矿大高数85隐函数的求导公式课件

1、10),(. 1 yxF一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式)(xyy ?dxdy如何求如何求第五节 隐函数的求导公式2:公公式式推

2、推导导0),(yxF)(xyy 0)(,(xyxFFxyx:求导求导0dxdyyFxFyxFFdxdy3例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时

3、1 y的的函函数数)(xfy 4函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy5解解 令令则则,arctan)ln(21),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 6:另解另解求导求导两边对两边对x222221yxyyx2211xyxyxy)(dxdy.xyyx7隐隐函函数数存存在在定定理理 2 2 设设函函数数),(zyxF在在点点,(0 xP ),00zy的的某某一一邻邻域域内内有有连连续续的的偏偏导导数数，

4、且且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，则则方方程程,(yxF 0) z在在点点),(000zyxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),(yxfz ，它它满满足足条条件件),(000yxfz ， 并并有有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),(. 2 zyxF),(yxzz ?,yzxz如如何何求求8:公公式式推推导导,),(0zyxF),(yxzz ,),(,(0yxzyxFFxyzxy求求导导将将上上式式分分别别对对yx,0 xzFFzxzxFFxz0yzFFzyzyFFy

5、z9解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx :另解另解求求偏偏导导对对x0422xzxzzx,zxxz210.)2()2(322zxz 2)2(2)2(zzxxz 2)2()2(zxzxz )(xzxxz22)(zxx211思路：思路：解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 12xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(vufz , zyxu ,xyzv 13整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),

6、(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(vufz , zyxu ,xyzv 14例例5解：解：记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .15 xz例例6. 设具有连续偏导数 , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF. zd解法一解法一 . 设是由方程 ),(yxfz 0),(zyzxFzxFFxz yz212FyFxFz211FyFxFzydyzxdxzzd求1F 1F)(2zx 2F)(2zy2F

7、确定)(2121ydFxdFFyFxz的隐函数 , 则z1z1 1F)(2zx 2F)(2zy16解法二解法二. . 对方程两边微分 1F)(2121ydFxdFFyFxzzd)(2zzdxxdzzdzFyFx221zydFxdF21例例6. .设 具有连续偏导数 , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF. zd求)(2zzdyydz)(zxd 2F0)(zyd 1F 2F017 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形),(),(yxvvyxuu?,yvxvyuxu如如何何求求1800),(),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu00),(),(,(),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF求求偏偏导导方方程程组组对对x00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvuxxvxu,求偏导求偏导方程组对方程组对yyvyu,19解解 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导求导x,00 xvxvxuyxvyxuxu解得解得,22yxyvxuxu 22,vyuxvxxy20将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 218例例.,sindzduzyxzyxxyu求求且且10222:解解求求导导方方程程组组对对z