空间曲线及其方程(41)课件

1、1 1一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影8.4 空间曲线及其方程22.0),(0),(的一般方程为曲线则称方程组CzyxGzyxFxozy1S2SC一、空间曲线的一般方程.0),(0),(CzyxGzyxF它们的交线为是两个曲面的方程，和设特点：特点：曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程；不在曲线上的点不方程；不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程. .3例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx表示

2、上述平面与圆柱面的交线表示上述平面与圆柱面的交线.4例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.5 )()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程6设动点从设动点从A点出发，经过点出发，经过t t时间，到时间，到M M点点. . A MM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间t为参数，解解xyzo7螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还

3、可以写为 bzayaxsincos),( vbt 8三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 0),(0),(zyxGzyxFxyzo.,垂垂足足所所构构成成的的曲曲线线上上各各点点向向坐坐标标面面作作垂垂线线从从曲曲线线C准准线线投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线 投影曲线：9如图如图: 投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面10:投影曲线方程的求法设空间曲线的一般方程设空间曲线的一般方程 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH称之为曲线关于称之为

4、曲线关于xoy 面面 的的投影柱面投影柱面空间曲线在空间曲线在xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线 00),(zyxH11类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 0),(0),(zyxGzyxF12例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx13所以

5、在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z14例例5 5 求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面 02 zyx 的的截截线线在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解15（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx16补充补充: : 空间

6、立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面17例例6.)(342222面上的投影锥面所围成，求它在和面设一个立体，由上半球xoyyxzyxz解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去18面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在xoy. 122 yx19.1072平面的投影的交线在轴旋转的曲面与平面绕求曲线例xoyzyxzxyz:解解22yxz旋转曲面方程为交线为122zyx

7、yxz面的投影柱面的方程：关于xoy122yxyx：面上的投影曲线的方程在xoy023)21()21(22zyx20空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结四、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT21思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 222与与抛抛物物柱柱面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.22思考题解答思考题解答,22222 zxzxy交

8、线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx23一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲面曲面zyx10922 与与yoz平面的交线是平面的交线是_；2 2、 通过曲线通过曲线162222 zyx, ,0222 yzx，且，且 母线平行于母线平行于y轴的柱面方程是轴的柱面方程是_；3 3、 曲线曲线01, 0332322 zyzxyzzx在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、 方程组方程组 3215xyxy在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_；5 5、 方程组方程组 319422yyx在平面解析

9、几何中表示在平面解析几何中表示_ _ _，在空间解析几何中表示，在空间解析几何中表示_；练练 习习 题题246 6 、旋旋转转抛抛物物面面22yxz ( (40 z) ) 在在xoy面面的的投投影影为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在yoz面面的的投投影影为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在zox面面上上的的投投影影为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、二、 画出下列曲线在第一卦限的图形：画出下列曲线在第一卦限的图形：1 1、 0422yxyxz2 2、 222222azxayx三三、 将将曲曲线线 xyzyx9222化化为为参参数

10、数方方程程25四、四、 求螺旋线求螺旋线 bzayaxsincos在三个坐标面上的投影曲线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程的直角坐标方程 . .五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz , , 柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所围成的立体，在所围成的立体，在xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影 . .26一、一、1 1、 09102xzy； 2 2、1623 ,1632222 zxzy；3 3、 0032422yxzx；4 4、两直线的交点、两直线的交点, ,两平面的交线；两平面的交线；5 5、椭圆与其一切线的交点、椭圆与其一切线的交点, ,椭圆柱面椭圆柱面19422 yx与与其切平面其切平面3