勾股定理笔记要点

1、学习必备欢迎下载勾股定理基础知识汇总一、已经学过的有关直角三角形中的边4.勾股数的几种表达方式角关系C(1).2n1,2n22n, 2n22n 1（毕达哥拉斯）ba(2) n21,2n,n21（柏拉图）hADcB(3) m2n2 , 2mn, m2n2 （丢番图）请探究上述三个表达式， 思考下列问题1两锐角之间的关系：AB90o（1）你能从勾股数2.边与高的关系：abch3,4,5； 5,12,13； 7,24,25；归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾3.边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30°角股数有何特征？所对的直角边等于斜边的一半；4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

2、。二、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜（2）柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？边的平方。即 a2b2c2与你已经学过的哪些公式有关联？三、勾股定理逆定理如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。四、勾股数组1.如果三个正整数a, b, c 满足关系 a2b2c2，那五、勾股定理应用（ 1）学习过勾股定理之后三角形的特殊关系么 a, b,c 叫做勾股数。Ao，那么 a : b : c1: 3:2如果302.勾股数的性质Ao，那么 a : b : c1:1:2如 果 a, b, c 是 勾 股 数 ， k 为 正 整 数 ， 那 么如果45如果

3、 a, b,c 是直角三角形的三条直角边，那么以 aka, kb, kc 也是勾股数+ b， c + h， h 的长为边的三条线段能组成直角三角思考：勾股数的定义中有何限制？形3.常用勾股数：如果 a, b,c 是直角三角形的三条直角边，那么以3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；1， 1， 1 的长为边的三条线段能组成直角三角形abh（ 2）藤绕树问题的解法学习必备欢迎下载我国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，

4、底面周长为3 尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处则问题中葛藤的最短长度是尺FEFADADEcHGHcbGBCBbaaCFEDbEFaADAcHcHGGb（ 3）长方体盒子对角线的长度公式FEAD六、典型例题HG例 1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理， 创制了一幅“弦图”， 后人称其为“赵爽弦图” （如图（ 1），图（ 2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形BCABCD 、正方形 EFGH 、正方形 MNKT 的面积分别为 S1、 S2、 S3若正方形 EFGH 的边长为2，则 S1+S2+S3=【答案】 12（ 4）蚂蚁最短路径问题公式

5、2.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两学习必备直角边长分别是a，b ，斜边长为 c 和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（ 1）画出拼成的这个图形的示意图（ 2）证明勾股定理3.（ 1）如图 1 是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式；（ 2 ） 如 图2 ，Rt ABC RtCDE，B D 90 ，且 B，C，D 三点共线试证明 ACE90 ；abAbEacacbBb CaD图 1图 2（ 3）伽菲尔德（ Garfield ， 1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图 2 证明了勾股定理 （ 1876年 4 月 1 日，发表在新英格兰教

6、育日志上） ，现请你尝试该证明过程4.问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明欢迎下载方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言定理表述请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述） ：（ 3 分）cAccaaBE abb（图 1）（图 2）尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础， 可以构造出以 a、b为底， 以 a b 为高的直角梯形 （如图 2）请你利用图 2，验证勾股定理； （ 4 分）知识拓展利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明

7、ab其证明步骤如下：2cBC ab ， AD又在直角梯形 ABCD 中有 BCAD（填大小关系） ，即ab2 （3 分）c5.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形DbC学习必备欢迎下载（ 1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边22如x1，x 3形的名称；P x，0 是 x 轴上一点，（ 2）如图，将 ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转图，建立平面直角坐标系，点212 可以看成点P 与点 A 01， 的距离，60°得到 DBE ，连接 AD，DC ，CE，已知 DCB=30 °则x 0求证： BCE 是等边三角形；

8、x322 可以看成点P与点 B3，2的距离，2求证： DC 2+BC2=AC2，即四边形 ABCD 是勾股四所以原代数式的值可以看成线段PA 与 PB 长度之和，边形它的最小值就是 PAPB 的最小值PA设点 A 关于 x 轴的对称点为APA，因此，则求 PA PB 的最小值，只需求PA PB 的最小值，而点A B间的直线段距离最短，所以PA PB的、最小值为线段AB 的长度为此，构造直角三角形ACB ，因为 A C=3，CB=3 ，所以 AB3 2 ，即原式的最小值为 32 根据以上阅读材料，解答下列问题：（ 1）代数式x21x2219 的值可以看成平面直角坐标系中点P x，0与点 A 11， 、点B _ 的距离之和 （填写点 B 的坐标）（ 2）代数式x249x212x37 的最小值为_ 6.在 ABC 中， BC=a,AC=b,AB=c，设 c 为最长边当a2+b2=c2 时， ABC 是直角三角形；当 a2+b2 c2 时，利用代数式 a2+b2 和 c2 的大小关系，探究 ABC 的形状 (按角分类 )(1) 当 ABC 三边长分别为6,8,9时， ABC 为_ c2；当 ABC 三边长分别为6,8,11 时，ABC为 _ 三角形 (4 分 )(2) 猜想：当 a