厚壁圆筒应力分析

1、1第二章第二章 压力容器应力分析压力容器应力分析第三节第三节 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析CHAPTER STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS22.11.1/ioDD应考虑径向应力，是三向应力状态；应考虑径向应力，是三向应力状态；应力沿壁厚不均匀分布；应力沿壁厚不均匀分布；若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。静不定问题，需平衡、几何、物理等方程静不定问题，需平衡、几何、物理等方程联立求解联立求解2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析与薄壁容器比较，与薄壁容器比较，有何异同？有何异同？32.3.1 弹性应力弹

2、性应力2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.3 屈服压力和爆破压力屈服压力和爆破压力2.3.4 提高屈服承载能力的措施提高屈服承载能力的措施2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析4教学重点：教学重点： （1）厚壁圆筒中三向应力的公式表达）厚壁圆筒中三向应力的公式表达 和应力分布图；和应力分布图； （2）厚壁圆筒中的弹塑性区的应力分布；）厚壁圆筒中的弹塑性区的应力分布； （3）提高屈服承载能力的措施。）提高屈服承载能力的措施。教学难点：教学难点： 厚壁圆筒中三向应力公式推导。厚壁圆筒中三向应力公式推导。2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析52.3.

3、1 弹性应力弹性应力b.c.d.pia.popimnm1n1RiRom1n1mnrr+drdrdrrdrpopip0图图2-15 厚壁圆筒中的应力厚壁圆筒中的应力DiDo2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析6 1. 轴向（经向）应力轴向（经向）应力对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力假设轴向应力 沿壁厚方向均匀分布，得：沿壁厚方向均匀分布，得：22020022200202iiiiiizRRRpRpRRpRpR（2-25） A2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）z7 2.

4、周向应力与径向应力周向应力与径向应力由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。a. 微元体微元体b. 平衡方程平衡方程c. 几何方程几何方程 ：微元体位移与应变之间的关系。（用位移法求解）：微元体位移与应变之间的关系。（用位移法求解）d. 物理方程：弹性范围内，微元体的应变与应力的关系物理方程：弹性范围内，微元体的应变与应力的关系e. 平衡、几何和物理方程综合平衡、几何和物理方程综合求解应力的微分方程求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界

5、条件定常数）（求解微分方程，积分，边界条件定常数）应应 力力2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）8a. 微元体微元体如图如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度为组成，微元在轴线方向的长度为1单位。单位。b. 平衡方程平衡方程 02sin2ddrrdddrrdrrrdrdrrr（2-26）2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）图图2-15微元体平衡方程微元体平衡方程tpRR21薄壁薄壁微元平衡方程微元平衡方程。拉普拉斯方程拉普

6、拉斯方程/2dsin(d /2)9 图图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移厚壁圆筒中微元体的位移c. 几何方程几何方程 (应力应变）应力应变）2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）10c. 几何方程（续）几何方程（续）径向应变径向应变周向应变周向应变 变形协调方程变形协调方程rdddrdrrdrdrdrrrdrd1（2-27）（2-28）2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）11d. 物理方程物理方程zrzrrEE11（2-29）2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）12

7、e. 平衡、几何和物理方程综合平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程求解应力的微分方程将式（将式（2-28）中的应变换成应力）中的应变换成应力并整理得到：并整理得到：0322drddrdrrr2rBAr2rBA解该微分方程，可得解该微分方程，可得 的通解。将的通解。将 再代入式（再代入式（2-26）得得 。rr（2-33）2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）13边界条件为：当边界条件为：当 时，时， ； 当当 时，时， 。iRr irp0Rr 0pr由此得积分常数由此得积分常数A和和B为：为：2202002iiiRRRpRpA2202020ii

8、iRRRRppB2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）14周向应力周向应力径向应力径向应力轴向应力轴向应力22220202022020021rBArRRRRppRRRpRpiiiiii22220202022020021rBArRRRRppRRRpRpiiiiiirARRRpRpiiiz2202002（2-34）称称Lam（拉美）（拉美）公式公式2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）15仅受内压po=0仅受外压pi=0任意半径r处内壁处r=Ri外壁处r=Ro任意半径r处内壁处r=Ri外壁处r=Ror22211rR

9、Kpoiip0222211rRKKpio0op22211rRKpoi1122KKPi122Kpi222211rRKKpio1222KKpo1122KKpoz112Kpi122KKpo受力情况位置应力分析表表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值厚壁圆筒的筒壁应力值2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）当仅有内压或外压作用时，拉美公式可以简化，此时，厚壁圆筒当仅有内压或外压作用时，拉美公式可以简化，此时，厚壁圆筒应力值和应力分布分别如表应力值和应力分布分别如表21和图和图21716rzrz12Kipz0minriprmax121max2KKpi122minKpi0

10、minr0maxpr1220KKpz121min20KKp122max20KKp图图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布厚壁圆筒中各应力分量分布 (a)仅受内压仅受内压 (b)仅受外压仅受外压 =-2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）17rzrz 从图从图2-17中中可见，可见， 仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：周向应力周向应力 及轴向应力及轴向应力 均为拉应力（正值），均为拉应力（正值）， 径向应力径向应力 为压应力（负值）。为压应力（负值）。zr2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力

11、（续）弹性应力（续）18在数值上有如下规律：在数值上有如下规律：内壁周向应力内壁周向应力 有最大值，其值为：有最大值，其值为： 外壁处减至最小，其值为：外壁处减至最小，其值为： 内外壁内外壁 之差为之差为 ；径向应力内壁处为径向应力内壁处为 ，随着，随着 增加，增加， 径向应力绝对值径向应力绝对值 逐渐减小，在外壁处逐渐减小，在外壁处 =0；轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力 和的一半，即和的一半，即 1122maxKKpi122minKpiipiprrrz212.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性

12、应力（续）弹性应力（续）19除除 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。值有关。 以以 为例，外壁与内壁处的为例，外壁与内壁处的 周向应力周向应力 之比为：之比为： K值愈大不均匀程度愈严重，值愈大不均匀程度愈严重， 当内壁材料开始出现屈服时，当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，外壁材料则没有达到屈服， 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。因此筒体材料强度不能得到充分的利用。z1220KiRrRr2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）20二、温度变化引起的弹性热应力二、温度变化引起的弹性热应力

13、1. 热应力热应力2. 厚壁圆筒的热应力厚壁圆筒的热应力3. 内压与温差同时作用引起的弹性应力内压与温差同时作用引起的弹性应力4. 热应力的特点热应力的特点2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）21 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。所引起的应力，称为热应力。2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）（a）自由膨胀）自由膨胀 图图2-18热应变热应变222.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应

14、力（续）单向约束：单向约束：tEty（235）（b）单向约束）单向约束图图2-18热应变热应变23双向约束：双向约束：1tEtytx（236）2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）（c）双向约束）双向约束图图2-18热应变热应变24三向约束：三向约束：21tEtztytx（237）2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）同理，可求得三向约束时的热应力：同理，可求得三向约束时的热应力：在一维、二维、三维约束时，根据式（在一维、二维、三维约束时，根据式（235）式（式（2-37），图），图2-19给出了碳素钢在不同初

15、始温度给出了碳素钢在不同初始温度下，温度增加下，温度增加1 时的热应力值时的热应力值 ：刚性约束下，热应力比值（刚性约束下，热应力比值（0.3） ：三维三维 / 二维二维 / 一维一维= 2.50 / 1.43 / 1.000C252.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）图图2-19 碳素钢的热应力值碳素钢的热应力值26求厚壁圆筒中的热应力，首先确定筒壁的温度分布，再由求厚壁圆筒中的热应力，首先确定筒壁的温度分布，再由平衡平衡方程、几何方程方程、几何方程和和物理方程物理方程，结合结合边界条件边界条件求解。求解。当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度

16、场时，稳态当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：传热状态下，三向热应力的表达式为：（详细推导见文献（详细推导见文献1111附录）附录）2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）27（续）（续）12lnln2112 11lnln12 11lnln112 22222KKKtEKKKKtEKKKKtErtzrrtrrrt轴向热应力径向热应力周向热应力(2-38)2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）28厚壁圆筒各处的热应力见表厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， 表中表中12

17、tEPt厚壁圆筒中热应力分布如图厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。所示。2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）（续）（续）ott筒体内外壁的温差，筒体内外壁的温差，0tttiiRRK0rRKr0K 筒体的外半径与内半径之比，筒体的外半径与内半径之比，Kr 筒体的外半径与任意半径之比，筒体的外半径与任意半径之比，上式中：上式中：内壁面温度内壁面温度外壁面温度外壁面温度itot29热应力任意半径r处圆筒内壁KKr处圆筒外壁1rK处tr11lnln22KKKKtrrp00t11lnln122KKKKtrrP12ln122KKKtP12ln12KKtPtz

18、12lnln212KKKtrP12ln122KKKtP12ln12KKtP（a ） （b ）ORoRirRoRiOrrzttttzttr表表2-2 厚壁圆筒中的热应力厚壁圆筒中的热应力2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）30ORoRirRoRiOrrzttttzttr图图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布厚壁圆筒中的热应力分布 （a）内部内部加热；加热； （ b ）外部外部加热加热2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）31厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为：厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： 热应力大小与内外壁温

19、差成正比热应力大小与内外壁温差成正比 取决于壁厚，径比取决于壁厚，径比K值愈大值愈大 值也愈大，表值也愈大，表2-2中的中的 值也愈大。值也愈大。tttP热应力沿壁厚方向是变化的热应力沿壁厚方向是变化的2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）（续）（续）32,trrr,ttzzz（2-39）具体计算公式见表具体计算公式见表2-3，分布情况见图，分布情况见图2-21。2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）33表表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁

20、圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）总应力 筒体内壁处iRr筒体外壁处oRrrp0KKPKKPpttlnln11122KPKPpttln1122zKKPKPpttlnln211122KPKPpttln111234 （a）内加热情况；）内加热情况； （ b ）外加热情况外加热情况图图2-21 厚壁筒内的综合应力厚壁筒内的综合应力 2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）a.内加热情况RoRiOrb.外加热情况rORiRozrrz内内加热加热内压内压内内壁应壁应力改善力改善外外加热加热内压内压外外壁应壁应力改善力改善35a. 热应力随约束程度

21、的增大而增大热应力随约束程度的增大而增大b. 热应力与零外载相平衡，是自平衡应力热应力与零外载相平衡，是自平衡应力 （Self- balancing stress）c. 热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变 可使热应力降低可使热应力降低d. 热应力在构件内是变化的热应力在构件内是变化的2.3 厚壁圆筒应力分析厚壁圆筒应力分析2.3.1 弹性应力（续）弹性应力（续）362.3.1 弹性应力弹性应力37图图2-22 处于弹塑性状态的厚壁圆筒处于弹塑性状态的厚壁圆筒Rc弹性区塑性区塑性区Rc弹性区R0RiR0内压内压塑性区塑性区弹性区弹性区2.3.2 弹塑性应力弹

22、塑性应力2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力38描述弹塑性厚壁圆筒的描述弹塑性厚壁圆筒的几何与载荷参数几何与载荷参数：oocciiPRPRPR,;,;,本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力假设材料是的假设材料是的理想弹塑理想弹塑性性，其应力应变关系，其应力应变关系如图如图223所示所示2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）图图2-23 理想弹理想弹-塑性材料的塑性材料的 应力应力-应变关系应变关系391. 塑性区应力塑性区应力平衡方程：平衡方程：drdrrrMises屈服屈服失效判据：失效判据：sr32联立联立积分积分A

23、rsrln32iripRr:内壁边界条件，内壁边界条件，求出求出A后带回上式后带回上式iisrpRrln32（2-26）（2-40）（2-42）（2-41）带入带入（2-40）iispRrln132（2-43）iisrzpRrln2132（2-44）crcpRr:iicscpRRpln32（2-45）2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）40弹性区内壁处于屈服状态弹性区内壁处于屈服状态:sRrrRrcc32Kc=Ro/Rc表表2-1拉美公式拉美公式202203RRRpcsc（2-46）与与2-45联立联立导出弹性区与塑性导出弹性区与塑性区交界面的区交界面的

24、pi与与Rc的关系的关系)ln21 (3202iccsiRRRRp（2-47）（2-34）20222020222020231313RRrRRRrRRRcszcscsr若按屈雷斯卡（H. Tresca）屈服失效判据，也可导出类似的上述各表达式。各种应力表达式列于表 2-4 中 2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）412.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）MisesTrescarzicpR径向应力周向应力轴向应力与的关系rzicpR径向应力周向应力轴向应力与的关系应应 力力屈服失屈服失效判据效判据icrR 塑 性 区（

25、R）corR 弹 性 区（ R）2ln32(1ln)3(12 ln)3siisiisiirpRrpRrpRln(1ln)(0.5ln)siisiisiirpRrpRrpR2222222222(1)3(1)33scooscooscoRRRrRRRrRR2222222222(1)2(1)22scooscooscoRRRrRRRrRR22(12 ln)3sccioiRRpRR22(0 .5ln)2ccisoiRRpRR表表2-4 厚壁圆筒塑弹性区的应力（厚壁圆筒塑弹性区的应力（p0=0时）时）42当厚壁圆筒进入弹塑性状态后，卸除内压力当厚壁圆筒进入弹塑性状态后，卸除内压力pi 残余应力残余应力思考：

26、残余应力是如何产生的？思考：残余应力是如何产生的？卸载定理卸载定理卸载时应力改变量卸载时应力改变量 和应变的改变量和应变的改变量 之间存在着弹性关系之间存在着弹性关系 。E 图图2-24 卸载过程的应力和应变卸载过程的应力和应变 o 思考：思考：残余应力残余应力该如何计该如何计算？算？2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）43icciiccsRRRRrRRRRRrRRln211ln2132020220220icciiccsrRRRRrRRRRRrRRln211ln2132020220220icciiccszRRRRRRRRrRRln21ln23202202

27、20（2-49）2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）将表将表2-4中基于中基于Mises屈服失效判据的塑性区中的应力减去内屈服失效判据的塑性区中的应力减去内压引起的弹性应力，得塑性区（压引起的弹性应力，得塑性区（RirrRc）中残余应力为）中残余应力为4450)-(2 ln21132022022020icciicsrRRRRRRRRRrRicciicsRRRRRRRRRrRln21132022022020icociicszRRRRRRRRRln21322202202.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）将表将表2-4中

28、基于中基于Mises屈服失效判据的弹性区中的应力减去内屈服失效判据的弹性区中的应力减去内压引起的弹性应力，得弹性区（压引起的弹性应力，得弹性区（ Rc rrRo）中残余应力为）中残余应力为45200150100-100-150-2000011.753.0rz RiRcRo10575350-35-70-105-140-175-210-245-280rz 0Ri1Rc1.75Ro3.0塑性区弹性区a.加载时的应力分布b.卸载后的残余应力筒壁应力,MPa筒壁应力,MPa图图2-25 弹弹-塑性区的应力分布塑性区的应力分布2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）46

29、2.3.2 弹塑性应力弹塑性应力2.3.2 弹塑性应力（续）弹塑性应力（续）从图从图225中可以看出，在内压作用下，弹塑性区的应力中可以看出，在内压作用下，弹塑性区的应力和卸除内压后所产生的残余应力在分布上有明显的不同。和卸除内压后所产生的残余应力在分布上有明显的不同。不难发现，残余应力与以下因素有关：不难发现，残余应力与以下因素有关：a.应力应变关系简化模型应力应变关系简化模型b.屈服失效判据屈服失效判据c.弹塑性交界面的半径弹塑性交界面的半径472.3.3 屈服压力和爆破压力屈服压力和爆破压力（1）爆破过程）爆破过程OA：弹性变形阶段弹性变形阶段AC：弹塑性变形阶段：弹塑性变形阶段（壁厚减薄（壁厚减薄+材料强化）材料强化）C: 塑性垮塌压力（塑性垮塌压力（Plastic Collapse Pressure）容器所能承容器所能承 受的最大压力受