不定积分的求解及相关应用

1、不定积分的求解及相关应用目录摘要一 引言二 不定积分的求解方法及所对应例题解析 （一）基本公式法（直接积分法） （二）逐项积分法、因式分解法 （三）“凑”微分法（第一类换元法） （四）第二类换元法（参变量积分法） （五）分部积分法 （六）有理函数的积分 （七）其他类型的积分举例 三 解不定积分的一般步骤四 不定积分的应用举例（一） 在几何中的应用（二） 在物理中的应用（三） 在经济学中的应用参考文献致谢【摘要】不定积分常见的计算方法在本科阶段可以归纳为七大类以及某些特殊不定积分的求解方法，如：基本公式法（直接积分法）、逐项积分法+因式分解法、换元积分法（第一类换元法和第二类换元法）、分部积分法

2、、有理函数的积分以及一些特殊函数的积分技巧与方法（三角函数有理式与简单无理函数的积分），并将结合实际例题加以讨论以便于解不定积分题目既能快捷又方便的寻找出最佳的解题方法。（英文摘要，暂略）【关键词】 不定积分 基本公式法 换元积分法 分部积分法 有理函数的积分 三角函数有理式与简单无理函数的积分（英文关键词，暂略）一 引言定积分的思想在古代就已荫芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。直到牛顿一莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进一步发展做出了巨大的贡献。在初学定积分时，学生学习的困难较大，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生

3、的学习提供了方便，拓展了学生的思维。20世以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。不定积分是数学分析中的一个重要内容，是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础。牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的求

4、解方法对于学习这些后续内容是非常重要的。同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以当今学生们解决不定积分的题目普遍觉得困难，即便最后解决了题目，可能也走了许多弯路。最后若能从“弯路”中总结不定积分的求解方法，那么那些“弯路”都是有价值的，但是若只求结题，事后不思考、总结，那就是在浪费时间，也逐渐减少了学生对学习数学的热情。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面针对一些常见函数的不定积分的各种求解方法进行分类归纳，希望能提供一种简便的有效途径使得大学生具备解决不定积分题目的便捷能力和基本素质。定义1

5、如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一,都有或,那么函数就称为（或）在区间上的原函数。原函数存在定理 如果函数在区间上连续，那么在区间上存在可导函数，使对任一都有，即连续函数一定有原函数。定义2 函数在区间的所有的原函数称为函数的不定积分，表为 （，C为积分常数）, 其中称为积分符号，x称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，C称为积分常数。在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是这一函数的全体原函数，它的几何意义是一族平行的积分曲线，简称为积分曲线族。例如：，而；，而；，而.也就是说：和是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书

6、写计算结果时一定不能忘记积分常数。二 不定积分的求解方法（一）基本公式法（直接积分法）既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表：、,其中k是常数. .、，其中是常数，且.、,.、,其中.、.、.、当我们看到所求不定积分已经对应了公式中的某一条，如 ，则用公式法求解。在实际问题中，一般不是很简单，需将原题通过其他方法进行变换，从而满足基本积分表再计算。例如：. 例2.1.1 计算.解：原式 说明：为任意的常数，因此可用一个常数C来表示。以后对于一个不定积分，只要在积分结果后面所得的式子中写上一个积

7、分常数即可，后面的就不一一说明了。例2.1.2 计算.解：原式 例2.1.3 计算.解：原式 基本公式法只能计算比较简单的不定积分，或者是稍做变形就可以用基本积分表解决的不定积分，对于其他有点复杂的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。（二） 逐项积分法、因式分解法逐项积分法和因式分解法是由不定积分的两大性质而得。由不定积分的定义可以推得它有以下两个性质： 性质1 在区间上，设函数,都有原函数,那么函数也有原函数（其中是常数），并且 .性质2 设函数的原函数存在，k为非零常数，则. 利用不定积分的这两个性质，可以将复杂积分的多项式分解为几个单项式，然后利用基本积分公式进行计算。

8、例如， 不过，这一积分方法的更有助于带有三角函数的积分求解，借助三角函数恒等式，可将高次函数降幂，化成容易积分的形式。故我们见到两个因式相乘除、高次三角函数积分时，要首先考虑用这种方法。下面举例说明。例2.2.1 求. 解：原式例 2.2.2 求.解：原式 例 2.2.3 求.解：原式 （三）“凑”微分法(第一类换元法）换元积分法是利用复合函数的求导法则而推得的，可分为两种即“凑”微分法（第一类换元法）和第二类换元法。下面讨论第一类换元法。如果不定积分用基本公式法不易求得，但被积函数可化为 且设的原函数，即，令，且，则可将有关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有这就是第一换元积分公式。第一

9、类换元法又叫“凑”微分法是因为：在解题过程中，为被积函数的中间变量凑一个微分，从而达到换元解题的目的。当被积函数为复合函数时，首先考虑这种方法，因为我们可以为复合函数的中间变量“凑”微分达到解题目的。若复合函数中间变量的微分显然存在于被积函数中，如的被积函数中“sin2x”是一个复合函数，“2”恰好是中间变量“”的微分，那么就有 令代入，即得.若复合函数中间变量的微分并没有存在于被积函数中，则需要凑一个微分。例如，被积函数，.这里缺少这样一个因子，但由于是一个常数，故可改变系数来凑出这个因子：从而令，便有 一般可用“凑微分”法解的题型较多，方法也很灵活，但也有规律可循，按基本初等函数类型进行总

10、结，常见题型有：、 、 、下面举例说明：例2.3.1 求.解： 原式例2.3.2 求. 解： 不难看出上述题型都是中间变量的微分已经存在于被积函数中的类型，但是有时也需进行一定的变形才能发现。例2.3.3 求解：原式 对于中间变量的微分未存在于题干中的题目，我们可以通过乘以因式再除以因式的方法“凑”出微分。例2.3.4 求.解：原式例2.3.5 求.解：原式 例2.3.6 计算.解法一：解法二：虽然这两种解法所得的结果只是形式上的不同，但经过验证均为的原函数。（四）第二类换元法（参变量积分法）将积分中的x适当地选择变量代换，将积分化为积分即：可是这公式的成立需要一定条件：首先，等式右边的不定积

11、分要存在，即有原函数；其次，求出后必须用的反函数代回去，为了保证该反函数存在而且是单值可导的，我们假定直接函数在t的某一个区间（这区间和所考虑x的积分区间相对应）上是单调的、可导的，并且则有其中是的原函数。由此可见，第二类换元法的换元与回代过程和第一类换元法是正好相反。在被积函数是复合函数时，有很多的中间变量的微分是无法用第一类换元法“凑”出来的，这就要用第二类换元法。第二类换元法的换元形式十分多变，真正做到灵活运用需要积累很多经验。以下是几个常用的换元方法：三角代换1 被积函数含有根式，令2 被积函数含有根式，令 被积函数含有根式，令倒代换根式代换被积函数含有第二类换元积分的解题关键在于找准

12、代换关系。下面举例说明。例2.4.1 求.解：令，故有，得.则 例2.4.2 求.解：令，故.则 应用三角形法则回到原变量，由作直角三角形（如图1），可得a（图1）xt，于是例2.4.3 求不定积分（a>0）.解：令，则，所以有例2.4.4 求不定积分（a>0）解：令，则，所以有回代，得对于某些被积函数，若分母中含有因子时，可做倒代换，即令，从而可得积分。一般在有理函数中分母的阶数较高时常使用到倒代换法。如下面的例子例2.4.5 求不定积分解：令，则，所以有例2.4.6 求不定积分.解：令，则，故有 当被积函数中含有时，可令；其中k为m,n的最小公倍数。这也就是根式代换法。（五）分

13、部积分法现在我们利用两个函数乘积的求导法则，来推导出另一个求积分的基本方法分部积分法。分部积分法是一种常用的积分方法。设函数及具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式是移项，得 对这个等式两边分别求不定积分，得 （2.5.1）或 （2.5.2）称（2.5.1）或（2.5.2）为分部积分公式。说明：分部积分法的关键是和的选取，其一般要求是（）要比易求（）要容易求出.根据此要求在下表中给出了在几种常见的分部积分类型中相应的和的选取方法：积分类型、的选择（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,的选择随意（9）,的选择随意注：表中a,b,k均为常数，为x的n次多项式。下面三种情

14、况可以用分部积分法求解：1 当被积函数是幂函数，三角函数，指数函数，对数函数中任意两个的乘积时，首先考虑用分部积分法。2 当求有困难，而求比较容易时可用分部积分法。3 公式右端的积分中会重新出现与所求积分相同的积分，将该相同的积分移到左端合并，可用分部积分法求得其解。下面列举一些使用分部积分法的例子。例2.5.1 求解：令，则，故有例2.5.2 求解： 设，则，.故有例2.5.3 求.解：令，故有 分部积分公式还可以推导积分递推式，例如例2.5.4 计算，其中（ n>1是正整数 ）解： 令，则，所以得所以有注：上例推导出了一个递推公式，只要是重复利用该递推公式，则的偶次幂最终将递推到1，

15、奇数幂则最终将被递推到，而1和可以积出来，因此利用上式递推公式可以积分的任意正整数幂。由上面这些例子，对于分部积分法的u和dv的选择可以总结出以下规律：优先考虑取为u的函数的顺序为“反对幂三指”，即按反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数和指数函数的先后顺序优先选择函数作为u，积分式其余部分则凑为dv .（六）有理函数的积分 利用多项式的除法，总可以将一个假分式化为一个多项式和一个真分式之和的形式，例如：.设，分别是n次和m次多项式，即则称是一个有理函数。如果，则称是有理假分式；如果，则称是有理真分式。 任何一个有理假分式，再把分解为若干个部分分式之和。（对于部分分式的处理可能会比较复杂，若出

16、现时，则用递推公式：），这里是一个次多项式，可见，有理函数的积分主要是真分式的积分。例2.6.1 求不定积分.解：因为 所以例2.6.2 求解：因为再逐步积分有所以积分结果为例2.6.3 求.解：因为，所以（七）其他类型的积分举例1 三角函数有理式的积分 三角函数有理式就是对常数和三角函数进行有限次四则运算得到的表达式。由于各种三角函数都可以用和的有理式表示，故三角函数的有理式也就是和的有理式，记作,其中表示两个变量的有理式。在求解这类函数时，经常用到万能公式，即万能公式：例2.7.1 求.解：设，有，则例2.7.2 求.解：设，有，则 变量代换对三角函数有理式的积分都可以应用事实上，经变换后

17、，有.即化为的有理函数的积分，但化出的有理函数的积分在很多情况下万能公式的计算较繁，应尽量避免。因此这种代换不一定是最简捷的代换。例2.7.3 求.解：令， 2 无理函数的积分举例在求无理函数的积分时常将某个根式另作新的变量，然后利用换元积分进行积分。这里，我们只讨论及这两类函数的积分，其中表示两变量的有理式。例2.7.4 求.解：为了去掉根号，可以设.于是，从而所求积分为 例2.7.5 求.解：为了去掉根号，不妨设，于是 故 三 解不定积分的一般步骤在拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述八种解题类型的哪一种。排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进一步筛选，直到留下两种或两种以下的解题

18、方法后，再进行尝试。若用某种方法解题时，无论怎样都解不出答案，那么可先检查自己有没有运算错误，或者是否选错了方法。1. 直观型用“基本公式法”2. 被积函数是多个因式相乘除的用“逐项积分法，因式分解法”、“第一类换元积分法”、“第二类换元积分法”、“有理函数的积分”。3. 被积函数带有某个函数微分的用“第一类换元积分法”、“分部积分法”。4. 被积函数为无理函数的首先考虑“第一类换元积分法”、“第二类换元积分法”。5. 被积函数是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，首先考虑用“分部积分法”。 总之，上面所介绍的不定积分的求解方法都是常用到的一些方法，在应用时要根据被积函数的

19、结构特点采取合适的方法，而要做到灵活应用积分方法需要我们去多做些练习来增长做题经验，这样解题时才能够得心应手。不定积分虽然有很多题型，但是解题的方法离不开上述七种，只要掌握了上述八种，任何不定积分的问题都可迎刃而解。四 不定积分的应用举例（一）在几何中的应用案例l 【曲线方程】设曲线通过点(1，2)，且曲线上任一点处的切线斜率等这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。解 设所求曲线方程为，依题意，曲线上任一点处的切线斜率为即是的一个原函数。的不定积分为 因此必有某个常数使，即曲线方程为曲线族中的某条。又所求曲线通过点(1，2)，故，于是所求曲线为（二）在物理中的应用案例2【结冰厚度】美丽的冰城常年积雪，滑冰场完全靠自然结冰，结冰的速度由（为常数）确定，其中是从结冰起到时刻时冰的厚度，求结冰厚度关于的函数。解 根据题意，结冰厚度关于时间的函数为其中常数由结冰的时间确定。如果时开始结冰的厚度为0，即代入上式得。这时为结冰厚度关于时间的函数。案例3 【电流强度】 一电路中电流关于时间的变化率