极限的性质与运算法则课件

1、上页下页铃结束返回首页2.2 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则一、一、性质性质性质性质1(唯一性唯一性) 若极限若极限lim f(x)存在，则极限唯一。存在，则极限唯一。注注 此定理对数列也成立。此定理对数列也成立。，存存在在，则则若若极极限限0)(lim0 xfxx内有界。内有界。在在使使)(U)(00 xxf注注1、其他类型的极限对应的邻域由定义中、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范的变化范围确定。围确定。2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由具体函数确定。具体函数确定。上页下页铃结束返回首页性质性质3(局部保号性局部

2、保号性)，则则若若00)(lim0Axfxx。，使使0)()(U00 xfxx性质性质4，使，使，若，若已知已知)(U0)(lim000 xxAxfxx。，则，则00)(Axf注注。，结结果果仍仍是是若若已已知知中中是是00)(Axf性质性质5，使使，若若，已已知知0)(lim)(lim00BxgAxfxxxx。，则则，BAxgxfx)()()(Ux00上页下页铃结束返回首页二、二、四则运算法则四则运算法则定理定理存在，则存在，则、已知已知)(lim)(limxgxf 存在，则存在，则、)(lim)(lim)(lim121xfxfxfn ；)(lim)(lim)()(lim2xgxfxgxf

3、；，N)(lim)(lim3nxfxfnn ；，则则若若)(lim)(lim)()(lim0)(lim4xgxfxgxfxg ；，则则N)(lim)(lim0)(lim5nxfxfxfnn推论推论 ；)(lim)(lim)()(lim1xgxfxgxf；)(lim)(lim)(lim)()()(lim2121xfxfxfxfxfxfnn ；存存在在，则则)(lim)(lim)(lim2xfCxCfxf ；，R)(lim)(lim3xfxf上页下页铃结束返回首页 定理定理 如果lim f与lim g存在，则有 lim(fg)lim flim g 。 因此，在上述时刻以后，恒有这就证明了lim(f

4、g)AB ，即lim(fg)lim flim g。总有那么一个时刻， 在此时刻以后，恒有|(fg)(AB)|fA|+|gB|+2121。 证明证明：设limfA，limgB，则对于任意给定的 0， | fA|21 ， |gB|21 。 上页下页铃结束返回首页注注1、应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为、应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等；零、偶次根号下非负等；2、定理中、定理中C、n、都是与自变量无关的常量。都是与自变量无关的常量。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在，则 lim(fg)lim flim g ； lim fglim flim g

5、 下页解：1limx(3x22x+1) (3x22x+1) 1limx3x21limx2x+1limx1 31limxx221limxx+13(2。x+13(1limxx)22+131221+12。 例 1 求1limx(3x22x+1)。 例例1 解：解：上页下页铃结束返回首页：多项式的极限0limxxP(x)? 讨论讨论：论：0limxxP(x)P(x0)。 提示提示：例例2。求极限求极限nnnxxaxaxa+1100lim答案答案。nnnaxaxa+10100上页下页铃结束返回首页如果lim f与lim g存在且lim g 0,则 解： 1352lim22+xxxx1352lim22+x

6、xxx75) 13(lim)52(lim222+xxxxx75) 13(lim)52(lim222+xxxxx。 例2 求1352lim22+xxxx。 例例2 解：解：所以 45lim22xxx。 解：因为01005lim)4(lim54lim22222xxxxxxx01005lim)4(lim54lim22222xxxxxxx01005lim)4(lim54lim22222xxxxxxx。 例3 求45lim22xxx。 例例3 解：解：gfgflimlimlimBA(B0)。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在且lim g 0，则 。解： 6131lim) 3)(3(

7、3lim93lim3323+xxxxxxxxx6131lim) 3)(3(3lim93lim3323+xxxxxxxxx6131lim) 3)(3(3lim93lim3323+xxxxxxxxx6131lim)3)(3(3lim93lim3323+xxxxxxxxx。 例7 求93lim23xxx。 例例4 解：解：gfgflimlimlimBA(B0)。 上页下页铃结束返回首页 当Q(x0)0 时，)()()()(lim000 xQxPxQxPxx。 如何求有理函数的极限)()(lim0 xQxPxx？ 讨论：讨论：提示：提示： 当 Q(x0)0，P(x0)0 时，)()(lim0 xQxP

8、xx。 当Q(x0)P(x0)0时，分子分母约去(xx0)。 上页下页铃结束返回首页 如果lim f与lim g存在且lim g 0，则 。解： )2)(4()2)(2(lim42lim44+xxxxxxxx 4121lim4+xx)2)(4()2)(2(lim42lim44+xxxxxxxx 4121lim4+xx。 例8 求42lim4xxx。 例例5 解：解：gfgflimlimlimBA(B0)。 上页下页铃结束返回首页 解：解：将分子分母同除以n 2，得 解：解：将分子分母同除以x 4 ，得13322lim22+nnnn2213322limnnnn+3213322lim22+nnnn

9、2213322limnnnn+3213322lim22+nnnn2213322limnnnn+32。 03013124lim13124lim442423+xxxxxxxxx03013124lim13124lim442423+xxxxxxxxx03013124lim13124lim442423+xxxxxxxxx。 例4 求13322lim22+nnnn。 例例6 例5 求13124lim423+xxxx。 例例7 上页下页铃结束返回首页 解：解：将分子分母同除以x 3 ，得 +23237812lim7812limxxxxxxxx+23237812lim7812limxxxxxxxx+23237

10、812lim7812limxxxxxxxx。 例6 求xxxx7812lim23+。 例例8 ：理函数的极限mmmnnnxbxbxbaxaxa+ + +110110lim ? 讨论：讨论：上页下页铃结束返回首页+mnmnbamnbxbxbaxaxannnmmmx , , , 0lim00110110证明)()(lim110110nnnmmmxxbxbbxxaxaax+原式)(limxGxnmx由，00)(limbaxGx，mnmnmnxnmx , , 1 , 0lim即得所证.证上页下页铃结束返回首页例例16224lim2423+xxxxx16323lim24+xxxxx16252lim535

11、+xxxxx02上页下页铃结束返回首页0limxf(x) +0limxf(x) xlimf(x) +xlimf(x)f(x)0limx(x1)1， f(x)+0limx11332+xxx， f(x)+xlim11332+xxx0， f(x)xlim(x1)。 所以 0limxf(x)1。 例 9 已知 f(x)+0 1130 132xxxxxx ， 求0limxf(x)，+xlimf(x)，xlimf(x)。 例例9 解：解：上页下页铃结束返回首页解例10. 1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx+求 . , , 0lim 0不能直接用公式计算所以由于xxxxxxx1)31)(21)

12、(1 (lim 0+xxxxx161161lim320+ . 6)6116(lim20+xxx 初等展开上页下页铃结束返回首页例11-12131lim2xxxxx+上页下页铃结束返回首页解例11 . )2( 1lim xxxx+求) )( ( )2( 1lim xxxx+xxxxxxxx+2)2)(2( 1limxxxx+2 12lim . 1111111 2lim+xxx 有理化上页下页铃结束返回首页例例12 , 求求 a , b 的值的值0112 + + + + + )bax(xxlimx解解 + + + + + )bax(xxlimx11201112 + + + + + x)b(x)ba

13、(x)a(limx01 a0 + + ba11 ba上页下页铃结束返回首页例例13 )1311(lim31+xxx 解解 当 时， ， 的分母都趋于零，原式 出现“ ”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。11+x133+x)1311()(3+xxxf1x 原式 = 1)1(lim321+xxxx1)1(2lim21+xxxx)1)(1()2)(1(lim21+xxxxxx（消去零因子）（消去零因子）上页下页铃结束返回首页14. 求. )1(lim2xxxx+解法解法 1 原式 =xxxx+1lim21111lim2+xx21解法解法 2 令,1xt

14、 tttt1111lim20+21则原式 =22011limttt+111lim20+tt+0t上页下页铃结束返回首页15. 试确定常数 a ,b 使2lim2()0.xxxxa xb+13,2ab 上页下页铃结束返回首页16. 试确定常数 a 使.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此上页下页铃结束返回首页例例17. 确定常数 a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx+2

15、333231)1 (1limxxxxx+0上页下页铃结束返回首页. 011lim11lim)1311(lim. 131131xxxxxxx. 2)1122(lim)12)(11 (lim. 232121+xxxxxxx.1sinlim,1sinlim,1sinlimlim1sinlim. 320002020不存在所以不存在因为xxxxxxxxxxxx.arctanlim,arctanlim,arctanlim. 4不存在所以不存在分子极限xxxxxxxx 下列各题的解题过程是否有错误？如何改正错误？解题评析：解题评析：下页上页下页铃结束返回首页. 000) 1(lim12lim112lim.

16、52121221+xxxxxxxxx.121lim,) 12(lim) 1(lim121lim. 6222222不存在所以都不存在因为分子和分母的极限xxxxxxxxxxxxx+414512111451841lim4586lim. 7224224xxxxxxxxxx 结束上页下页铃结束返回首页本周本周作业一：作业一：4. 已知已知0cos000)(xxxxexfx的的存存在在性性。讨讨论论)(lim0 xfx答案答案1)(lim0 xfx2。求求极极限限+) 1(1321211limnnn(答案答案 1)(答案答案 -2)321lim2xxxx求极限-5+4。122134lim32xxxxx+求极限。3(答案答案 -5)231,05,( )1,011,1xxxf xxxxx+1012: lim( );lim( );lim( );lim( ).xxxxf xf xf xf x求上页下页铃结束返回首页本周本周作业二：作业二：1。求极限3111limxxx答案答案612。求求极极限限nnn242) 12(31lim+答案答案 111 3233. lim . ( ) 14xxx+求答案： . 1211lim 31+xxxx求答案答