空间直线及其方程(30)课件

1、第六节第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程空间直线及其方程 第七章第七章 1 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111 DzCyBxA02222 DzCyBxA2 L因此其一般式方程因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，1n2n特点特点: :(1)直线直线L上的点是两平上的点是两平面的公共点面的公共点. . . , )2(21nLnL 2. 对称式方程对称式方程如果一个非零向量平行于一条已知直线如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向这个向量就叫做这条直线的量就叫做这条直

2、线的方向向量方向向量.直线上任一向量都平行于该直线的方向向量直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. ,),( ),( 0000完全确定了完全确定了的位置就的位置就直线直线已知时已知时一方向向量一方向向量和它的和它的上一点上一点当直线当直线LpnmszyxML 0MLxyzOs, ),( 的的任任一一点点上上是是直直线线设设LzyxM. 000pzznyymxx , / 0sMM则则),(),(0000pnmszzyyxxMM xyz 0M MLOs直线的对称式方程直线的对称式方程( (或或点向式点向式方程方程) ), 叫叫做做直直线线的的一一组组方方向向数数、的的坐坐标标pnms. 方方向向

3、余余弦弦的的方方向向余余弦弦叫叫做做直直线线的的s故故则则设设, 000tpzznyymxx .,000ptzzntyymtxx该方程组叫做该方程组叫做直线的参数方程直线的参数方程.3. 参数式方程参数式方程直线方程的互化直线方程的互化)( 000对称式方程对称式方程pzznyymxx )(, 0, 00000一一般般方方程程 pzzmxxnyymxx例例1. 用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点先在直线上找一点. . 043201 zyxzyx632 zyzy再求直线的方向向量再求直线的方向向量2,0 zy令令 x = 1, 解方程组解方程组, ,得得已

4、知直线的两平面的法向量为已知直线的两平面的法向量为是直线上一点是直线上一点 .)2,0,1( 故故.s, )1, 1,1(1 n)3,1,2(2 n21ns,ns 21nns 2 1 L2n1ns312111 21 kjinns ;32 , ,41 tztytx直直线线的的参参数数方方程程为为.32141 zyx直直线线的的对对称称式式方方程程为为kji 3 4 解题思路解题思路: 先找直线上一点先找直线上一点; ;再找直线的方向向量再找直线的方向向量. .2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 21, LL设直线设直线 两直线的夹角指其两直线的夹角指其

5、方向向量间的夹角方向向量间的夹角( (通常取通常取锐角锐角).).的方向向量分别为的方向向量分别为212121ppnnmm 212121pnm 222222pnm ),(, ),(22221111pnmspnms 1s2s coscos |2121ssss . , 2121 的夹角为的夹角为和和的夹角为的夹角为和和ssLL. 或者或者则则)( 1s 特别有特别有:21)1(LL 21/)2(LL0212121 ppnnmm212121ppnnmm 21ss 21/ ss222222212121212121cospnmpnmppnnmm 2L1L1s2s2L1L1s2s1222:13411:21

6、 zyxLzyxL和和).1,2,2();1 ,4, 1(2211 sLsL的的方方向向向向量量为为的的方方向向向向量量为为直直线线222222)1()2(21)4(1)1(1)2()4(21cos .4 例例2. 求直线求直线解解:那那么么的的夹夹角角为为和和设设直直线线,21 LL的夹角的夹角. .,22 2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面垂直时当直线与平面垂直时, ,规定其夹角规定其夹角当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时, ,.2 直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直线所夹锐角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角称为直线与平面间的夹角; ;)20( L L

7、 则则的夹角为的夹角为与与直线与平面的夹角为直线与平面的夹角为, , ns.2 2 或者或者)2cos(sin .222222pnmCBACpBnAm cos n)(nLs 设直线设直线 L 的方向向量为的方向向量为 平面平面 的法向量为的法向量为),(pnms ),(CBAn )( nsns 特别有特别有: : L)1( /)2(L0 pCnBmApCnBmA ns/ns n sLn sL LpCnBmA ns/解解: : 已知平面的法向量已知平面的法向量421 zyx故直线的对称式方程为故直线的对称式方程为0432 zyx直的直线方程直的直线方程. . 132 垂垂 ),1,3,2( nn

8、例例3. 求过点求过点(1,2 , 4)且与平面且与平面 0M3 3, ,1 1) ). .( (2 2, ,n ns ssL取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为 , ,即即 n例例4. 解解:. 523 152 34 的的直直线线的的方方程程），（交交线线平平行行且且过过点点的的和和求求与与两两平平面面 zyxzx因此所求直线方程为因此所求直线方程为.153243 zyx平平行行与与两两平平面面交交线线所所求求直直线线 0LL).34(kji . , 21nsnssL 满足：满足：的方向向量的方向向量直线直线21nns 1 2 0L1n2n0ML故可以取故可以取512401 kjis

9、.062241312的的交交点点与与平平面面求求直直线线 zyxzyx所求直线的参数方程为所求直线的参数方程为,24,3,2tztytx 代入平面方程中代入平面方程中,得得. 06)24()3()2(2 ttt. 1 t得得例例5.解解,中中值代入直线的参数方程值代入直线的参数方程把求得的把求得的 t所求交点的坐标为所求交点的坐标为即得即得. 2, 2, 1 zyx.12131)3 , 1 , 2(相相交交的的直直线线的的方方程程垂垂直直且且与与直直线线求求过过点点 zyx. 0)3()1(2)2(3 zyx已知直线的参数方程为已知直线的参数方程为.,21,31tztytx 再求已知直线与这平

10、面的交点再求已知直线与这平面的交点M(x, y, z).例例6.解解则这平面的方程应为则这平面的方程应为0MLL M作一平面过点作一平面过点 (2,1,3) 且垂直于已知直线且垂直于已知直线 ,L n,程程将参数方程代入平面方将参数方程代入平面方作作向向量量和和点点连连接接点点)73,713,72()3 , 1 , 2(0 MM)373, 1713, 272(0 MM故所求直线的方程为故所求直线的方程为.431122 zyx,73 t求得求得).73,713,72( M交点交点),4 , 1, 2(76 0MLL Mn. 0的一个方向向量的一个方向向量是所求直线是所求直线则则LMM通过直线的平

11、面束方程通过直线的平面束方程01111 DzCyBxA02222 DzCyBxA设直线设直线 L一般式方程一般式方程为为1 2 L1n2n, 0)( 222111 zCyBxAzCyBxA .,222111不不成成比比例例与与其其中中系系数数CBACBA建立三元一次方程建立三元一次方程.为为任任意意实实数数其其中中 通过直线通过直线L的平面束方程的平面束方程.001, 01上上的的投投影影直直线线的的方方程程在在平平面面求求直直线线 zyxzyxzyx的的平平面面束束的的方方程程为为过过直直线线 01, 01zyxzyx, 0)1()1( zyxzyx , 0)1()1()1()1( zyx即

12、即.为待定常数为待定常数其中其中 垂直的条件是垂直的条件是该平面与平面该平面与平面0 zyx例例7.解解, 01)1()1(1)1( , 01 即即. 1 由此得由此得, 0222 zy所以投影平面的方程为所以投影平面的方程为投影直线的方程为投影直线的方程为 . 0, 01zyxzy. 01 zy即即方程为方程为设过已知直线的平面束设过已知直线的平面束. 04)1(5)1( zyx即即故故角角所求平面与已知平面成所求平面与已知平面成,4.,401284,0405求求此此平平面面方方程程成成角角且且与与平平面面一一平平面面过过直直线线 zyxzxzyx,64161)1(5)1(| )8()1()

13、4(51)1( |4cos222 例例8.解解, 0)4(5 zxzyx .222729|279| 2 即即.43 . 912 经经整整理理得得. 012720 zyx故故所所求求平平面面方方程程为为1. 空间直线方程空间直线方程一般式一般式对称式对称式(点向式点向式)参数式参数式 0022221111DzCyBxADzCyBxA tpzztnyytmxx000pzznyymxx000 )0(222 pnm 内容小结内容小结 ,1111111pzznyymxxL ：直线直线0212121 ppnnmm,2222222pzznyymxxL ：212121ppnnmm 2. 线与线的关系线与线的关

14、系直线直线夹角公式夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021 ss21LL 21/ LL021 ss2121cosssss , 0 DzCyBxACpBnAm 平面平面 :L L / 夹角公式：夹角公式：0 CpBnAm sin,000pzznyymxx 3. 面与线间的关系面与线间的关系直线直线 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0 nsnsns L)1,2,1(A,11231:1 zyxLiL设直线解：解：12:2 zyxL相交相交, ,求此直线方程求此直线方程 .一直线过点一直线过点 且垂直于直线且垂直于直线 又和直线又和直线思考题思考题:O设所求直线与设所求直线与的交点为的交点为12000zyx0000,2yzyx利用所求直线与利用所求直线与L2 的交点的交点 .即即2L),(000zyxB则有则有2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式代入上式 , 得得由点法式得所求直线方程由点法式得所求直线方程而而) 1, 2, 1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返