第2部分资的时间价值及等值计算

1、第第2 2章章 资金的时间价值及等值计算资金的时间价值及等值计算2.1 2.1 资金的时间价值资金的时间价值2.2 2.2 利息和利率利息和利率2.3 2.3 现金流量与现金流量图现金流量与现金流量图2.4 2.4 资金等值计算资金等值计算 2.1 2.1 资金的时间价值资金的时间价值 （time value of moneytime value of money） 一、资金的时间价值概念一、资金的时间价值概念 资金随时间推移而增值的性资金随时间推移而增值的性质称资金的时间价值。质称资金的时间价值。二、资金具有时间价值的前提条件二、资金具有时间价值的前提条件（1 1）经过时间的推移；）经过时间

2、的推移；（2 2）经过劳动生产的周转。）经过劳动生产的周转。三、产生条件三、产生条件 货币增值因素货币增值因素 通货膨胀因素通货膨胀因素 时间风险因素时间风险因素四、衡量尺度四、衡量尺度 绝对尺度绝对尺度 利息利息 相对尺度相对尺度 利率利率 利息利息 i i q占用资金所付的代价或放弃使用资金所得的补偿占用资金所付的代价或放弃使用资金所得的补偿 利率利率 i i q在一个计息周期内所得的利息额与借贷金额之比在一个计息周期内所得的利息额与借贷金额之比 计息周期：计息周期：表示利率的时间单位。表示利率的时间单位。 影响利率的主要因素：影响利率的主要因素：q社会平均利润率；社会平均利润率；q金融市

3、场上借贷资本金融市场上借贷资本的供求关系；的供求关系；2.2 2.2 利息和利率利息和利率q通货膨胀；通货膨胀；q期限；期限；q风险风险1 1、单利、单利 仅计算本金的利息，而本金产生的利息不再计算利息。仅计算本金的利息，而本金产生的利息不再计算利息。 “利不生利利不生利”。一、利息的计算一、利息的计算当有一个以上计息期时当有一个以上计息期时)1(nipfinpiipintn计息期数计息期数f本利和本利和it 第第t个计息期的利息个计息期的利息i1 i i2 2 i in n 例例：第：第0年末存入年末存入1000元，年利率元，年利率6，4年末可取多年末可取多少钱？少钱？ 124010006%

4、=60118010006%=60112010006%=60106010006%=601000043210年末本利和年末本利和年末利息年末利息年年 末末i100046240 f10002401240 2 2、复利、复利当期利息计入下期本金一同计息，即利息也生当期利息计入下期本金一同计息，即利息也生息。息。 “利滚利利滚利”nnnnipfifiipififfifiipipfipi)1 ()1 ()1 ()1 (12121212111复利复利（compound interest）：除本金以外，利息也计：除本金以外，利息也计算下个计息期的利息，即利滚利。算下个计息期的利息，即利滚利。 1262.481

5、191.026%=71.461191.021123.606%=67.421123.6010606%=63.60106010006%=601000043210年末本利和年末本利和年末利息年末利息年年 末末本金越大，利率越高，年数越多时，两者差距就本金越大，利率越高，年数越多时，两者差距就越大。越大。 u 当当利率的时间单位利率的时间单位与与计息周期计息周期不一致时，若采用复利不一致时，若采用复利计息，会产生名义利率与实际利率不一致问题计息，会产生名义利率与实际利率不一致问题二、名义利率和实际利率二、名义利率和实际利率一年内计息次数大于一年内计息次数大于1 1时时1 1、名义利率、名义利率r r：

6、计息周期利率乘以每年计息周期数得到的：计息周期利率乘以每年计息周期数得到的 年利率年利率 2 2、实际利率、实际利率考虑了资金时间价值的实际年利率考虑了资金时间价值的实际年利率。例如：例如：年利率为年利率为1212，每年计息，每年计息1 1次次 1212即为名义利率又为实际利率即为名义利率又为实际利率年利率为年利率为1212，每年计息，每年计息1212次次 1212为名义利率，实际相当于月利率为为名义利率，实际相当于月利率为1%1%3 3、名义利率和实际利率的关系、名义利率和实际利率的关系(1/)mfpr m(1/ )1mifppr m/(1/)1mii pr m设：名义利率为设：名义利率为r

7、，一年中计息次数为，一年中计息次数为m，则：计息周期的利率应为则：计息周期的利率应为rm，一年后本利和为，一年后本利和为:一年内产生的利息为：一年内产生的利息为：按利率定义得年实际利率按利率定义得年实际利率i为：为：【例】年利率为【例】年利率为12%12%，存款额，存款额10001000元，期限元，期限1 1年。试按：年。试按：1 1年年1 1次复利计息；次复利计息；1 1年年4 4次按季度计息；次按季度计息；1 1年年1212次按月计息，这次按月计息，这三种情况下的实际利率和本利和分别是多少？三种情况下的实际利率和本利和分别是多少？名义名义利率利率12%计息周计息周期期年年季度季度月月年计息

8、次年计息次数数1412周期利周期利率率12%3%1%实际利实际利率率12%本利和本利和f=1000 (1+12%)=1120f1000(1+3%)41125.51f1000(1+1%)121126.832.2 2.2 现金流量与现金流量图现金流量与现金流量图（ cash flow diagramcash flow diagram）现金流出现金流出：相对某个系统，指在某一时点上流出系统的资相对某个系统，指在某一时点上流出系统的资金或货币量，金或货币量，如如投资、成本费用投资、成本费用等（等（cococase outcase out）现金流入现金流入：相对一个系统，指在某一时点上流入系统的资：相对

9、一个系统，指在某一时点上流入系统的资金或货币量，如金或货币量，如销售收入销售收入等。等。 （cicicase incase in）净现金流量净现金流量: :同一时点上，现金流入与现金流出的代数和。同一时点上，现金流入与现金流出的代数和。 净现金流量净现金流量= = 现金流入现金流入 - - 现金流出现金流出一、现金流量一、现金流量现金流量（现金流量（cash flowcash flow）：在特定的经济系统内，：在特定的经济系统内，在一定的时期内，现金流入与现金流出的总和。在一定的时期内，现金流入与现金流出的总和。特定的经济系统特定的经济系统在一定的时期内在一定的时期内 “现金现金”同一个现金流

10、量对不同的系统有不同的结果同一个现金流量对不同的系统有不同的结果 每一笔现金的流入、流出都对应着相应的时点每一笔现金的流入、流出都对应着相应的时点 真实发生所有权关系的变动真实发生所有权关系的变动 二、现金流量图二、现金流量图0 1 2 3.n 200150计息期的计息期的开始开始现金流量图的观点：现金流量图的观点：1262010001 234借款人 收入支出支出100012624贷款人 0123收入例：【例】：某工程项目预计期初投资【例】：某工程项目预计期初投资 3000 3000 万元，自第一年起，万元，自第一年起，每年末净现金流量为每年末净现金流量为 1000 1000 万元，计算期为万

11、元，计算期为 5 5 年，期末残值年，期末残值 300 300 万元，作出该项目的现金流量图（单位：万元）。万元，作出该项目的现金流量图（单位：万元）。年年1000+30051234300001000一、资金等值的概念 不同时点上绝对数额不等的资金具有相同的价值，或相不同时点上绝对数额不等的资金具有相同的价值，或相同数额的资金在不同的时点上具有不同的价值。同数额的资金在不同的时点上具有不同的价值。例如：例如： 今天拟用于购买冰箱的今天拟用于购买冰箱的10001000元，与放弃购买去投资一元，与放弃购买去投资一个收益率为个收益率为6 6的项目，在来年获得的的项目，在来年获得的10601060元相

12、比，二者具元相比，二者具有相同的经济价值。有相同的经济价值。2.4 2.4 资金等值（equivalent value）现在值（现在值（present valuepresent value 现值）：现值）： 未来时未来时点上的资金折现到现在时点的资金价值。点上的资金折现到现在时点的资金价值。 将来值（将来值（future valuefuture value 终值）：终值）：与现值等与现值等价的未来某时点的资金价值。价的未来某时点的资金价值。折现折现（discount 贴现贴现）：）： 把将来某一时点上的把将来某一时点上的资金换算成与现在时点相等值的金额的换算过。资金换算成与现在时点相等值的金额

13、的换算过。二、相关概念例例：定期一年存款：定期一年存款100元，年利率元，年利率6，一年后本，一年后本利和利和106元。这元。这100元就是现值元就是现值，106元是其一年元是其一年后的终值后的终值。终值与现值可以相互等价交换，把一。终值与现值可以相互等价交换，把一年后的年后的106元换算成现在的值元换算成现在的值100元的折算过程就元的折算过程就是折现是折现： 10601i=6%100 一次支付终值公式；一次支付终值公式； 一次支付现值公式；一次支付现值公式； 等额支付终值公式；等额支付终值公式； 等额支付偿债基金公式；等额支付偿债基金公式； 等额支付资金回收公式；等额支付资金回收公式； 等

14、额支付现值公式；等额支付现值公式； 等差支付系列终值公式；等差支付系列终值公式； 等差支付系列现值公式；等差支付系列现值公式； 等差支付系列年值公式；等差支付系列年值公式； 等比支付系列现值与复利等比支付系列现值与复利公式公式 符号定义：符号定义： p 现值现值 f 将来值将来值 i 年利率年利率 n 计息期数计息期数 a 年金（年值）年金（年值）annuityannuity计息期末等额发生的计息期末等额发生的 现金流量现金流量 g g 等差支付系列中的等差变量值等差支付系列中的等差变量值 g g 等比系列中的增减率等比系列中的增减率pf0n12一次支付终值公式；一次支付终值公式；一次支付现值

15、公式；一次支付现值公式； 已知期初投资为已知期初投资为p，利率为，利率为i，求第，求第n年末收回的本利和（终值）年末收回的本利和（终值）f。),/(1nipfpipfnni1nipf,/称为称为一次支付终值系数一次支付终值系数，记为，记为例例：某工程现向银行借款：某工程现向银行借款100100万元，年利率为万元，年利率为10%10%，借期，借期5 5年，年，一次还清。问第五年末一次还银行本利和是多少一次还清。问第五年末一次还银行本利和是多少? ?解：解： f = p(1+i)n=（1+10%）5 100=161.05（万元）或 f = p（f/p，i，n）= 100（f/p，10%，5）(查复

16、利表）查复利表）= 100 1.6105= 161.05（万元）100f=?0512p = f(1+i)-n(1+i)-n 一次支付现值系数一次支付现值系数, ,记作记作（p/fp/f，i i，n n）（present worth factor, single payment） = f（p/f，i，n） 已知未来第已知未来第 n n 年末将需要或获得资金年末将需要或获得资金f f ，利率为利率为i i，求期初所需的投资，求期初所需的投资p p 。互为倒数与互为逆运算与),/(),/(),/(),/(nifpnipfnifpfpnipfpf例：例：某企业拟在今后第某企业拟在今后第5 5年末能从银

17、行取出年末能从银行取出2020万元购置一万元购置一台设备，如年利率台设备，如年利率10%10%，那么现应存入银行多少钱？，那么现应存入银行多少钱？解解:p = 20 0 .6209 = 12.418（万元）= 20 （1+10%）-5或 p = f（p/f，i，n） = 100（ p/fp/f，10%10%，5 5） = 100 0.1242= 12.42（万元）（万元）“等额分付等额分付”的特点的特点: :在计算期内在计算期内 1 1）每期支付是大小相等、方向相同的现金流）每期支付是大小相等、方向相同的现金流, ,用年值用年值a a表示表示 2 2）支付间隔相同，通常为）支付间隔相同，通常为

18、1 1年年 3 3）每次支付均在每年年末。）每次支付均在每年年末。疑似疑似!af faf ffaaaa+i+1i+1i+1n2n1lnniaiaiaiaif1111112l如果某人每年末存入资金如果某人每年末存入资金a a元，年利率为元，年利率为 i i，n n年后资金的年后资金的本利和本利和f f为多少？为多少？12nn10a(已知已知)f(未知未知)niaafif11fiain11(1+i)n -1i即即 等额支付系列终值等额支付系列终值系数系数, ,记作记作（f/af/a，i i，n n） （compound amount factor,uniform series） =af(1+i)n

19、 -1i= a（f/a，i，n）例：某人从例：某人从 3030岁起每年末向银行存入岁起每年末向银行存入80008000元，连续元，连续1010年，若银行年利率为年，若银行年利率为8 8，问，问1010年后共有多少年后共有多少本利和？本利和？解解:)(115892%81%)81 (80001)1 (10元iiafn )(115892)5%,8 ,/(8000),/(元afniafaf或或(1+i)n -1i = =（a/f，i，n） 等额支付系列偿债基金系数等额支付系列偿债基金系数 =(1+i)n -1ia= f（a/f，i，n）f12nn10a(未知未知)f(已知已知)为了能在为了能在n n年

20、末筹集一笔资金来偿还到期债务年末筹集一笔资金来偿还到期债务f f，按年利率，按年利率i i计算，拟从现在起至计算，拟从现在起至n n年的每年年末等额存入一笔资金年的每年年末等额存入一笔资金a a，以便到以便到n n年末清偿。已知年末清偿。已知f f，i i，n n，求，求a a。例：某厂欲积累一笔设备更新基金，用于例：某厂欲积累一笔设备更新基金，用于4 4年后更新设备。年后更新设备。此项投资总额为此项投资总额为500500万元，银行利率万元，银行利率1212，问每年末，问每年末至少要存款多少？至少要存款多少？ 解解:)(62.1041%)121 (%125004万元a )(62.104)4%,

21、12,/(500万元faa或或12nn10a？f500p pa a_资金回收系数资金回收系数, ,记作记作a a/ /p p，i i，n n） （capital recovery factor） (1+i)n -1i (1+i)n afiin11fpin1而于是= p（a/p，i，n）i=(1+i)n -1a(1+i)n p 某工程项目一次投资某工程项目一次投资3000030000元，年利率元，年利率8%8%，分分5 5年每年年末等额回收，问每年至少回收多少年每年年末等额回收，问每年至少回收多少才能收回全部投资才能收回全部投资? ?例：解：解：a=p(1+i)n 1 i (1+i)n =(1+

22、0.08)5 -10.08(1+0.08)530000 = 7514（元） 例：某设备经济寿命为例：某设备经济寿命为8 8年，预计年净收益年，预计年净收益2020万元，残值为万元，残值为0 0，若投资者要求的收益率为，若投资者要求的收益率为2020，问投资者最多愿意出多，问投资者最多愿意出多少的价格购买该设备？少的价格购买该设备？ 这一问题等同于在银行的利率为这一问题等同于在银行的利率为2020条件下，若存款者连条件下，若存款者连续续8 8年每年从银行取出年每年从银行取出2020万元，则现在应存入银行多少钱？万元，则现在应存入银行多少钱？74.76%)201%(201%)201 (2088p7

23、4.76)8%,20,/(20app 例：某新工程项目欲投资例：某新工程项目欲投资200万元，工程万元，工程1年建成，生产经营年建成，生产经营期为期为9年，期末不计算余值。期望投资收益率为年，期末不计算余值。期望投资收益率为12，问每年，问每年至少应等额回收多少金额？至少应等额回收多少金额？023456789101pa（万元）041.421)12.01 ()12.01 (12.0)12.01 (200)9%,12,/)(1%,12,/(200991papfa p(1+i)n -1i (1+i)n 0 1 2 3 . n-1 n年p=？a a a . a a= a（p/a，i，n）等额支付系列现

24、值等额支付系列现值系数系数， 记作（记作（p/ap/a，i i，n n）=(1+i)n -1i (1+i)n a例：某投资项目贷款例：某投资项目贷款200200万元，银行万元，银行4 4年内等额收回全部年内等额收回全部贷款，贷款利率为贷款，贷款利率为1010，那么项目每年的净收益不，那么项目每年的净收益不应少于多少万元？应少于多少万元？ 解：解：)(09.631%)101 (%)101%(1020044万元a )(09.63)4%,10,/(200万元paa或或已知已知 p p f f a a 3组互为逆运算的公式组互为逆运算的公式 3对互为倒数的等值计算系数（复合利率）对互为倒数的等值计算系

25、数（复合利率）f=p(f/p,i,n)p=f(p/f,i,n)未知未知 p p f f a a习题习题1 1：按年利率为：按年利率为12%12%，每季度计息一次计算利息，从现在，每季度计息一次计算利息，从现在起连续起连续3 3年的等额年末支付借款为年的等额年末支付借款为10001000元，问与其等值的第元，问与其等值的第3 3年年年末的借款金额为多大？年末的借款金额为多大？ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度 f=？100010001000 解：解： 其现金流量如下图其现金流量如下图（a/f，3%，4）第一种方法第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成

26、等值的：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：0 1 2 3 410001000 0 1 2 3 4239 239239 239将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）将年度支付转化为计息期末支付（单位：元） a=f （a/f，3%，4） =1000 0.2390=239元元239f=？季度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 经转变后计息期与支付期重合（单位：元）经转变后计息期与支付期重合（单位：元）f=a（f/a，3%，12）=239 14.192=3392元第二种方法第二种

27、方法：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度 f=？100010001000f=1000(f/pf=1000(f/p，3%3%，8)+1000(f/p8)+1000(f/p，3%,4)+1000=33923%,4)+1000=3392元元第三种方法第三种方法：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。

28、进行计算。%55.121412. 01114nnri年实际利率是：年实际利率是：33921)1 (1000)3%,55.12,/(iiafafn习题习题2 2：假定现金流量是：第：假定现金流量是：第6 6年年末支付年年末支付300300元，第元，第9 9、1010、1111、1212年末各支付年末各支付6060元，第元，第1313年年末支付年年末支付210210元，第元，第1515、1616、1717年年末各获得年年末各获得8080元。按年利率元。按年利率5 5计息，与此等值的现金计息，与此等值的现金流量的现值流量的现值p p为多少？为多少？6789 10 11 1213141516170p=?3002106080p=p=300(p/f,5%,6) 300(p/f,5%,6) 210(p/f,5%,13)210(p/f,5%,13) 60(p/a,5%,4)(p/f,5%,8) 60(p/a,5%,4)(p/f,5%,8) + 80(p/a,5%,3)(p/f,5%,14) + 80