八年级数学竞赛培优专题01整式的乘除

1、专题01整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下 5个公式：am an am n, (am)n amn, (ab)n anbn, mnmn0p1,-、a a a (a 0)， a 1(a0)， a p(a 0).a学习指数运算律应注意：1.运算律成立的条件；2 运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3 运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是:1.将被除式和除式按照某字母的降幕排列，如有缺项，要留空位；2 .确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3 .演算到余式为

2、零或余式的次数小于除式的次数为止.例题与求解【例11 (1)若n为不等式n200 6300的解，则n的最小正整数的值为 .(华罗庚杯”香港中学竞赛试题)(2) 已知x2 x 1，那么x4 2x3 x2 2x 2005 .(华杯赛”试题)2 6 12 11 2(3) 把(x x 1)展开后得ax厲必 L a?xa°，贝ya12 a10 a8 a6 a4 a2 a° .(祖冲之杯"邀请赛试题)(4)若x5 3x47x36x2 2x 9 (xa)(x b)(xc)(x d)(xe)则abac adaebcbd be cdce de .(创新杯训练试题)解题思路：对于(1

3、),从幕的乘方逆用入手；对于(2),目前无法求x值，可考虑高次多项式用低次 多项式表示；对于(3),它是一个恒等式，即在 x允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值 法；对于(4),可考虑比较系数法.1 1【例2】已知25x 2000 , 80y 2000 ,则一等于()x yC.-（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：11 x yx, y为指数，我们无法求出x, y的值，而，所以只需求出x y,xy的值或x yxy它们的关系，于是自然想到指数运算律.【例3】设a,b,c,d都是正整数，并且 a5.4 3b ,c2d ,c a 19，求d b的值.（江苏省竞赛试题）解题思路：设a5 b4

4、m20,c3 d26n，这样a,b可用m的式子表示，c,d可用n的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度.【例4】已知多项式2x2 3xy 2y28y 6 (x 2y m)(2x y n),的值.解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法.【例5】是否存在常数p,q使得x4 px2 q能被x2 2x 5整除？如果存在，求出 p,q的值，否则请说 明理由.解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据被除式=除式x商式”，运用待 定系数法求出p,q的值，所谓p,q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解.【例6】已知多项式2x4

5、3x3 ax2 7x b能被X x 2整除，求的值.（北京市竞赛试题）b解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用.本题关键是能够通过分析得出当x 2和x 1时，原多项式的值均为 0，从而求出a,b的值.当然本题也有其他解法.能力训练A级24231. （1） 4（ 0.25）1 .（福州市中考试题）（2）若a2n 3，则2a6n 1 .（广东省竞赛试题）2. 若 2x 5y 3 0 ,贝U 4xg32y.3满足（x 1 ）200 3300的x的最小正整数为 .（武汉市选拔赛试题）23454. a,b,c,d都是正数，且a 2,b3,c4,d5，则a,b,c,d中，最大的一个是 .（“

6、英才杯”竞赛试题）5探索规律：313，个位数是3;329，个位数是9;3327 ,个位数是7； 3481，个位数是1;35 243，个位数是3; 36 729，个位数是9;那么37的个位数字是 , 330的个位数字是（长沙市中考试题）6.已知a31 81 ,b4127 ,c961 ,则a,b,c的大小关系是（）A .ab cB.acbC. a b cD. b c a7.已知a255,b344,c33 .5 ,d226 ,那么a,b,c,d从小到大的顺序是（)A .ab cdB.ab dcC. b a c dD. ad b c（北京市“迎春杯”竞赛试题）&若x2n12*,y 2n12“

7、2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（)A .x4yB .y4xC . x 12yD. y 12x（江苏省竞赛试题）A .2ba cB.2b a cC. 2ba cD.a b c（河北省竞赛试题）10.化简2n4 ”232") 得()2(2n 3)n11n 17A .2B.2C.D.8411.已知axby 7, ax2by249, ax3 by3133, ax4by4406 ,9已知 2a3,2b6,2c12,则a, b,c的关系是（)试求 1995(x y) 6xy (a b)的值.2(2x 3y b)(3xy c）.试确定a,b, c的值.2 212.已知 6x 7xy 3y

8、14x y a13已知x3 kx2 3除以x 3，其余数较被x 1除所得的余数少2,求k的值.（香港中学竞赛试题）1已知 2a 3,4b 5,8e 7,则8a =002. (1)计算:00205100（第16届"希望杯”邀请竞赛试题）(2)如果454545 453535355555556565656565652 22n，那么n（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3.（ 1）1516与 3313的大小关系是 15163313 （填、” “”亠”）.2000320012001332002的大小关系是:200033200120013 (填“”).232（“希望杯”邀请赛试题），则 16b 4

9、d4如果 x x 1 0,则 x 2x3 =554325.已知(x 2) ax bx ex dx ex9.已知a1 , a2 , a3 ,La1996 , a1997均为正数，M(a1a2耳996 ) St a2a3a1997 ),（“五羊杯”竞赛试题）6.已知a,b,e均为不等于1的正数,且a 2b3e6,则abe的值为( )A .3B.2C.1D .12(“ CASIO杯”武汉市竞赛试题）37.若x2.x x 10 ,则x 2726 |xLx1 1x2 xL2627 上xx 的值是（)A .1B.0C.1D.2&如果32x ax bx8有两个因式x 1和x2，则ab()A .7B.

10、8C .15D.21（奥赛培训试题）N a2La1997)g(a2a3L印996），则M与N的大小关系是（)A. MNB . M NC.M ND .关系不确定210 .满足(nn1)n21的整数门有（）个A . 1B . 2C. 3D . 411.设 a,b,x,y 满足 ax by 3,ax2 by23347,ax by 16, axby442,求 ax5 by5 的值.12.若 x, y, z, w为整数，且 x y z w , 2x 2y2z 2w|，求(x y z w 1)2010 的值.(美国犹他州竞赛试题)13 已知a, b,c为有理数，且多项式 x3 ax2 bx c能够被x2(

11、1 )求4a c的值；(2 )求2a 2b c的值；(3)若a,b,c为整数，且c> a 1 .试比较a,b,c的大小.3x 4整除.(四川省竞赛试题)答案专题01整式的乘除例 1(1)(n2)100>(63)100, n2 > 216, n 的最小值为 15 .=2004原式=x2(x2 + x) + x(x2 + x) 2(x2+ x) + 2005 = x2+ x 2 + 2005 (3) 令 x= 1 时,a12+ an + a10+ a2+ a1+ a0= 1,令 x= 1 时，a12 -an + ai0+ n2 ai+ a。= 729由 + 得：2(a12+ ai

12、0+ a8+ a2 + a。) = 730.二 a12 + a10 + a8 + a6 + a4 + a2+ a。= 365.所有式子的值为x3项的系数，故其值为 7.例 2 B 提示：25xy = 2 000y,80xy = 2 000x,X，得：(25X 80)xy= 2000x+ y,得：x+ y= xy.例 3 设 a = m4,b =m5,c= n2,d =n3,由c a = 19 得，n2 m4= 19,即(n +m2)(n m2) = 19,因 19 是n+ m2 = 19质数，n + m2, n m2是自然数，且 n+ m2>n m2，得，解得 n= 10, m = 3，

13、所以 d b = 103n m2 = 135 = 757例 4 7提示：由题意知：2x2 + 3xy 2y2 x+ 8y 6= 2x2 + 3xy 2y2+ (2m + n)x+(2n m)y+ mn .82m + n = 12n m = 8 ，解得mn= 6m= 2n = 3m3 + 1n2 1倒5提示：假设存在满足题设条件的p, q 值，设(x4 + px2 + q)= (x2 + 2x+ 5)(x2 + mx+ n),即m + 2= 0p = 6q = 25x4 + px2+ q = X4+ (m + 2)x3+ (5 + n+ 2m)x2+ (2n + 5m)x+ 5n，得 2二贮=P

14、，解得5n = q故存在常数p, q且p= 6, q = 25,使得x4 + px2 + q能被x2+ 2x+ 5整除.例 6 解法 1/ x2 + x 2 = (x + 2) (x 1),2x4 3x3 + ax2 + 7x+ b 能被(x+ 2)(x 1)整除，设商是 A.贝V 2x4 3x3 + ax2 + 7x+ b = A(x+ 2)(x l),则x= 2和x= 1时，右边都等于 0，所以左边也等于 0.当 x= 2 时，2x4 3x3 + ax2 + 7x+ b = 32 + 24 + 4a 14 + b= 4a + b+ 42= 0,当 x= 1 时，2x4 3x3 + ax2

15、+ 7x + b= 2 3+ a+ 7+ b = a+ b+ 6= 0.，得 3a + 36= 0,. a= 12,b = 6 a= 6.ab解法x22x25x(a9)2x43x3ax27xb2x42x34x25x3(a4)x27xb5x35x210x(a9)x23xb(a9)x2(a9)x2(a9)(12a)xb2(a 9)x2126 = 2列竖式演算，根据整除的意义解/ 2x4 3x3 + ax2 + 7x+ b 能被 x2 + x 2 整除,醫爲0=0,即 b=612a，b = 21 . (1) 5(2)532. 84. 66 . A 7. D 提示：a= (25)11, b (34)1

16、1,0寸"Ld + LXCXI L HZ.OH L +z. L 寸 H L ZQ + L d + L d 寸 9L J ZCXI+;cxl+XCXIoHM.oHe+M 懸<99厂 懸觀Mo+MAe+ZAe+AAe+x.蠢觀只Mmazaaax. 99L J z+:cxl+;cxl+;cxle8 m<叵曰W0OZJAq 宦 0089 H (8e )x9L + Aq xes s 889 H ( Aq+exe) AX + ( Aq+xe) mm 9 9(寸L )XCXI寸 H (A+x) ( A q+ xe )ec<寸 H > q + x effi 寸 寸 4 4 4

17、 ooe iAX寸LHA+X e丘0曲 0 (A+X)9L "Ax 卜+CXI寸 (A+x)9 L H ( A q 十 x e)AX + (vq+bxe )(A + x)9 L Hvq + Jxq + Axe + bxes(a+x)9lh (A+x)("Aq+gxe)e9LHeAq+ % 丑 (A+x)卜 HAXe+9L. (A+x=(Aq+xe)AX (>.q + exe)(A+x=H "Aq+vxq+PXB "xes(A+XHA+x)GAq +、e)e<H q+zxe 丑 二 n- OL0AZ66LELE nN hiai XZ66LE+S

18、X+x_e h X(Z66 LE +x + le) hnX卜 66 LE 十卜 66LELP+ZX+XLE H (卜 66LE+x) (X + Le) H XH 966LP + "E+ZE 怒谆啤 06 n-00卜 Lp 池 eQHoqe.OHq eoHeeea丑-10 6 d+lHX 令-底啤CXILg 9 寸寸 AsV (L)o l?(L) d 6gCXIL - 祭8X J。%怒 A S9CXIH eLCXIg A eog J9CXIHSL9L V 000ICXI9 十厂 0007100) "¥疤 1( L9卫e心十乂 HCXI+ 寸cxl±6 曲 z+>IHZeL NX 令寸CXI±6H2 NX 令 M+(p+xo+zx)(L+x)Hg+ZXM+ex 匚+(9+xe+zx)(g+x)Hg+ZXM+ "X 令谆曙OL Lp 寸 Hq 寸 HeCX