《误差理论及数据处理》复习精华+测试

1、淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第一章 绪论1、研究误差的意义： 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以减小或消除误差； 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到 更接近于真值的数据； 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经 济条件下得到理想的结果。2、误差的定义及表示方法： 绝对误差=测量值-真值相对误差=绝对误差真值100%引用误差=示值误差量程100%误差理论及数据处理复习精华第1页淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai注：由于绝对误差可能为正值或负值，因

2、此相对误差也可能为正值或负值。3、误差来源：测量装置误差、测量环境误差、测量方法误差、测量人员误差4、误差分类：系统误差、随机误差、粗大误差。5、精度可分为：准确度、精密度、精确度。第二章误差的基本性质与处理1、随机误差的4个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。2、算术平均值X = ?-li，残余误差v = l i - Xn算术平均值的校核（考试潜规则，题目不要求也需要校核）：方法：当? I-二nX时，则? v i = 0 ；当? l , > nx时，则? vi > 0 ； 方法：当n为偶数时，？ v £- A ?当? I - < nX 时，则? vi <

3、0.vi2"当n为奇数时，I?（其中A为算术平均值X末位数的一个单位）23.标准差公式：s =（这是贝塞尔公式，单次测量标准差的估计值，我Vi n - 1 们计算标准差时一般就用它）测量列算术平均值的标准差SSx= .n4.测量的极限误差：（一）单次测量的极限误差dHm X= ±S （测量次数足够多且测量误差为正态误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第2页淮阴工学院科学男孩 nanhai分布）误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai若已知测量的标准差S ,选定置信系数t,则可由上式求得单次测量的极

4、限误差 查正态分布表P = 2F （t ）当 t=3 时，置信概率 P=99.73%，当 t=2.58 时，P=99%.（二）算术平均值的极限误差当测量次数较多时，dlim x = ±s x （正态分布）当测量次数较小时，dlim x= ±aS x，式中ta为置信系数，它由给定置信 概率P=1-a和自由度u二n-1来确定，需查t分布表，a为超出极限误差的概率, 通常a取0.01，0.02或0.05； s x为算术平均值的标准差，上面有。5 不等精度测量：权、加权算术平均值、单位权化、加权算术平均值的标准差 （由于不等精度测量考试一般不考，故略之）6. 粗大误差罗曼诺夫斯基准

5、则（又称t检验准则）：先剔除可疑值x j，然后求算术平均A 2? Vi值X和标准差s =，查t分布检验系数K （n,a）,若Xj - X > Ks ,则X（的 n - 2确含有粗大误差。格罗布斯准则：将Xi按从小到大排列x（1） £x（ 2）£? £x（n），a.若认为x（ 1）可疑，贝U g（i）=-也，b.若认为x（n）可疑，则g（n） =一xss当g（i）3 g 0 （n,a）时，即判别x（i）含粗大误差，应剔除之。狄克松准则：将xi按从小到大排列x（i）£x（2）£? £"）,误差理论及数据处理复习精华第3页淮

6、阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai若最大值X(n)含粗大误差，则X(n) - x(n -1)ri0 =X( n) - x( 1)x(n) - x( n -1)r11 =x(n ) - x(2 )X (n) - x(n -2)21 -X( n) - ( n) - x( n- 2)22 =X(n) - X( 3)( 2)若最小值X( 1)含粗大误差，则X( 1) - X( 2)10 =X( 1) - X( n )X(1)- X(2)11 =X( 1) - X( n- 1)X(1) - X(3)21 -X( 1) - X( n- 1)X(1

7、) - X(3)22 =X( 1) - X( n- 2 )误差理论及数据处理复习精华第4页淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai若5 > ro（ n,a ）,则认为含有粗大误差，由书上例题可见，a 一般取0.05，即P=95%. 注：当 n £7 时，用 r10 ； 8 £n £10 时，用 ； 11 £n £13 时，用 r21 ； n 3 14时，用 r22. 第三章误差的合成与分配1、设y = f （X1, X2丄，Xn ），若已知各个直接测量值的系统误差为DX1, DX2

8、,L , DXn，则函数系统误差 Dy =兰 DX1 + !-DX2 +L + 竺 DXn .?X1?X2?Xn2、令 =aj，则极限误差?Xidimy = 土. ? ajdiim Xi误差理论及数据处理复习精华第5页淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai以上两个均属误差的合成，下面是误差的分配：3、按等作用原则分配误差：等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相 等，即s yD1 = D2 = L = Dn = ，式中Di为函数的部分误差Jn由此可得siS y1= S y 1.n ?f / ?Xin a id 1 d 1或用极限误差

9、表示di =笔丄，式中d为函数的总极限误差，d i的？f / ?xi in ai为各单项误差的极限误差，n为函数f中变量的个数第四章（没学）第五章线性参数的最小二乘法处理1、按照处理的具体方法不同，可将最小二乘法分为经典最小二乘法 （即代数法） 和矩阵最小二乘法。最小二乘法原理指出，测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和为最小的条件下求得。在等精度中? v 2 =最小，在不等精度中为加权残余误差平方和最小，即？ p i v -=最小。我这里只总结等精度的。2、以t=2 （即含两个未知参数）的为例（书上写的乱七八糟的，看懂也累死了，。 b汗）设函数L与两个变量x, y成线性关系，即L=ax +

10、by （其中a、b为待定系数，即 待求的两个未知参数）。实验测得一系列数据Xi , yi ,l i，当然是很多组了，至少是t组（本例中t=2），现要确定a与b的具体值（最佳估计值）。因为二元线性方程组只需要两个方程 （即两组数据）就能解出a与b。这里由于是很多组，所以就要利用这很多组数 据来确定一个最佳的a与b。设测量了 n组，则记-u -u幺u?b?误差理论及数据处理复习精华第7页淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai经典法:其正规方程为:n?nnXi X a + ? Xi yi b = ? x hInnn误差理论及数据处理复习精华第

11、#页淮阴工学院科学男孩 nanhai? yi Xi a + ? yi y i b = ? y 丄? i =1i=1i =1（注意横纵观察一下正规方程的特点，以便记住）由上面的二元一次方程组解出a、 b即为所求。矩阵法：刃二（AtA） - 1 A L,直接求出X即得个人认为如果t=2，用矩阵法更简捷些，特别是对下面的精度估计。3、对测量数据的精度估计残差方程式Vi = l i - （aXi + by i ），这个式子中，I i是已测的，（aXi + by是求出a与b后将xyi代入其中算得的；2 p Vi 对测量数据的精度估计s =可一 n - t4、最小二乘估计量的精度估计（也就是a与b的精度啦

12、）设dn , di2 ?d 21, d22分别为下列各方程组的解:、nn? X X d11 + ? Xi y d12 = 1? i=1i=1'innTdn,d12? y i Xi dn + ? yi yi g = 0、nn2? Xi x i d21 + ? x i yi d 22 = 0巧? i =1i =1y 1i 1T d21 ,d 22nn21'22Q? yi x i d 21 + ? yi yi d?2 = 1? i=1i =1误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai则相应的标准差（

13、即a与b的精度）为s a = s , d11， s b = s . d 22至此，精度估计结束，实际解题时需先求出s，再求 s a、Sb误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai矩阵法求dn与 d 22为:T -1 R 11 （AA）=尅1：12 U，同样 s a = s d11，s b = s V22 d22 ?误差理论及数据处理复习精华第8页淮阴工学院科学男孩 nanhai补充（有关线性代数的基本知识）：转置矩阵和矩阵的乘法就不用说了吧这里只说一下二阶矩阵逆矩阵的求法对于二阶矩阵A =b u则其逆矩阵A-

14、 1*A,其中A*为矩阵A的伴随矩阵,误差理论及数据处理复习精华第9页淮阴工学院科学男孩 nanhai误差理论及数据处理复习精华第#页淮阴工学院科学男孩 nanhai1ad - bc?- c4 A|A|为矩阵A的行列式，故A- = -p-p =A第六章回归分析1、表达变量之间关系的方法有散点图、表格、曲线、数学表达式等。变量之间的关系可分为两种类型：函数关系和相关关系。简而言之，所谓的回归分析就是从大量的数据中确定变量之间的内在关系。2、一元线性回归设？ =4+ bx，则b = * , d = y - bX （即回归方程过点（X, y）1 XX其中 lxy = ?X i y i-Xi ?yi,

15、l XX = ?Xi 2 -1 （?XJ2-N -N -1记忆口诀：“里乘-外乘”，怎么样，一辈子也忘不了了吧，o（g _n）o哈哈N_第七章动态测试数据处理基本方法1、按照被测物理量是否随时间变化，测试技术可分为静态测试和动态测试两大 类。静态测试的被测量是静止不变的，仪器的输入量为常量；动态测试的被测量 是随时间或空间而变化的，仪器的输入量及测试结果（数据或信号）也是随时间 而变化的。2、表示物理现象或过程的任何数据，都可以分为确定性的和随机性的两大类。 能够用明确的数学关系式描述的数据成为确定性数据；但在工程实践中还有许多动态测试数据是不能用明确的数学关系式来表达的， 这种数据称为随机性

16、的 或非确定性的数据。动态测试数据的特征可以用时域描述和频域描述。3、随机过程及其基本特征：自变量为时间t的随机函数，通常叫随机过程； 自变量为空间坐标l的随机函数，通常叫随机场。随机过程的特征量：随机变量通常用它的概率分布函数、算术平均值和标准 差作为特征量来表示。同样，随机过程也有它的特征量，这些特征量不像随机变 量的特征量那样表现为一个确定的数， 而是表现为一个函数。常用四种统计函数 来表示，即：概率密度函数，均值、方差和方均值、自相关函数、谱密度函数。误差理论及数据处理测试题一、填空题：1. 按照误差的特点和性质，误差可分为、和。2. 测量范围上限为19600N的测力计，在标定示值为1

17、4700N处的实际作用力为14778.4N,则此测力计在该刻度点的引用误差为 。3. 按数字舍入规则，保留四位有效数字：（1）3.14150；（2）9.52050。4. 用两种方法测量L1=60mm，L2=100mm，测得值分别为60.005mm和 100.008mm，贝U第 _种方法测量精度高。5. 计算标准差有、等几种方法。6. 随机误差的基本特征为 、。7. 表示物理现象或过程的任何数据，可分为 和两大类。8. 反映测量结果与真实值接近程度的量，称为精度，精度可分为、。9. 最小二乘法原理指出，测量结果的最可信赖值应在 的条件下求得。10. 变量之间的关系可分为和种类型。11. 预防甲型

18、H1N1流感期间，由温度计测得某同学的体温为 38.6C, 387C,388C, 39.0C，其权分别为1, 3, 2，1，贝U该同学体温的加权算术平均值 为C。二、简答题：1. 简述研究误差的意义。2. 误差产生的原因（误差的来源）有谁?3. 什么叫系统误差？系统误差可分为哪几类？发现系统误差的方法有谁？减小 和消除系统误差的方法有谁？4. 何谓等精度测量？何谓不等精度测量？5. 什么叫回归分析？回归分析主要解决哪几个方面的问题？6. 对于一元非线性回归，其回归曲线函数类型的选取和检验有哪几种方法?7. 常用的描述随机过程特征量的四种统计函数有谁？三、计算题：1.对某量进行6次测量，测得数据

19、如下：802.40, 802.50,802.38,802.48,802.42,802. 46求算术平均值及其极限误差。2. 对某量进行15次等精度测量，测得数据为20.42,20.43,20.40,20.43,20.42,20.43, 20.39, 20.30, 20.40, 20.43, 20.42, 20.41, 20.39, 20.39, 20.40,若 这些测得值已消除系统误差，试分别用罗曼诺夫斯基准则、格罗布斯准则和 狄克松准则判断该测量列中是否含有粗大误差。3. 用弓高弦长法间接测量大直径 D，弓高和弦长的测得值为h=50mm,s=500mm, 已知测量的系统误差h= 0.1mm,

20、 s=1mm,测量的极限误差为d ,imh =± 0.05mm d|ims = ± 0.1mm,试求测量结果。4. 测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径D和高度h,根据函数式2V= h求体积V。已知直径和高度的公称值为 D°=20mm, h0=50mm,若要4求测量体积的相对误差为1%,试确定直径D和高度h的极限误差。5. 测量方程为3x+y=2.9x-2y=0.92x-3y=1.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。6.测量某导线在一定温度x下的电阻值y得如下结果:x/C19.125.030.136.040.046.550.0y/W76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10作散点图，观察y与x之间是否成线性关系；求y与x之间的线性回归方程。以上题目都比较简单，只要方法会，不愁做不对故答案我就懒得写了， （ A_A ）/附：用计算器求n个数据的和工X、平方和工x2、平均值x、标准差估计值s的方法: 用下面的方法考试时就方便多了，。 b汗当然，不同的计算器可能方法不太一样，说明书上一般都有详细介绍。下面以我 的计算器为例，具体是啥牌子的计算器我也忘了。【例】用计算器求下列数据：2.5, -1，4，4，4,-2, 3.5, 6的a）和；b）平方和；c）平均值；d）