极限存在准则与两个重要极限(13)课件VIP

1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、函数极限存在准则一、函数极限存在准则 第二章第二章 2.62.6 两个重要的极限两个重要的极限定理定理,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且且一、一、函数极限存在的准则函数极限存在的准则两边夹准则两边夹准则证明方法类似数列极限的证明方法类似数列极限的两边夹准则（两边夹准则（证明略证明略）例例1 证明证明0sinlim0 xxxx sin0,20时时当当 x证明证明0sinlim0 xx,1coslim,1sinlim00 xxxxxx20coslim1

2、coslim0 xx1)sin1 (lim20 xx并且当并且当x 趋于趋于0时时cos x大于大于0，例例2 证明证明1coslim0 xx2sin2cos102xx 证明证明222122xx0)cos1 (lim0 xx1coslim0 xx另证另证记住记住xxxxcoslim,sinlim都不存在！都不存在！xxxxcotlim, 0tanlim00nnnnn22212111lim证明证明:例例3. 求求xxxn22212111nnn2, 1111lim1lim22nnnnn12nn1111limlim2nnnnnn由数列极限的由数列极限的两边夹准则可得两边夹准则可得.1sincosxx

3、x圆扇形圆扇形AOB的面积的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 型型001sinlim. 10 xxx证证: 当当即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx)2,0(x时，时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有例例4. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例5. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 则则,sint

4、x 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例 6 求求20cos1limxxx20cos1limxxx解解 2202sin2limxxx220242sin2limxxx2122sinlim2120 xxx一般公式一般公式,1)()(sinlim)(0 xxxxx0)()(0 xxx时时，其其中中当当例例 7求求30sintanlimxxxx解解 20cos1limxxx30sintanlimxxxxxxxxxcos)cos1 (sinlim30 xxcos1lim0 xxxsinlim020cos1sincos1limxxxxxx由上面几个例题可知下面几个由上面几个例

5、题可知下面几个等价的无穷小量等价的无穷小量.,sinxx当当x 趋于趋于0时时,tanxxxxsintan,arcsinxx2)cos1 (2xx, 0)()(0 xxx时时，若若当当),()(sinxx),()(tanxx时时则当则当)(0 xx),(sin)(tanxx)()(arcsinxx2)()(cos1 (2xxe10)1 (limennn)11 (limexxxxx)()()(11lim0exxx11lim（函数形式）（函数形式）（数列形式）（数列形式）（一般形式）（一般形式）)()(0 xxx时时，其其中中当当)1(第二个重要极限第二个重要极限xxxx1lim22xxxxxx11limxxxxxx111lim111lim.)1 (lim1xxx解解: 令令, xt则则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1例例2. 求求xxxx1lim22xxxxxxxx1lim1lim解解例例1. 求求11)1(111111limxxxx111111lim)1(xxx