极限的运算法则(14)课件

1、2.3 极限运算法则极限运算法则1. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 2. 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 2.3.1 若若1 1、)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA2 2、)()(limxgxf)(lim)(limxgxf)0(时BBA3 3、定理定理2.3.12.3.1中的中的1 1、2 2、可以推广到有限个函数、可以推广到有限个函数的的)()()(xhxgxflim),()()(xlimhxlim

2、gxlimf)()()(xhxgxflim),()()(xlimhxlimgxlimf（1 1）（2 2）推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数为正整数 )情形，如：情形，如：二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理2.3.2 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当au0时, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有

3、ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au故0Axf)(Auf)(,因此式成立.说明说明:若定理若定理2.3.2中中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim例例2.3.1 .12lim1）（求求 xx解解）（12lim1 xx1lim2lim11 xxx1limlim211 xxx. 1112 例例2.3.2 253lim341 xxxx求求解解253lim341 xxxx)25(lim)3(lim3141 xxxxx2limlim5lim3limlim1131141 xxxxxxxx2)1(5)1(3)1(34 .32 一般地有：一般地有：设

4、有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多项式多项式 ,0)(0 xQ试证试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则 . 若若补例补例求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因例例2.3.3 求极限求极限.11lim321 xxx解解 11li

5、m321 xxx)1)(1()1)(1(lim21 xxxxxx11lim21 xxxx111112 .32 例例2.3.4 求极限求极限)81221(lim32xxx解解 )81221(lim32xxx8122lim322xxxx)42)(2()4)(2(lim22xxxxxx21424lim22xxxx型极限。型极限。此例称为此例称为 常通过通分化为分式来解。常通过通分化为分式来解。 例例2.3.5 求极限求极限42lim22xxx解解 因为因为,4121lim42lim222xxxxx21lim42lim4122uxxux 所以所以例例2.3.6型极限。型极限。此例为此例为 解解 357

6、243lim2323 xxxxx求求357243lim2323xxxxx73357243lim33xxxxx分子分母同除以分子分母同除以x3，可得，可得分式求极限一般有如下结果：分式求极限一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA定理定理2.3.3（数列极限的四则运算法则）（数列极限的四则运算法则）例例2.3.7 求极限求极限) 1(1321211limn

7、nn解解 因为因为) 1(1321211nn所以，所以，) 1(1321211limnnn)111()3121()211 (nn111n)111 (limnn1例例2.3.8 求极限求极限322221limnnn解解 因为因为322221nn所以，所以，322221limnnn)12)(11 (61limnnn36) 12)(1(nnnn),12)(11 (61nn31内容小结内容小结1. 极限运算法则极限运算法则(1) 极限四则运算法则极限四则运算法则(2) 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法0) 1xx 时时, 用代入法用代入法( 分母不