68多元函数微分学习题课

1、第六章第六章 多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有

2、定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的的偏导数，记为偏导数，记为7 7、偏导数概念、偏导数概念同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxf

3、y.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oybxaz ，其中，其中 a,b 不依赖于不依赖于yx ,而仅与

4、而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，ybxa 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分，记为全微分，记为dz，即，即 dz=ybxa .、全微分概念、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导1010、全微分的应用、全微分的应用,),(),(yyxfxyxfdzzyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小时时当当,yx 主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误

5、差估计.1111、复合函数求导法则、复合函数求导法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有连续偏导数，则复合函数数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数

6、，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .小结一小结一:二重极限的计算方法二重极限的计算方法: :1 1 夹逼准则夹逼准则. .2 2 利用有界与无穷小的乘积仍是无穷小利用有界与无穷小的乘积仍是无穷小. .3 3 作变量代换化为一元函数的极限形式作变量代换化为一元函数的极限形式.证明二重极限不存在的方法证明二重极限不存在的方法: :1 1 取某一路径取某一路径, ,极限不存在极限不存在. .2 2 取两条不同路径取两条不同路径, ,极限存在但

7、不相等极限存在但不相等. .小结二小结二:小结三小结三:,.,.3( , , ),.yxzzxyzffzzxfyfzzxydf x y zf dxf dyf dzozzxy 由一个方程确定的隐函数的求导法:1 公式法:f(x,y,z)确定了z=z(x,y),则2 解方程法:方程两边同时对x或者y求导,由复合函数求导法则解出微分法:得到1414、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zztyytxxt (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:

8、tztytx ()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线. 0),(: zyxf 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx 1515、方向导数、方向导数.),(),(lim0 yxfyyxxflf 的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lppl

9、pyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为定理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxp是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那末函数在该点沿任意方向 l l 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 l l 的转角的转角.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义（ 其中其中222)()()(zyx ）定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 d 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一

10、点dyxp ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxp的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .梯度的概念梯度的概念 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方而它的模为方向导数的最大值梯度的模为向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系1616、多元函数的极值、多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00

11、yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有

12、极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令ayxfxx ),(00，byxfxy ),(00，cyxfyy

13、 ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 bac时有极值，时有极值， 当当0 a时有极大值，时有极大值， 当当0 a时有极小值；时有极小值；（2 2）02 bac时没有极值；时没有极值；（3 3）02 bac时可能有极值时可能有极值. .求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值cba、.第三步第三步

14、 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxf ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值二、典型例题二、典型例题例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限

15、求极限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等价于等价于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故( , , ),( , ),( , ),( ),.uf x y z zg x yyh x tdutxdx例3 设求22222222sin(),0( , )0,0( , )(0,0)xyxyxyf x yxyxyf x y例2 设函数讨论在的可微性.2,.yztxzuuue dtxy例4 已知求和 35,1,1,1,11(1,1)2,(1,1)3,( ,( , ).( )1.zf x yf

16、ffxf x f x xxydx xdx例 设函数在点处可微 且求32226(-cos )(1sin3),axyyx dxbyxx ydyab例 已知为某二元函数的全微分 则 和 的值分别为多少?2222222212,.xyuvxyuvuuvvxxxx例7 从方程组中求例例8 8解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfx

17、xfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设设 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显然显然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),()

18、,()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu试求试求且且所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 的的函函数数都都看看成成是是以以及及将将方方程程组组的的变变元元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入解解?,),(0000222222模模此方向导数等于梯度的此方向导数等于梯度的具有什么关系时具有什么关系时的方向导

19、数，问的方向导数，问的向径的向径处沿点处沿点在点在点求求cbarzyxmczbyaxu 例例5 5 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 处的方向导数为处的方向导数为在点在点 m coscoscos0mmmmzuyuxuru 002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处的梯度为处的梯度为在点在点 mkzujyuixugradummmm ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgradum ,时时当当cba ,

20、22222000zyxagradum ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxarum ,0mmgraduru .,模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例6 6解解.2261,022,),(22 zyxddzyxpyxzzyxp的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxz

21、yxp),()22(61),(222yxzzyxzyxf 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxfyzyxfxzyxfzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(2250-24(1)(1, 2),?(2)?(3)?(4)?vxy例1 设某金属板上的电压分布为在点处 沿哪个方向电压

22、升高得最快沿哪个方向电压下降得最快上升或下降的速率各为多少沿哪个方向电压变化得最慢222222xyzabc例2 试求正数 的值,使得曲面xyz= 与曲面+=1在某一点相切.,1212112212例3 某厂家生产一种产品同时在两个市场销售,售价分别为p 和p ,销售量分别为q 和q需求函数分别为q =24-0.2p ,q =10-0.5p ,总成本c=35+40(q +q ),试问厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得总利润最大?最大利润为多少?222222,12 ,.xya bxyyab例4 试求的值 使得椭圆包含圆并且面积为最小一、一、 选择题选择题: :1 1、 二元函数二元函数22221

23、arcsin4lnyxyxz 的定义的定义 域是域是( ).( ). （a a）4122 yx； （b b）4122 yx； （c c）4122 yx； （d d）4122 yx. . 2 2、设、设2)(),(yxyxxyf , ,则则 ),(yxf( ).( ). （a a）22)1(yyx ； （b b） 2)1(yyx ； （c c） 22)1(xxy ； （d d） 2)1(yxy . .测测 验验 题题 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (a) 0 (a) 0 ； (b) 1 (b) 1 ； (c) 2 (c) 2 ； (d) (d) e . . 4 4

24、、函数、函数),(yxf在点在点),(00yx处连续处连续, ,且两个偏导数且两个偏导数 ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在该点可微在该点可微 的的( ).( ). （a a）充分条件）充分条件, ,但不是必要条件；但不是必要条件； （b b）必要条件）必要条件, ,但不是充分条件；但不是充分条件； （c c）充分必要条件；）充分必要条件； （d d）既不是充分条件）既不是充分条件, ,也不是必要条件也不是必要条件. . 5 5、设、设),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 则在原点则在原点)0 , 0(处处),(yxf( ).( )

25、. (a) (a)偏导数不存在；偏导数不存在； (b) (b)不可微；不可微； (c) (c)偏导数存在且连续；偏导数存在且连续； (d) (d)可微可微 . . 6 6、设、设),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二阶连续偏具有二阶连续偏 导数导数. .则则 22yz( ).( ). (a) (a)222yvvfyvyvf ； (b) (b)22yvvf ； (c) (c)22222)(yvvfyvvf ； (d) (d)2222yvvfyvvf . . 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成的四面体的体积 v=

26、( ).v=( ). (a) (a) 323a； (b) (b) 33a； (c) (c) 329a； (d) (d) 36a. . 8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是( ).( ). (a) (1,2) (a) (1,2)； (b) (1.-2 (b) (1.-2 ) )； (c) (-1,2) (c) (-1,2)； (d) (-1,-1). (d) (-1,-1). 9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的条件极值是的条件极值是 ( ).( ). (a) 1 (a) 1 ； (b) 0 (b) 0 ；

27、 (c) (c) 61 ； (d) (d) 81 . . 10 10、设函数、设函数),(),(yxvvyxuu 在点在点),(yx的某邻的某邻 域内可微分域内可微分, ,则则 在点在点),(yx处有处有 )(uvgrad( ).( ). .)(;)(;)(;)(graduvdgradvucgraduvgradvubgradvgradua 二、讨论函数二、讨论函数33yxyxz 的连续性，并指出间断点类型的连续性，并指出间断点类型. .三、求下列函数的一阶偏导数三、求下列函数的一阶偏导数: : 1 1、yxzln ； 2 2、),(),(yxzxyzxyxfu ； 3 3、 000),(2222222yxyxyxyxyxf . .四、设四、设),(zxfu , ,而而),(yxz是由方程是由方程)(zyxz 所所 确的函数确的函数, ,求求du . .五五、设设yxeuyxuz ),(, ,其其中中f具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导 数数, ,求求yxz 2. .六、六、 设设uvzveyvexuu ,sin,cos, ,试求试求xz 和和yz . .七、七、 设设x轴 正 向 到 方 向轴 正 向