级(上)第13次课第三节高阶导数课件

1、上一页下一页返回第三节第三节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例三、小结三、小结上一页下一页返回一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx

2、 0上一页下一页返回记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf上一页下一

3、页返回二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.上一页下一页返回例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy ,

4、!n ) !()1( nyn. 0 上一页下一页返回例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)上一页下一页返回例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin(

5、x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得上一页下一页返回例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求为为常常数数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 上一页下一页返回2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnv

6、uvu )()()()2(nnCuCu )()()()()()()()()(!)()(!)()()(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 02111213莱布尼兹公式莱布尼兹公式上一页下一页返回例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex上一页下一页返回3.3.间接法间接法: :常用高

7、阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.上一页下一页返回例例7 7.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16

8、066 xx上一页下一页返回例例8 8.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn上一页下一页返回三、小结三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.上一页下一页返回第四节第四节 隐函数及由参数方

9、程所隐函数及由参数方程所确定的函数的导数确定的函数的导数 相关变化率相关变化率一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数四、小结四、小结上一页下一页返回一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数

10、求导法则直接对方程两边求导.上一页下一页返回例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 上一页下一页返回例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(

11、22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.上一页下一页返回例例3 3.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy上一页下一页返回二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,

12、)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu上一页下一页返回例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy 4ln21ln311lnln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设xx1)(ln 上一页下一页返回例例5 5

13、解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上一页下一页返回一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 上一页下一页返回三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定定的的函函数数

14、称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t上一页下一页返回),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中

15、在方程在方程 tytx上一页下一页返回,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即上一页下一页返回例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax上一页下一页返回.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即上一页下一页返回

16、例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt上一页下一页返回)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 上一页下一页返回例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 上一页下一页返回四、