无穷小.(一一

14、)定义定义无穷小与无穷大无穷小与无穷大，若若0)(lim)(0 xfxxx时时是是当当则则称称)()(0 xxxxf(绝对值无限增大的变量绝对值无限增大的变量)2. 无穷大无穷大 )(lim)(0 xfxxx记记,)(0时时若若当当 xxx,)(无无限限增增大大xf的无穷大量的无穷大量,简称简称无穷大无穷大.时时是是当当则则称称)()(0 xxxxf三、无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大(1)非无穷大，非无穷大，无穷小与无穷大无穷小与无穷大3. 阐明阐明 例：例：无穷小量或无穷大量都是函数无穷小量或无穷大量都是函数(变量变量)(2)与与x的变化趋势有关的变化趋势有关是是)(xf,1)(xxf 设

15、设,0时时当当 x无穷大量无穷大量是是)(xf,时时当当 x无穷小量无穷小量非无穷小非无穷小.)(xf,1时时当当 x 零是可以作为无穷小的独一的数零是可以作为无穷小的独一的数. . 无穷大量的倒数是无穷小量无穷大量的倒数是无穷小量(二二)性质性质无穷小与无穷大无穷小与无穷大例：例：非零无穷小量的倒数是无穷大量非零无穷小量的倒数是无穷大量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量2.3.1.,01lim xx,1lim0 xx xxxsin1lim1sin x又又为为无无穷穷小小量量，故故xxsin10sin1lim xxx是是无无穷穷小小量量因因x1)( x是是有有

16、界界量量，即即xsin4.证：证： Axf )(lim或或无穷小与无穷大无穷小与无穷大. 0)(lim x其中其中),()(xAxf Axf )(lim).()(xAxf ,)(limAxf 设设. 0)(lim Axf故故).()(xAxf 故故. 0)(lim x 其其中中),()(xAxf 设设)(limAxf 故故)(limx . 0 Axf )(lim故故 有限个无穷小量的代数和及乘积仍为无穷小有限个无穷小量的代数和及乘积仍为无穷小无穷小与无穷大无穷小与无穷大(负负)两个正两个正 无穷大量之和仍为正无穷大量之和仍为正 无穷大无穷大无穷大与有界量的代数和仍为无穷大无穷大与有界量的代数和

17、仍为无穷大6.7.5.)22(lim2 xxx(负负)例：例：2)2(lim xxx 两个无穷大量之积仍为无穷大两个无穷大量之积仍为无穷大8.)1(limxxx 定理定理1则则设设,)(lim,)(limBxgAxf ;)()(lim)1(BAxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf .0,)()(lim)3( BBAxgxf其中其中泛指任一种极限泛指任一种极限)(limxf一、极限运算法那么一、极限运算法那么极限运算法那么极限运算法那么四、极限运算法那四、极限运算法那么么(1) 参与运算的是有限个函数参与运算的是有限个函数;(3) 商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0.

18、 不要随意参与运算不要随意参与运算,(2) 它们的极限都存在它们的极限都存在;极限运算法那么极限运算法那么注注证证:,)(limAxf ,)( Axf;)()(limBAxgxf .)( Bxg无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 .)(limBxg 极限运算法那么极限运算法那么. 0, 0 其中其中 0由无穷小运算法那么由无穷小运算法那么,得得BA )(lim)(limxgxf )()(limxgxf则则设设,)(lim,)(limBxgAxf )()(xgxf BA BA )()(xgxf BA nxf)(lim)(lim)(limxfCxCf .是正整数是正整数nnxf)(lim

19、极限运算法那么极限运算法那么BAxgxf )()(lim)2(C为常数为常数)推论推论 1常数可以提到极限符号前常数可以提到极限符号前推论推论 2 假设假设 lim f ( x ) = A，且，且 n为正整数，那为正整数，那么么特殊地，有特殊地，有mmxxmxxxxx0)lim(lim00 证明略证明略极限运算法那么极限运算法那么)(lim0 xfxx)()(lim0 xgxfxx)(lim0 xgxx)(lim)()(lim00 xfxgxfxxxx假假设设与与均存在，那么均存在，那么A一定存在；一定存在；D. 不一定存在不一定存在 B. 一定不存在；一定不存在；C. 存在且等于存在且等于解

20、解:例例1二、求极限方法举例二、求极限方法举例极限运算法那么极限运算法那么)78(lim21 xxx求求)78(lim21 xxx7lim8limlim1121 xxxxx271812 解解:)35(lim22 xxx32522 03 4 34223 例例23542lim232 xxxx求求 3542lim232xxxx极限运算法那么极限运算法那么 小小 结结,)()1(110nnnaxaxaxf 设设nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf ,0)(,)()()()2(0 xQxQxPxf且且设设)(lim)(li

21、m)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 那么那么有有那么那么有有极限运算法那么极限运算法那么代入法代入法分析分析:例例5321lim3 xxx求求,3时时x)00(型型 根式转移法根式转移法 方方 法法极限运算法那么极限运算法那么分子分子,分母的极限都是零分母的极限都是零. 分子有理化分子有理化321lim3 xxx)21)(3()21)(21(lim3 xxxxx)21)(3()3(lim3 xxxx)21(1lim3 xx.41 解解:例例653123lim32 xxxxx求求分析分析:,时时 x)(型型 3x. 010 无穷小因子分出法无穷小

22、因子分出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大. 方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.3232531123limxxxxxx 53123lim32 xxxxx先将分子、分母同除以分母中先将分子、分母同除以分母中x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法 以分出以分出再求极限再求极限. x求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,无穷小无穷小,极限运算法那么极限运算法那么解解:), 0, 0(00为非负整数为非负整数nmba nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim 小小 结结 mn 00bamn 0mn 极限运

23、算法那么极限运算法那么 523)12()23()12(limxxxx练习练习49例例751lim22 xxxxeee求求解解:,时时 x)(型型 无穷小因子分出法无穷小因子分出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大.极限运算法那么极限运算法那么分析分析:51lim22 xxxxeeexxxxxeeee2225111lim 1 1211lim21xxx求求解解:121lim21 xxx)1)(1(1lim1 xxxx21 极限运算法那么极限运算法那么例例8)(型型 1211lim21xxx 消去零因子法消去零因子法11lim21 xxx例例9)13(lim22 xxxx求求解解:)(型型 1313lim22 xxxxx2113113limxxxx 23 “根式转移法根式转移法化为化为 型型 分子有理化分子有理化)(型型 极限运算法那么极限运算法那么)13(lim22 xxxx无穷小因子分出法无穷小因子分出法例例1