级(上)第03次课第二节数列的极限课件

1、上一页下一页返回第二节第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限的定义一、数列极限的定义（一）概念的引入（一）概念的引入（二）数列的定义（二）数列的定义（三）数列的极限（三）数列的极限二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质上一页下一页返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS上一页下一页返

2、回2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1上一页下一页返回（二）数列的定义（二）数列的定义例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n上一页下一页返回注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是数列是整标

3、函数整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放上一页下一页返回问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.

4、1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:上一页下一页返回,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只要只要 Nn.1成成立立有有 nx上一页下一页返回如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N上

5、一页下一页返回x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 .:, 0, 0limaxNnNaxnnn使得使得 : 恒有恒有 :上一页下一页返回几点说明：几点说明： 是任意给定的，但一经给定，它就是任意给定的，但一经给定，它就是一个常数；是一个常数；如果存在如果存在N，则，则N不是唯一的。每个比不是唯一的。每个比N大的正整数都可充当定义中的大的正整数都可充当定

6、义中的N；N是与是与 关的正整数。给了一个关的正整数。给了一个 就找就找一个一个N；换一个；换一个 ，就再另找一个，就再另找一个N； 是指对于一切是指对于一切比比N大的序号大的序号n, 恒有恒有 axNnn axn上一页下一页返回1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而

7、无所失矣”刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割

8、，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥

9、少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽（一）概念的引入（一）概念的引入上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限

10、（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回（三）数列的极限（三）数列的极限上一页下一页返回例例1.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,恒成立恒成立 ,0 所以所以,0 , Nn.limCxnn 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同

11、一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 上一页下一页返回例例2. 0)1(1的的极极限限是是求求证证数数列列 nn, 0 ,1)1(01 nnxnn,1即即可可 n. 11 N于是可取于是可取要使要使只须只须分析：分析：证：证：, 0 , 11 N Nn: 11111110)1(1Nnnn. 0)1(lim nnn上一页下一页返回例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明分析：分析：, 0 ,0 nnnqqx,lnln qn. 1lnln qN 于是可取于是可取 10 q设设

12、qnqlnln, 0ln 要使要使只须只须 10 不妨认为不妨认为上一页下一页返回证证, 1lnln qN Nn :.0loglnln1lnln qqqqqqqqqNnn. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq, 10 q若若则由例则由例1，, 0 10 不不妨妨设设上一页下一页返回例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证, 0 .limaxnn 故故,limaxnn ,1aaxNnNn 时时恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从从而而有有aaxn a1 上一页下一页返回二、收敛二、收敛数列的性质数列的性质1.有界性有界性定定义义:

13、 对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数M, 使使得得一一切切自自 然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界, 否否则则, 称称为为无无界界. 例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界上一页下一页返回定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自

14、然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .上一页下一页返回2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.上一页下一页返回

15、3. 保号性保号性定理定理3 3 如果如果,limaxnn 且且0 a, 0 N则则,Nn 当当0 nx有有),0( a).0( nx证证0 a由定义由定义, 02 a ,时时当当Nn 对对, 0 N,2aaxn 有有 从而从而 nx2aa 2a . 0 推论推论 如果数列如果数列 nx从某项起有从某项起有0 nx),0( nx且且,limaxnn 那么那么0 a).0( a用反证法用反证法上一页下一页返回在数列在数列 中依次任意抽出中依次任意抽出无穷无穷多项多项: nx,21knnnxxx所构成的新数列所构成的新数列)(21 knnn其其下下标标knx这里这里 是原数列中的第是原数列中的第

16、项项,kn在子数列中是在子数列中是第第k项项,k4. 收敛数列与其子数列收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系间的关系knx的的nx子数列子数列.叫做数列叫做数列kn 上一页下一页返回*, axkn证证knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列. .若若,limaxnn 则则, 0 ,N ,Nn 当当 axn成立成立. .现取正整数现取正整数 K,使使,N 于是当于是当 k时时, 有有 knN 从而有从而有由此证明由此证明 .limaxknk *NNx定理定理4 4设数列设数列, 0 正整数正整数 K, axknKnKKnKnxKnKk 收敛数列的任一子数列收敛数列的任一子数

17、列收敛于同一极限收敛于同一极限. .上一页下一页返回 由此定理可知由此定理可知,但若已知一个子数列发散但若已知一个子数列发散, 或有两个子数列或有两个子数列敛于敛于a .nx12 kx2kx收敛于不同的极限值收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的可断定原数列是发散的.一般不能断定原数列的收敛性一般不能断定原数列的收敛性;还可以证明还可以证明:数列数列的奇子数列的奇子数列和偶子数列和偶子数列均收敛于同一常数均收敛于同一常数a 时时,则数列则数列nx也收也收仅从某一个子数列的收敛仅从某一个子数列的收敛(证明留作思考题证明留作思考题)上一页下一页返回例例5试证数列试证数列 不收敛不收敛. ncos证证 因为因为 的奇子数列的奇子数列 ncos不收