北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编

1、学习必备欢迎下载最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、 b 的最大公因数记作（a、 b），如果（ a、b） =1，则 a、 b 互质。2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b 的最小公倍数可以记作a、b，当（ a、 b）=1 时， a、b=a× b。3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（ a、 b）× a、 b = a

2、 × b二、方法篇短除法（最大公约数）（ 1）必须每次都用 n 个数的公约数去除；（ 2）一直除到 n 个数的商互质（但不一定两两互质） ；（ 3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。短除法（最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1 以外的公约数后，在用 n1个数的公约数去除，除到n1个数没有除1 以外的公约数后，再用n2 个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质为止；（ 3） n 个数的最小公倍数即为短除式中，所

3、有除数和最后两两互质的商的乘积。辗转相除法（最大公约数）设两数为a、 b(a>b ），求a 和b 最大公约数(a ， b）的步骤如下：用b 除a，得a÷b=q.r1(0 r1 ）。若r1=0 ，则（ a，b)=b ；若 r1 0，则再用r1除 b，得 b÷ r1=q.r2(0r2 ） . 若 r2=0 ，则（ a， b)=r1 ，若除为止。其最后一个非零除数即为（ PS: 求几个数的的最大公因数可以用r2 0，则继续用r2 除 r1 ，如此下去，直到能整a， b）。列举法 、分解质因数法、断除法、辗转相除法等方法。三、例题全解例 1、求 2520、 14850、819

4、 的最大公约数和最小公倍数。（用因数分解法）学习必备欢迎下载例 2、求 36、108、 126 的最大公约数和最小公倍数。（用短除法）例 3、用辗转相除法求4811 和 1981 的最大公约数。试一试1、求 35、98、 112 的最大公约数和最小公倍数。（用因数分解法）2、求 403、 527、 713 的最大公约数和最小公倍数。（用短除法）3、用辗转相除法求2597 和 7049 的最大公约数。例 4、有一位男同学要整理三种厚度分别为 30 毫米、 24 毫米和 18 毫米的一堆书， 他只能将厚度相同的书叠在一起， 叠成高度一样的三叠， 使书得高度尽可能小。 这样的整理共用了多少本书？试一

5、试1、甲、乙、丙三人到图书馆去借书， 甲每 6 天去一次， 乙每如果 3 月 5 日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是8 天去一次， 丙每月9 天去一次，日。学习必备欢迎下载例 5、有三根铁丝， 长度分别是 120 厘米、 180 厘米和 300 厘米 . 现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例 6、 加工某种机器零件，要经过三道工序 . 第一道工序每个工人每小时可完成第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？3 个零件，5 个，要使加例 7、一次会餐供有三种饮料.

6、 餐后统计，三种饮料共用了65 瓶；平均每2 个人饮用一瓶A饮料，每3 人饮用一瓶B 饮料，每4 人饮用一瓶C饮料 . 问参加会餐的人数是多少人？例 8、设 a=36， b=54，证明（ a，b）× a ， b=a × b。例 9 、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？试一试1、设 a=108， b=720，证明（ a， b）× a ， b=a ×b。例 10、现有 4 个自然数，它们的和是 1111, 。如果要使这 4 个数的公约数尽可能大，那么，这 4 个数的公约数最大是多少？。学习必备欢迎下载试一试1、现有

7、三个自然数， 它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？2、有很多方法可以将2001 写成 25 个自然数（可以相同，也可以不相同）的和。对于每一种分法，这25 个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数最大值是多少？例 11、某自然数，它可以表示成 9 个连续自然数的和， 又可以表示成 10 个连续自然数的和，还可以表示成 11 个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？四、知识巩固1、用一个数去除30、 60、 75，都能整除，这个数最大是多少？2、 一个数用 3、 4、 5 除都能整除，这个数最小是多少？3、 求 1008、 1260 、882

8、和 1134 四个数的最大公约数是多少？4、求 21672 和 11352 的最小公倍数。学习必备欢迎下载5、甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？6、一块长方形地面，长120 米，宽 60 米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？7、已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31. 求这两个自然数。8、兄弟三人在外工作，大哥6 天回家一次，二哥8 天回家一次，小弟12 天回家一次 . 兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？9、将长 25 分米，宽20 分米，高15 分米的长

9、方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？10、一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1 的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183 千克 . 求一个地雷的重量？课后选看1、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商为12，若甲、乙两数差为18，这两学习必备欢迎下载个数分别是多少？解：设最大公约数为X ,甲为AX ,乙为BX根据两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12 得A×B=12根据甲乙两数的差是18 得 (A-B)X=18可知A、 B只能为3、4 得X=18所以两数分别为54 和72。2、

10、在一根长的木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10 等份，第二种将木棍分成 12 等份，第三种刻度线将木棍分成15 等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？解：最小公倍数问题。10， 12， 15 的最小公倍数是60。把这根木棍的1/60 作为一个长度单位，这样：木棍10 等份的每等份长6 个单位； 12 等份的每等份长5 单位； 15 等份的每等份长4 单位不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9， 11，14( 相应于 10，12， 15等分) ，共计34 个。（ 10， 12，15） 60，设木棍 60 厘米 60÷10 6 厘米， 60÷12 5 厘米， 60÷15 4 厘米10 等分的为第一种刻度线，共1019 条12 等分的为第二种刻度线，共12 1 11 条15 等分的为第三种刻度线，过15 1 14 条第一种与第二种刻度线重合的（ 6， 5） 30，60÷30 1 2 1 1 条第一种与第三种刻度线重合的（ 6， 4） 12，60÷12 1 5 1 4 条第二种与第三种刻度线重合的（ 5， 4） 20，60÷20 1 3 1 2 条三种刻度线重合的没有， （ 6、 5、4） 60因此，共有刻度线9 11 14 1 4 2 27 条，木棍总共被锯成27 1 28 段。由于