空间问题的基本解法课件

1、小小 结结基本方程与边界条件基本方程与边界条件1平衡微分方程（平衡微分方程（3个）个）00fijij f, 2几何方程（几何方程（6个）个）)(21,ijjiijuu)( uu21应变协调方程：应变协调方程：（由几何方程导出，不作为基本（由几何方程导出，不作为基本方程）方程）第七章第七章 空间问题的基本解法空间问题的基本解法3物理方程（物理方程（6个）个）ijijijG2IG2 0 共共15个方程，个方程，15个未知函数，在适当的边界条件个未知函数，在适当的边界条件下可求出下可求出iijiju,4边界条件边界条件1位移边界条件位移边界条件（第一类边值问题）（第一类边值问题）uSonuu 2应力

2、边界条件应力边界条件（第二类边值问题）（第二类边值问题）Sontn3混合边界条件混合边界条件（第三类边值问题）（第三类边值问题）边界边界SSSu iiuu ijijtn fiij平衡方程平衡方程ijit条件s本构关系本构关系几何方程几何方程iuiu静力学方面静力学方面几何学方面几何学方面条件us相应的解法有：相应的解法有：1按位移求解：按位移求解：表示用它量作为基本未知函数，其以iijijiuu, uuSSSS ,适用于：2按应力求解：按应力求解： ijij以作为基本未知函数，其它量用表示,适应于：S3混合解法：混合解法：作为基本未知函数同时以ijiu, 7-1 7-1 空间问题的位移解法空间

3、问题的位移解法 物理方程物理方程)(II uuuGG2直角坐标：直角坐标：)(,ijjiijkkijuuGu 代入平衡方程代入平衡方程 0fijij ,0fuuGuiijjjjiijkjk )(,得：0fG)u(uGij,jii20GG2fuu)( 拉梅拉梅(Lam)方程方程 )(,ijjiijkkijuuGu 边界条件边界条件 uSonuu SonGt)uu(I )u(nSontuuGnuiijjiikk)(,在直角坐标系中：在直角坐标系中：对于轴对称问题，求解方程成为对于轴对称问题，求解方程成为0)211()1 (20)211()1 (2222zrrrfwzEfruurE对于球对称问题，求

4、解方程成为对于球对称问题，求解方程成为 0)22()21)(1 ()1 (222rrrrfurdrdurdrudE7-2 7-2 位移势函数位移势函数当不计体力时，当不计体力时，Lam方程成为方程成为 如何求解？如何求解？0G)u(uGj,jii2引入位移函数引入位移函数, ,使方程变得简单使方程变得简单假设位移是有势的假设位移是有势的 ,ii2G1u 002GG2102GG21,i2,i2,i2,jji,i2从而有：从而有：为任意常数c,c20G)u(uGj,jii2特别的，取，则02 ,ijij 如果找到适当的调和函数 ,使得能够满足边界条件，就得到该问题的iiG21u， ijij,正确解

5、答。问题归结为问题归结为ijjiijijjiij2iiiiijijijG2121G21uu21G21G21uG2,)()(而此时轴对称问题轴对称问题 rGur21zGw21代入无体力的平衡方程中，得到：代入无体力的平衡方程中，得到： 0z0r22c2 取, 应为调和函数,此时： rzzrrrrzzrzr22222,1,问题归结为问题归结为如果找到适当的调和函数 ,使得 给出的能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。等,rrwu应当指出：并不是所有问题中的位移都是有势的， 如果位移势函数存在，如果位移势函数存在， 常数则 22G21c 表示体积应变在整个弹性体是常量，这种表示体积应变在整个弹性

6、体是常量，这种情况非常特殊，因而位移势函数所能解决的问情况非常特殊，因而位移势函数所能解决的问题极其有限。题极其有限。7-3 伽辽金位移函数伽辽金位移函数 来表示函数把位移矢量用一个矢量321eeek,kii2i)2(12G1u代入无体力的平衡方程中0uGuGjiji2,)(0i4运算后得到：k,kijj,ii,j2k,k2ijij)()(1， 于是，对于一般的空间问题，只须找到于是，对于一般的空间问题，只须找到三个恰当的重调和函数三个恰当的重调和函数 , 使得按上使得按上式给出的位移和应力能够满足边界条件，就式给出的位移和应力能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。得到该问题的正确解答。

7、特殊形式特殊形式 函数love00 ,在直角坐标系可表示为在直角坐标系可表示为)1 (221212122222zGwzyGvzxGu应力分量表达式为应力分量表达式为 )1()1()1()()(2222223222222222zyzxzyxzzyzxzzxyzxyzyx在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量的在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量的表达式为表达式为)1 (2211212122222zGwzrGurGur)1()1(1)()2()11()(22222232222222222zrzrrzrzzrrrzrzzrzrzr伽辽金位移函数不要求有势，求解范围广。7-4 空间问题的应力解法空间问题的应

8、力解法 应力解法以应力张量，即以应力解法以应力张量，即以6个个应力分应力分量量为基本未知函数。除了满足平衡微分方程为基本未知函数。除了满足平衡微分方程和应力边界条件以外，为了保证位移唯一存和应力边界条件以外，为了保证位移唯一存在，应力在，应力(或应变或应变)必须满足应变协调方程。必须满足应变协调方程。 0ee0klqijpiljk ,0,2,2ijjiijijijff111对上式进行缩并运算对上式进行缩并运算 02,222iiiif131102,2iif1)2(1iif11,2将物理方程代入，并利用平衡微分方程简化得到：将物理方程代入，并利用平衡微分方程简化得到：代入：将0)f(ff111j,

9、ii,jijn,n,ijij2称为密切尔（称为密切尔（Michell）方程。）方程。 iif11,2在体力为常量的情况下，在体力为常量的情况下，简化为简化为拜尔特拉密拜尔特拉密(Beltrami)方程方程 0)(1,ijij202)(1不变性型式不变性型式7-5 应力函数应力函数 按应力求解：当不计体力时，应力分量应满足：按应力求解：当不计体力时，应力分量应满足：0ij,j平衡微分方程0)(1,ijij2相容方程 仿照按位移求解引入位移函数的思路，仿照按位移求解引入位移函数的思路，引进引进应力函数应力函数，把应力用，把应力用应力函数应力函数表示，并表示，并使得平衡方程能自动满足。使得平衡方程能

10、自动满足。 按应力解法的弹性力学问题就转变为求按应力解法的弹性力学问题就转变为求解以应力函数表示的相容方程。当然，解得的解以应力函数表示的相容方程。当然，解得的应力还须满足应力边界条件和多连域的位移单应力还须满足应力边界条件和多连域的位移单值条件。值条件。 1.麦克斯威尔麦克斯威尔(Maxwel）应力函数）应力函数 321，xzyxzyxzyxzyzxzyzyxyx222122221223221232222232,则平衡方程恒满足，代入相容方程得到则平衡方程恒满足，代入相容方程得到 0)(0)(0)(0)(0)(0)(2221223222221222222223221222222223221x

11、z1zy1yxz11yzy11xzx11zy2.莫勒莫勒(Morera)应力函数应力函数 321，)(21,)(21,)(21,321323212232112zyxyyxzyxxxzzyxzzyzxzyzyxyx则平衡方程恒满足，代入相容方程得到则平衡方程恒满足，代入相容方程得到 0)(0)(0)(000232122321223212223222222222122yx11zyxzxz11zyxyzy11zyxxz11yxy11xzx11zy3.拜尔特拉密应力函数（一般形式）拜尔特拉密应力函数（一般形式） 自然满足平衡方程 nqmpjpqimnijee,1 00000000nqmpjpqimni

12、jee,yxxy2xy22y22x,，000 xzyzz ,，应力函数为平面问题的Airy特例特例2321000000nqmpjpqimnijee,2322nq3q13n13nq2q12n12nq1q11n11nqmppq1mn1xyzeeeeeeee ,Maxwell应力函数应力函数3000121323zyx122)(321zyxxyzMorera应力函数应力函数 nqmpjpqimnijee,7-6 叠加原理叠加原理 同一弹性体同一弹性体一样（同样的约束）uS简单荷载叠加复杂荷载作用2q1q)(21qq21 )(21qq21 1211uf )()( 11SVt2222 )()( ufSVt

13、21212121 )()( uuffSVtt则：如弹性体存在如弹性体存在齐次齐次约束条件约束条件证明证明 和 满足如下方程和条件 1u 1)()(0)(0)(12SnSVGGu11111tufuu 和 满足如下方程和条件 22u )()(0)(0)(22SnSVGGu22222tufuu将两式相对应的方程和条件相加，得将两式相对应的方程和条件相加，得 )()(n)(0)()(0)()()()(212SSVGGu2121212121ttuuffuuuu由上式可见，由上式可见， 和和 满足在体力满足在体力 和面力和面力 共同作用下的所有方程和条共同作用下的所有方程和条件，因此它们是两组荷载共同作用下的解答。件，因此它们是两组荷载共同作用下的解答。21uu 21 21ff 21tt 7-7 解答的唯一性解答的唯一性 弹性体处于平衡时，体内各点的应力、应变和位移时唯一的。反证反证 设在给定的荷载和位移边界条件下，解答设在给定的荷载和位移边界条件下，解答不唯一，即存在两组解不唯一，即存在两组解 222uu1 11考虑这两组解的差考虑这两组解的差21uuu