第2课矩形菱形与正方形

1、第第24课矩形、菱形与正方形课矩形、菱形与正方形 基础知识基础知识 自主学习自主学习1有一个角是有一个角是 的平行四边形是矩形矩形的四个角都的平行四边形是矩形矩形的四个角都是是 ，对角线，对角线 矩形的判定方法：矩形的判定方法： (1)(1)有三个角是有三个角是 的四边形；的四边形； (2)(2)是平行四边形且有一个角是是平行四边形且有一个角是 ； (3)(3) 的平行四边形；的平行四边形； (4)(4) 的四边形的四边形要点梳理要点梳理直角直角直角直角相等且互相平分相等且互相平分直角直角直角直角对角线相等对角线相等对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分2有一组有一组 的平行四边形叫做菱形菱

2、形的四条的平行四边形叫做菱形菱形的四条边都边都 ，对角线，对角线 ，且每一条对角，且每一条对角线线 菱形的判定方法：菱形的判定方法： (1)四条边都四条边都 ； (2)有一组有一组 的平行四边形；的平行四边形； (3)对角线对角线 的平行四边形；的平行四边形； (4)对角线对角线 的四边形的四边形邻边相等邻边相等相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一组对角平分一组对角相等相等邻边相等邻边相等互相垂直互相垂直互相垂直平分互相垂直平分3有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的四个角都是形正方形的四个角都是 ，四条边都，四条边都

3、，两条对角，两条对角线线 ，并且，并且 每一条对角线每一条对角线 正方形的判定方法：正方形的判定方法： (1)(1)邻边相等的邻边相等的 ； (2)(2)有一角是直角的有一角是直角的 直角直角相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一组对角平分一组对角相等相等矩形矩形菱形菱形 难点正本疑点清源难点正本疑点清源 平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系与区别平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系与区别 以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，我以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，我们可得出矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形，它们之间既有联们可得出矩形、菱形、正方形这

4、些特殊的平行四边形，它们之间既有联系又有区别系又有区别 矩形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加矩形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直一个角是直角角”或或“对角线相等对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三三个角是直角个角是直角( (第四个角必是直角第四个角必是直角) )则可判定为矩形则可判定为矩形 菱形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加菱形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相一组邻边相等等”或或“对角线互相垂直对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需的条件可为菱形；若在

5、四边形的基础上，需有有四边相等则可判定为菱形四边相等则可判定为菱形 正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等( (即矩形即矩形) )；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直( (即即菱形菱形) )基础自测基础自测1(2011乌兰察布乌兰察布)如图，已知矩形如图，已知矩形abcd ，一条直线将该矩形，一条直线将该矩形 abcd 分割成两个多边形，

6、若这两个多边形的内角和分别为分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 m 和和 n ，则，则 mn 不可能是不可能是() a360 b540 c720 d630 答案答案d 解析当直线将矩形分割成两个三角形时，有解析当直线将矩形分割成两个三角形时，有mn180，mn360；当直线将矩形分割成一个三角形和一个四边形；当直线将矩形分割成一个三角形和一个四边形时，不妨设时，不妨设m180，n360，则，则mn540；当直线；当直线将矩形分割成两个四边形，有将矩形分割成两个四边形，有mn360，则，则mn720.所以所以mn不可能是不可能是630.2( (2011大理大理) )用两块边长为用两块

7、边长为a的等边三角形纸片拼成的四边的等边三角形纸片拼成的四边形是形是( () ) a等腰梯形等腰梯形 b菱形菱形 c矩形矩形 d正方形正方形 答案答案b 解析两个等边三角形可拼成菱形解析两个等边三角形可拼成菱形3(2011天津天津)如图，将正方形纸片如图，将正方形纸片abcd折叠，使边折叠，使边ab、cb均落在对角线均落在对角线bd上，得折痕上，得折痕be、bf，则，则ebf的大的大小为小为() a15 b30 c45 d60 答案答案c4(2011茂名茂名)如图，两条笔直的公路如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点相交于点o，村庄，村庄c的的村民在公路的旁边建三个加工厂村民在公路的旁边建三个

8、加工厂a、b、d，已知，已知 abbc cdda5公里，村庄公里，村庄c到公路到公路l1的距离为的距离为4公里，则村庄公里，则村庄c到到公路公路l2的距离是的距离是() a3公里公里 b4公里公里 c5公里公里 d6公里公里 答案答案b 解析连接解析连接ac，因为，因为abbccdda，所以四边形，所以四边形adcd是是菱形，菱形，ca平分平分dab，点，点c到到l1的距离等于点的距离等于点c到到l2的距离，故的距离，故选选b.答案答案a题型分类题型分类 深度剖析深度剖析【例【例 1】如图，四边形】如图，四边形abcd是矩形，是矩形，e是是ab上一点，且上一点，且deab，过，过c作作cfde

9、，垂足为，垂足为f. (1)猜想：猜想：ad与与cf的大小关系；的大小关系； (2)请证明上面的结论请证明上面的结论题型一矩形题型一矩形解解( (1) )adcf. ( (2) )在矩形在矩形abcd中，中， abcd，且，且abcd ，a90， cdfaed. 又又deab， decd. cfde， adfc90， ade fcd， adcf.探究提高探究提高矩形四个角都是直角，抓住这一特征，证两矩形四个角都是直角，抓住这一特征，证两个直角三角形全等；矩形的对角线将其分成若干个特殊个直角三角形全等；矩形的对角线将其分成若干个特殊三角形三角形知能迁移知能迁移1(2011滨州滨州)如图，如图，a

10、bc中，点中，点o是是ac边上边上(端端点除外点除外)的一个动点，过点的一个动点，过点o作直线作直线mnbc.设设mn交交bca的平分线于点的平分线于点e，交，交bca的外角平分线于点的外角平分线于点f，连接连接ae、af.那么当点那么当点o运动到何处时，四边形运动到何处时，四边形aecf是是矩形？并证明你的结论矩形？并证明你的结论解当点解当点o运动到运动到ac的中点的中点( (或或oaoc) )时，四边形时，四边形aecf是矩形是矩形 证明：证明：ce平分平分bca， 12. 又又mnbc, 13， 32，eoco. 同理，同理，foco. eofo. 又又oaoc, 四边形四边形aecf是

11、平行四边形是平行四边形 12，45， 1524. 又又1524180， 2490. aecf是矩形是矩形题型二菱形题型二菱形【例【例 2】如图，四边形】如图，四边形abcd是菱形，是菱形，deab交交ba的延的延长线于长线于e，dfbc，交，交bc的延长线于的延长线于f.请你猜想请你猜想de与与df的大小有什么关系？并证明你的猜想的大小有什么关系？并证明你的猜想 解解dedf. 证明：连接证明：连接bd， 在菱形在菱形abcd中，中， bd平分平分abc， deab，dfbc， dedf.探究提高探究提高此题可以证明此题可以证明ade cdf，得，得dedf；或；或者连接者连接bd，由，由“角

12、平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等”证明证明dedf.知能迁移知能迁移2( (2011济宁济宁) )如图，在平行四边形如图，在平行四边形abcd中，对角线中，对角线ac、bd相交于相交于o，过点，过点o作直线作直线efbd，分别交，分别交ad、bc于于点点e和点和点f，求证：四边形，求证：四边形bedf是菱形是菱形解证明：解证明：四边形四边形abcd是平行四边形，是平行四边形， adbc，obod， edofbo, oedofb， oed ofb， debf. 又又edbf， 四边形四边形bedf是平行四边形是平行四边形 efbd， 平行四边形平行四边形bedf是菱

13、形是菱形题型三正方形题型三正方形【例【例 3】(2012青海青海)如图，正方形如图，正方形abcd的对角线的对角线ac和和bd相交于点相交于点o，o又是正方形又是正方形a1b1c1o的一个顶点，的一个顶点，oa1交交ab于点于点e，oc1交交bc于点于点f. (1)(1)求证：求证：aoe bof； (2)(2)如果两个正方形的边长都为如果两个正方形的边长都为a，那么正方形，那么正方形a1b1c1o绕绕 o点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为 什么？什么？解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！探究提高探究

14、提高正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点判定是中考的热点知能迁移知能迁移3(2011舟山舟山)以四边形以四边形abcd的边的边ab、bc、cd、da为斜边分别向为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为e、f、g、h，顺次连结这四个，顺次连结这四个点，得四边形点，得四边形efgh. (1)如图如图1，当四边形，当四边形abcd为正方形时，我们发现四边形为正方形时，我们发现四边形efgh是正方

15、形；是正方形；如图如图2，当四边形，当四边形abcd为矩形时，请判断：四边形为矩形时，请判断：四边形efgh的形状的形状(不要求不要求证明证明)； (2)如图如图3，当四边形，当四边形abcd为一般平行四边形时，设为一般平行四边形时，设adc(090). 试用含试用含的代数式表示的代数式表示hae； 求证：求证：hehg； 四边形四边形efgh是什么四边形？并说明理由是什么四边形？并说明理由. 解解(1)(1)四边形四边形efgh是正方形是正方形 (2)(2)hae90. 证明：在证明：在 abcd中，中，abcd， bad180adc180. had和和eab都是等腰直角三角形，都是等腰直角

16、三角形， hadeab45， hae360hadeabbad 3604545(180)90.四边形四边形efgh是正方形理由如下：是正方形理由如下： 由由同理可得：同理可得：ghgf，fgfe. hehg(已证已证)， ghgfehfe，四边形四边形efgh是菱形是菱形 hae hdg(已证已证)， dhgahe. 又又ahdahgdhg90， ehgahgahe90， 菱形菱形efgh是正方形是正方形题型四特殊平行四边形综合题题型四特殊平行四边形综合题探究提高探究提高在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四四边形边形”，还是在，还是在“平行四边形平行四

17、边形”的基础上来求证的，要熟的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法，这里方程的思想很重要方法，这里方程的思想很重要知能迁移知能迁移4(2011宿迁宿迁)如图，在边长为如图，在边长为2的正方形的正方形abcd中，中，p为为ab的中点，的中点，q为边为边cd上一动点，设上一动点，设dqt(0t2)，线，线段段pq的垂直平分线分别交边的垂直平分线分别交边ad、bc于点于点m、n，过，过q作作qeab于点于点e，过，

18、过m作作mfbc于点于点f. (1)(1)当当t1时，求证：时，求证：peq nfm； (2)(2)顺次连接顺次连接p、m、q、n，设四边形，设四边形pmqn的面积为的面积为s， 求出求出s与自变量与自变量t之间的函数关系式，并求之间的函数关系式，并求s的最小值的最小值解解(1)证明：证明：四边形四边形abcd是正方形，是正方形， abd90， adab. qeab，mfbc， aeqmfb90. 四边形四边形abfm、aeqd都是矩形都是矩形 mfab，qead，mfqe. 又又pqmn， eqpfmn. 又又qepmfn90， peq nfm.易错警示易错警示试题试题在在abc的两边的两边

19、ab、ac上向形外作正方形上向形外作正方形abef、acgh， 过点过点a作作bc的垂线分别交的垂线分别交bc于点于点d，交，交fh于于m，求证：，求证：fmmh.学生答案展示学生答案展示 如图，如图，四边形四边形abef与四边形与四边形acgh都是正方形，都是正方形， afab，ahac. 又又fahbac， afh abc.52. 3190，3290， 12，15. 14，45. amfm.同理，同理，amah， 故故fmmh.15不认真画图导致错误剖析剖析上述解法错在将上述解法错在将bac画成了直角画成了直角( (题中没有这个条题中没有这个条件！件！) )从而导致从而导致fah、bac和

20、和1、4分别成为对顶分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误正解正解分别过分别过f、h画画fkmd，hlmd，垂足为，垂足为k、l. 四边形四边形acgh是正方形，是正方形， acah，cah90，1290. adbc，2390，13. 又又hlaadc90， ahl cad.hlad. 同理：同理：afk bad. fkad.fkhl. 又又fmkhml， fkmhlm90， fmk hml. fmmh.批阅笔记批阅笔记证明一个几何命题时，一般要先根据题意画出图证明一个几何命题时，一般要先根据题意画出图形，但画图时应严格根据题设条件，不能将一般的图形画形，但画图时应严格根据题设条件，不能将一般的图形画成一个特殊图形，否则在证明时就容易受所画图形干扰而成一