空间直线及其方程(9)课件

1、河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学 高等数学（上）高等数学（上）第八章 空间解析几何与向量代数河海大学理学院高等数学xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程第八节第八节 空间直线及其方程空间直线及其方程河海大学理学院高等数学xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向

2、量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程河海大学理学院高等数学pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程河海大学理学院高等数学例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在

3、直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 河海大学理学院高等数学因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx河海大学理学院高等数学解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx河海大学理学院高等数学定义定义直线直线:1L,111111pzznyy

4、mxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角河海大学理学院高等数学两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即21LL与与 重合重合 .,11211211

5、2212121pzznyymxxppnnmm河海大学理学院高等数学例例 3 3 求求过过点点)5, 2, 3( 且且与与两两平平面面34 zx和和152 zyx的的交交线线平平行行的的直直线线方方程程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程河海大学理学院高等数学例例 4 4 求求过过点点)3 , 1 , 2(M且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程.解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面

6、 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx河海大学理学院高等数学代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx另问另问:点点M与已知直线的距离与已知直线的距离?河海大学理学院高等数学定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzzny

7、ymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 河海大学理学院高等数学222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 L在在 内内 . 0)2(; 0)1(000DCzByAxCpBnAm河海大学理学院高等数学例例 5 5 设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.解解,2, 1

8、, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角河海大学理学院高等数学五五. 平面束方程平面束方程设直线 l ：1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)其中 A1, B1, C1与 A2, B2, C2不成比例，即1/2建立三元一次方程: : (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3).)( 为任意实数 河海大学理学院高等数学l ：1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2

9、 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2).)( 为任意实数 : (A1x+B1y+C1z+D1 ) +(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)考查直线 l 与平面 的关系：(1) 直线 l 上的任何点p(x, y, z)满足方程(1)、(2)，也满足方程(3)。故：方程(3)表示通过直线 l 的平面，且对于不同的 值，方程(3)表示通过直线 l 的不同平面。(2) 通过直线 l 的任何平面(除2以外)都包含在方程(3)的一族平面内。这是因为：对于直线 l 外任意一点p0(x0, y0, z0)若不在2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 上令：20202021010101

10、0DzCyBxADzCyBxA河海大学理学院高等数学l ： 1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1) 2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)p0(x0, y0, z0)过直线 l 与点 p0 的平面为:02222202020210101011111)DzCyBx(ADzCyBxADzCyBxA)DzCyBx (A故：对于直线l, 方程(3)包含了(除2外的)过直线l的全体平面。.)( 为任意实数 : (A1x+B1y+C1z+D1 ) + (A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)河海大学理学院高等数学定义：对于直线定义：对于直线 l , 通过通过 l 的平面的全

11、体称为平面束。的平面的全体称为平面束。对于直线 l : 1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)方程 (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)称为 l 的平面束方程(表示缺少一个平面2的平面束)河海大学理学院高等数学例例6:一平面通过直线 l : x + y z = 0 x y + z 1 = 0和点p0(1, 1, 1 )建立它的方程.解：解：过直线 l 的平面束方程为(x + y z ) + (x y + z 1) = 0 点p0(1, 1, 1 )在平面上，代入方程，得3 2 = 0, 23 所求平面为：(x + y z ) + (x y + z 1) = 0 23即：5x y + z 3 = 0 河海大学理学院高等数学例例7 .求直线 l : x + y 1=0, y + z + 1=0.在平面 : 2x + y + 2z = 0上的投影直线方程.解：解：设投影直线为l，则由l与l决定的平面