高中数学 第一章 集合 1.1 集合的含义及其表示优化训练 苏教版必修1

1、1.1 集合的含义及其表示5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.试用适当的方法表示下列集合.（1）24的正约数；（2）数轴上与原点的距离小于1的所有点；（3）平面直角坐标系中，、象限的角平分线上的所有点；（4）所有非零偶数；（5）所有被3除余数是1的数.思路解析：用列举法或描述法表示集合.无限集一般用描述法表示；当有限集中的元素个数不多便于枚举时，采用列举法表示.答案：（1）1，2，3，4，6，8，12，24；（2）x|x|1；（3）（x，y）|y=x；（4）x|x=2k，kz，k0或x|z且x0；（5）x|x=3k+1，kz .2.用符号或填空.(1)3.14_q，0_n，_z，(-1)0

2、_n；(2)2_x|x<，3_xx4，+_xx2+；(3)3_xxn2+1，nn，5_xxn2+1，nn；(4)(-1，1)_yyx2,(-1,1)_(x,y)yx2.思路分析:理解符号的意义，正确判断元素与集合之间的关系.解: (1) (空集不含任何元素)(2)2，34，=，故填,.(3)令n2+1=3，n±2，nn.令n2+15，n±2，2n，故填,.(4)(因为yyx2中元素是数，而(-1，1)代表一个点),故填,.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面

3、内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中所有的难题；(3)方程x4+x2+20的实数根；(4)图中阴影部分内所有的点(含边界上的点).思路解析:考查集合中元素的三条性质及有限集、无限集、空集的概念.解:(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合:描述法:(x,y)|y=-x;图示法:如图中直线l上的点.(2)不是集合.“难题”的概念是模糊不确定的，实际上一道所谓的数学难题是“难者不会，会者不难”，因而这些难题不能构成集合.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用

4、描述法表示为:或者xrx4+x2+2=0.(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点).图本身也可看成图示法表示，我们还可用描述法表示这个集合:(x,y)-1x2，-y2，且xy0.2.下面有四个命题：集合n中的最小元素为1；方程（x-1）3（x+2）（x-5）=0的解集含有3个元素；0；满足1xx的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是( )a.0 b.1 c.2 d.3思路解析:集合n表示自然数集，最小的自然数是0，故不对；据集合中元素的互异性知方程（x-1）3（x+2）（x-5）=0有3个不同的解，分别是1、-2、5，所以对；空集不含有任何元素，因此错

5、；1xx表示x可以为任意实数，对.答案: c3.（1）实数a、b满足关系_时，集合a=x|ax+b=0是有限集；（2）a、b满足关系_时，集合a=x|ax+b=0为无限集；（3）a、b满足关系_时，集合a=x|ax+b=0为空集.思路解析:（1）集合a=x|ax+b=0是有限集，即方程ax+b=0有有限个解，即x=-存在.因此a0，br.（2）集合a=x|ax+b=0是无限集，即方程ax+b=0有无限个解.a=b=0.（3）集合a=x|ax+b=0为空集，即方程ax+b=0无解.a=0，b0.答案:(1)a0，br (2)a=b=0 (3)a=0，b04.下面有四个命题：若-an，则an；若a

6、n ，bn，则a+b的最小值是0；x2+4=4x的解集可表示为2，2；高一（6）班个子较高的学生可构成一个集合.其中正确命题的序号是_.思路解析:n是自然数集，-an ，则an 不正确；x2+4=4x的解集为2，单元素集；个子较高的学生是不确定的.只有正确.答案:5.已知a=2,x,b=xy,1,若a=b,则x+y=_.思路解析:两个集合相等,则两个集合的元素完全相等,则有x=1,xy=2,将x=1代入xy=2得y=2.x+y=3.答案:36.已知集合apx2+2(p-1)x+1=0,xr，求一次函数y2x-1，xa的取值范围.思路解析:关键是理解集合a中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x

7、的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.解:由已知4(p-1)2-40,得p2或p0,所以app2或p0.因为xa，所以x2或x0.所以2x-13或2x-1-1.所以y的取值范围是yy-1或y3.快乐时光道破天机 父亲心血来潮,测试儿子:“宝贝,你晓得什么话能一语道破天机吗?” “爸爸,”儿子很快回答:“天气预报!”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下面六种表示法：x-1，y=2；(x,y)x=-1,y=2；-1，2；(-1，2)；(-1，2)；(x,y)x-1或y2.能正确表示方程组的解集的是( )a. b.c. d.思路解析:由于此方程组的解是因而写成集合时，应表示成一

8、对有序实数(-1，2).集合既非列举法，又非描述法.集合表示由-1和2两个数组成的集合.是一个点.中的元素是(-1，y)或(x,2)，x、yr是一个无限集，以上均不合题意.答案:c2.已知x、y、z为非零实数，代数式的值所组成的集合是m，则下列判断正确的是( )a.0m b.2m c.-4m d.4m思路解析:分四种情况讨论:x、y、z中三个都为正，代数式值为4；x、y、z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x、y、z中一个为正，两个为负，值为0；x、y、z都为负数时，代数式值为-4.选d.答案:d3.已知集合s=a，b，c中的三个元素可构成abc的三条边长，那么abc一定不是( )a.锐角三

9、角形 b.直角三角形c.钝角三角形 d.等腰三角形思路解析:由集合元素的互异性，知a、b、c各不相同.选d.答案:d4.已知x1，2，x2，则x=_.思路解析:由集合的定义可求，分别设x1，2，x2，再求解即可，但要注意的是求出的根不能违背集合元素的互异性.答案:0或25.若1x|x2+px+q=0，2x|x2+px+q=0，求p、q的值.思路解析:考查集合中元素的确定性，首先注意集合的代表元素，然后看元素的特点.由已知两集合中的元素分别为一元二次方程x2+px+q=0的解，最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解.解法一:1x|x2+px+q=0，2x|x2+px+q=0，1，2都是方程x2

10、+px+q=0的解，即1，2都适合方程，分别代入方程，得-得3+p=0.p=-3.代入，得q=-（p+1）=2.故所求p、q的值分别为-3，2.解法二:1x|x2+px+q=0，2x|x2+px+q=0，1和2都是方程x2+px+q=0的解.由根与系数的关系知故所求p=-3，q=2.6.设s=x|x=m+n，m、nz .（1）若az，则a是否是集合s中的元素?（2）对s中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1·x2是否属于s?思路解析:考查集合与元素的关系.要正确理解集合的表示形式.解:（1）a是集合s的元素，因为a=a+0×s.（2）不妨设x1=m+n，x2=p+q，m

11、、n、p、qz.则x1+x2=（m+n）+（p+q）=（m+n）+（p+q），m、n、p、qz.x1+x2s，x1·x2=（m+n）·（p+q）=（mp+2nq）+（mq+np），m、n、p、qz.x1x2s.综上，x1+x2、x1·x2都属于s.7.已知集合a=xax22x1=0，ar，若a中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素.思路解析:弄清集合元素的特征和元素与集合的关系，应用等价转化和分类讨论思想.分类时，要注意不重不漏.形如ax2+2x+1=0的方程要注意的是当a=0时为一个一次方程.这里集合a为单元素集，即方程ax2+2x+1=0有唯一解或两个相等的

12、实数解.由于此方程二次项的系数不确定，所以要对a分类讨论.解:对a分类讨论:a=0时，x=-；a0时，=4-4a=0，所以a=1，此时x=-1.8.已知集合a=1，a，b，b=a，a2，ab，且a=b，求实数a、b.思路解析:根据集合以及集合相等的概念，分别列出两个集合中可能相等的元素，得到方程后要验证所求值是不是符合要求，主要看是否符合元素的互异性.解法一:由集合元素的互异性观察a=1，a，b，知a1，b1.a=b，a2=1或ab=1.当a2=1时，a1，a=-1.此时，a=1，-1，b，b=-1，1，-b.那么b=-b，即b=0.当ab=1时，即a=，此时a=1，b，b=，1.那么b=，即

13、b=1.b1，ab=1时无解.故a=-1，b=0.解法二:a=b，即由集合元素的互异性，有a1，a0.解方程组，得a=-1，b=0.9.设集合a=xz，xn ，试用列举法表示集合.思路解析:由z，可见3-x必为6的因数，则对此遍取6的诸因数，然后再验证.解:z，3-x可取±1、±2、±3、±6.又xn，a=0,1，2，4，5，6，9.10.观察下面三个集合,回答下面问题：x|y=x2+1；y|y=x2+1；（x，y）|y=x2+1.（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？思路解析:此题考查集合的概念，两个集合相同，要求两个集合中的元素都要相同，元素相同就要求元素的种类、属性和数量都要相同.判断集合是不是相同，要看集合的元素是不是相同.解:（1）不是相同的集合.（2）集合是函数y=x2+1的自变量x所允许取到的值组成的集合，因为x可以取任意实数，所以x|y=x2+1=r；集合是函数y=x2+1的所有函数值y所允许取到的值组成的集合，由二次函数图象知，y1，所以y|y=x2+1=y|y1；集合是函数y=x2