经济数学基础(微积分)讲义

1、-作者xxxx-日期xxxx经济数学基础(微积分)讲义【精品文档】经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数， （是常数）例如：，这些函数可以看成是隐含，例如可看成。2，幂函数，（是一个数）形如，是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，是幂函数，就不是幂函数，只能是下面，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，（是一个数）例如：，不是指数函数。4，对数函数，这里要求必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是，他是的简写，是一个数，和我们知道的一样，另一个是，他是的简写。5，三角函数

2、，特别注意的是，都不是三角函数。l 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。l 例如：，二次函数，由幂函数，常数函数构成。知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。数学符号记为：例如：数列：1,2,4,8,16,32，发展规律依 变化， 1，发展规律依 变化，2，极限 学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，分母由1,2,3,4，变化，当分母无限大时，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化， 分母越大，分数越小是趋近，是无穷大的意思，无穷

3、大是指非常非常大，无法计量。是指数轴的最远端。用极限式写为：这个位置写趋近值。分母无穷大，分数趋近值为0说明趋向无穷大，例如：1，这个数列由，取0,1,2,3,4，得到， 分母越大，分数越小用极限式写为分母无穷大，分数趋近值为0这个位置写趋近值。例：求极限分析： 所以，解为 解：=1例：求极限分析：可变为，继续 分子是数，分母是无穷大，一个固定数与无穷大相比，固定数显得太小太小，忽略不计， 不是所有数列都有极限，极限存在是指数列趋近于一个固定数，不趋近一个数，说极限不存在。例如：时，所以不存在，极限存在，称数列收敛，不存在，称为发散。函数的极限，就是把前面的看成是可取任何数的就可以了。例如：求

4、极限，分析：理解为时， 分母越大，分数越小所以函数在某一点的极限如图：函数函数在这一点不取值，的取值可无限靠近1，于是就有函数在一点的极限，这个极限的意思是： 当无限靠近1时，也说趋近1 趋近于多少从图上看得出值趋近于1函数在一点的极值记为：，是函数在点处的极限值，是一个趋近值。例：求极限，这是一类直接带入分母为0的极限，这类极限需要分解因式约去为0分母，然后直接带入求值。分析：直接带入，分母为0，于是对分子分解因式，此时带1，式子有意义，直接算出，所以，=2考题分析：计算极限。解：计算极限。解：计算极限 解 = = = *：求函数在某一点的极限：1，带入分母不为0，就直接带入求值。 2，带入

5、分母为0，先分解因式，约掉为0分母，然后带入求值。关于求极限的一般方法比较分子和分母最高次项系数，1，分子最高次项指数小于分母最高次项指数，极限为02，分子最高次项指数等于分母最高次项指数，极限为系数比3，分子最高次项指数大于分母最高次项指数，极限不存在题目中次数最高的项，称为最高次项，指数称为次数。这个题目中最高次数是3，例：求极限分析：当时，远比大。比指数小的，都可以视为0，因此，这个极限分母远比分子大，极限值是0。也可以对分子分母同除以，得=，当时，。所以，此题极限是0.前面的2称为最高次项系数前面的3称为最高此项系数例：求极限，分析，比指数小的，都可以视为0，常数直接去掉。所以此题极限

6、是最高次项系数比，也可以分子分母同除以。解：=例：求极限分析，显然，分子最高次数为3，当时，分子远大于分母，次极限不存在。 最高次项系数比归纳为如下：此处也可说极限不存在解此类题只看最高次项，直接写答案。考题举例：求极限 解：=求极限 解：两个重要极限：（这两个是公式，直接使用！）1，或 ，考试常现，希望注意，现以考题作讲解。公式应理解为，或，括号里面填任何变量都可以，但必须是相同的。特别要注意，这里是例：求极限，分析：通过变形，达到内相同，=，因为，时，所以=5=5这就是我们要的，3个位置都一样因为是乘积，常数5可以直接拿出来当时，1-1=0 例，求极限0分析：=0也可以=加减法可以分开求，

7、例， （形成性考核作业）这里可以写，也可以写，是一个意思，所以，考试的时候，直接写解：原式=总结：极限的运算遵循加法可分，常数可透原则， 也遵循乘法可分原则2， 或 这个公式都要理解成，只要里一样，极限值就是 次类考得少，只举一个简例，例求极限分析：=此处与是一样的。知识点： 无穷大量与无穷小量，此考点经常考，其实简单，极限值是0的就是无穷小量，极限值是0的就是无穷小量。极限值是无穷大的就是无穷大量。考题举例例：1，已知，当 时，为无穷小量2，已知，当 时，为无穷小量3，设，当（A）时，f(x)为无穷小量Ax0 Bx1 Cx- Dx+4，当时，下列变量为无穷小量的是（ D ）A B C D 5

8、，已知，当（A ）时，为无穷小量.A. B. C. D. 6，当时，变量（ D ）为无穷小量。A BC D7，当时，变量（ D ）是无穷小量。A BC D函数的连续可以再一段数上面都取得到，称函数在这一段数上面连续，例如，在这一段数上面连续，但在这段数上面不连续，因为取不到0.以下用考题来分析，1，函数 在x = 0处连续，则k = ( B )A-2 B-1 C1 D22函数 在x = 0处连续，则k = (C)A-2 B-1 C1 D2 3. 函数 在x = 0处连续，则（ A ）A. 1 B. 0 C.2 D. 4函数 在x = 0处连续，则k = (B)5若函数，在处连续，则 ( B )

9、 A BC D 6已知，若f(x)在（，+）内连续，则a=27已知，若在x=1处连续，则2 .此类题目就是对上面一个式子求当不等于那个数时的极限。1，求 2，求 3，求=下面1时的值，4，求，5，求，6，求，7，求分析：要使得函数连续，必须要上面的极限等于下面的，具体意义请参看教材中“函数的连续性”一节。另外补充，找函数不连续的点，一般可以理解为找函数无意义的点，比如间断点（就是不连续点）是分母为0的点和求函数定义域：函数的定义域就是指使得式子有意义的的取值范围。一些常见的式子有意义的条件：1，分母不等于0；2，开平方：根号里面大于等于0，如果根号在分母下面，一定不要使分母是0了。3，对数里面

10、必须大于0，例如：，的位置必须大于0，中，位置必须大于0，若，作分母，位置还不能取1考题举例：1函数的定义域是（ D ） AB CD 且2函数的定义域是 (A） A B C D 3函数的定义域是（-1,，0）（0,3 )4.函数的定义域是 5函数的定义域是-5，2.6函数的定义域是 .7函数的定义域是 8函数的定义域是 （0，3.9函数的定义域是10函数的定义域是详细讲解2,3题，解2，要使得有意义，根号里面，结合分母不能是0，有同时还要满足，位置大于0，即，所以有并且，合起来就是是区间表示，=3，要使得有意义，根号里面大于等于0，得，位置要大于0，同时作分母，还必须不等于1，即且，得到，且，

11、要是整个式子有意义，还得，所以，且，所以答案：（-1,，0）（0,3，是合起来的意思，（-1,，0）（0,3意思是：且用区间表示就是用区间表示就是用区间表示就是等得到，方括号，等不到圆括号。用区间表示就是用区间表示就是用区间表示就是请结合上两个例子学习。关于指数是分数和负数的学习仅以实例来学习，指数是负数：只要是指数是负数，去掉负数取倒数，有时候经常反过来用指数是分数：，分母是开方，分子是次方。知识点三，导数求导：求导是在5个基本函数上进行！， ， 这种形如的导数是把指数放下来，指数减1，5个基本函数的导数1，例如，,2，例如，3，这是一个非常特殊的导数，的导数等于他本身4，,5， 这是5个基

12、本函数的导数公式，以后的学习中，主要是由这5个结合构造出复杂的函数，但是我们都能分解成这5个基本函数，来求导，再后面的积分学习也是如此。例如：，求解：象这种由几个基本函数加在一起的，可以分开求，我们称为加法可分例如：，求解：象这种，基本函数前的系数（常数）可以直接拿出来，我们称为常数可透两个基本函数乘积的导数：等于一个求导乘以另一个，再加上这个乘以另一个求导，例如：，求分式的导数：例如 ，求至此，我们学习了由基本函数加减乘除构造成的函数的导数求法，综合举例：例如，已知，求这里特别注意，求微分：由导数的意义，求微分就是求，所以，我们主需要先求出，然后再写成这种形式就可以了，例如：，求解：因为，所

13、以复合函数求导，这是求导最难的，也是必考的，每题10分，其实也不难复合的意思就是一层套一层，我们可以分层从外到内求出。例如：，我们来求这3个复合函数的导数。1，主体是由构成，把看成括号里面内容，由于，所以，对主题按基本函数求导，再乘以括号内函数的导数，这个函数可以看成是，复合而成。2，主体是，由于，所以，3，主体是，由，所以，又可以依求出，因为，所以，所以，继续求下去 1， 2， 做复合函数的题，一定要对基本函数导数熟悉，特别是那5个基本函数，第一步就要认清这个主体是由哪个基本函数构成，对主题按基本函数求导，再乘以括号内函数的导数，考题举例，1设，求 解： 所以 2已知y =，求dy 解 因为

14、 = = 所以 3设 y，求dy解 因为 y 所以 dy = ()dx 4设，求。 解： 5已知，求 解： 6已知，求 解： 7已知，求；解：8已知，求dy 解： dy=9设 y，求dy解：10设，求 解：11已知，求解： 12设，求解： 13设 y，求 解 因为 y所以 14设，求解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 15已知，求 解：因为 所以 = 16设, 求.解：因为 所以 17已知y =，求dy 解 因为 = = 所以 18设，求19设，求。20已知，求。21设，求22设，求23.设，求解：由微分四则运算法则和微分基本公式得 24设，求 解：因为 所以 25.已知，求解：由导数运算

15、法则和复合函数求导法则得 26.设，求解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 27设，求 解：因为 所以 28设求解：= = dy=隐函数求导：隐函数求导就是对求导，然后再乘以。隐函数求导，是因为解不出，具体步骤，1，方程两边对求导，把里面的当成操作求导，但若把当成求导后，要对这个式子乘以，有但不求导的地方不乘，2，解出。例如：，求，解：所以，解出得考题举例：1由方程确定是的隐函数，求解 在方程等号两边对x求导，得 故 2由方程确定是的隐函数，求 解 在方程等号两边对x求导，得 故 3设函数由方程确定，求解 方程两边对x求导，得 当时，所以，函数在某一点的导数：此类题目是函数在一点的导数，就是

16、先求出函数导数，然后再带入计算，第一步，求出导数，第二步带入求值。括号里面是的值。1设，求.解：因为 = 所以 = = 0 2已知，求解：，所以 3已知，求；解 = 求积分：积分是求导的逆运算.例：已知，求导运算，。已知，求求导前的函数（称原函数）这一运算的数学符号，读作积分记：，其中是任意常数求导前的函数，求导过程求导后，添加一个，是因为，为了逻辑上的相等，求导，所以，注意五个基本函数的积分：以后直接利用公式求积分！ 注：后面都加上，加的结果表示所有原函数。求积分遵循：加法可分，常数可透原则。例：求积分，解：=例：求积分，=凑微分：凑微分遵循：若，则，这里，是指的导数，只需满足括号内相同即可

17、。例：求积分，解：= 1，利用基本函数，公式为，要把公式中的看成。2， 中的可理解为对求导，。 3，凑，是反过来运用，凑成有用的，然后用，求出积分。4，凑微分要求对5个基本公式要熟悉。例如：求积分，解：=例如：求积分，解：=不是所有的积分都可以用凑微分作出来，凑微分只是一种手段，能求的积分是很少的一部分，接下来学习分步积分，分部积分公式：，公式特点：是含有的两个因式的乘积，若见是乘积的形式，可考虑套用公式。分部积分的重点在于确定哪个是，哪个是，确定原则是找出来的求导后与的乘积可消，使得简单，可积。（可参照例题作）考题举例，1，求积分， = 写成公式的形式 = = = = =2，求积分，解：=3

18、，计算不定积分.解：=4，计算不定积分.解：由分部积分法=定积分：定积分就是在前面学的不定积分上加上限和下限，具体算法是先算出不定积分，然后上限（带入）减下限（带入）上限，也就是积分号上标那个数例如：不定积分=上限带入的值减下限带入的值 定积分=2下限，也就是积分号下标那个数定积分不要考题综合举例：1 解 = = （凑微分）2. 解：原式 3 解 = （凑微分）4 解： = = =(25-ln26) 最后算限的时候，可以分开，也可以合拢=5 解：=- = （分部积分法）6 解法一 = =1 注意 解法二 令，则=7 解 = 分子分母同除 =1+ ln 8. 解： = 分部积分9. 计算定积分解：由分部