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文档简介
1、高考复习资料第2课时范围、最值问题考点1范围问题综合性(2021·威海模拟)已知椭圆c:1(ab0)的右焦点为f(1,0),且点p在椭圆c上,o为坐标原点(1)求椭圆c的标准方程;(2)设过定点t(0,2)的直线l与椭圆c交于不同的两点a,b,且aob为锐角,求直线l的斜率k的取值范围解:(1)由题意,得c1,所以a2b21.因为点p在椭圆c上,所以1,所以a24,b23.所以椭圆c的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2,点a(x1,y1),b(x2,y2)由得(4k23)x216kx40.因为48(4k21)0,所以k2.由根与系数的关系,得x1x2,x1x2.因为aob为
2、锐角,所以·0,即x1x2y1y20.所以x1x2(kx12)(kx22)0,即(1k2)x1x22k(x1x2)40,所以(1k2)·2k·40,即0,所以k2.综上可知k2,解得k或k.所以直线l的斜率k的取值范围为.圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法
3、将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围已知椭圆c:1(a>0,b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆c的标准方程;(2)设直线l:ykxm与椭圆c交于m,n两点,o为坐标原点若kom·kon,求原点o到直线l的距离的取值范围解:(1)由题意知e,2b2.又a2b2c2,所以b1,a2.所以椭圆c的标准方程为y21.(2)设m(x1,y1),n(x2,y2),联立方程得(4k21)x28kmx4m240.依题意,(8km)24(4k21)(4m24)>0,化简得m2<4k21.x1x2,x1x2,y1y2(kx1m)(kx2m)k2
4、x1x2km(x1x2)m2.若kom·kon,则,即4y1y25x1x2.所以(4k25)x1x24km(x1x2)4m20.所以(4k25)·4km·4m20,即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0,化简得m2k2.由得0m2<,<k2.因为原点o到直线l的距离d,所以d21.又<k2,所以0d2<,所以原点o到直线l的距离的取值范围是.考点2最值问题综合性考向1利用几何性质求最值在平面直角坐标系xoy中,p为双曲线x2y21右支上的一个动点若点p到直线xy10的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为_题目解析:直线xy10
5、与双曲线x2y21的一条渐近线xy0平行,这两条平行线之间的距离为.又p为双曲线x2y21右支上的一个动点,点p到直线xy10的距离大于c恒成立,则c,即实数c的最大值为.考向2利用函数、导数法求最值如图,已知椭圆y21上两个不同的点a,b关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围;(2)求aob面积的最大值(o为坐标原点)解:由题意知m0,可设直线ab的方程为yxb,a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中点为m.联立方程消去y,得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点,所以2b220,则x1x2,y1y2.(1)将ab中点m代入直线方程ymx,解得b.由得m或m.故
6、实数m的取值范围为.(2)令t,则t2.则|ab|·,点o到直线ab的距离为d.设aob的面积为s(t),则s(t)|ab|·d.当且仅当t2时,等号成立故aob面积的最大值为.考向3利用均值不等式求最值(2020·汉中市模拟)圆o的方程为:x2y29,p为圆上任意一点,过p作x轴的垂线,垂足为d,点q在pd上,且.(1)求点q的轨迹c的方程;(2)过点f(,0)的直线与曲线c交于a,b两点,点m的坐标为(3,0),mab的面积为s,求s的最大值,及直线ab的方程解:(1)设p(x1,y1),q(x,y),则d(x1,0),(0,y1),(0,y)因为,所以把p(
7、x1,y1)代入圆的方程得x2y29,所以q的轨迹c的方程为1.(2)由题意易知直线的斜率不为0,设直线ab的方程为xty,a(x1,y1),b(x2,y2)联立消去x得(4t29)y28ty160.由根与系数的关系,得y1y2,y1y2,smab×(3)×|y1y2|×12(3)·12(3)×.当且仅当t±时取等号,所以mab的面积有最大值为.当mab的面积为最大时,直线ab的方程为 y2x2或y2x2.最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系,利用平面几何和题目解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点
8、的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数,通过求解函数的最值解决(一般方法、均值不等式法、导数法等)(2020·泸州市高三三模)已知椭圆e:1(a>b>0)的左、右焦点为f1,f2,离心率为,过点f2且垂直于x轴的直线被椭圆e截得的弦长为1.(1)求椭圆e的方程;(2)若直线ykxm(k>0)交椭圆e于c,d两点,与线段f1f2和椭圆短轴分别交于两个不同点m,n,且|cm|dn|,求|cd|的最小值解:(1)由题意可知e,且1,解得a2,b1,c.所以椭圆e的方程为y21.(2)把ykxm(k>0)代
9、入y21得(14k2)x28kmx4m240.设c(x1,y1),d(x2,y2),则x1x2,x1x2.又m,n(0,m),|cm|dn|,所以xmx1x2xn,即xmxnx1x2.所以x1x2.因为ykxm(k>0)与线段f1f2和椭圆短轴分别交于两个不同点m,n,所以m0.又k>0,则k,故x1x22m,x1x22m22.因为直线ykxm(k>0)与线段f1f2及椭圆的短轴分别交于不同两点,所以2m,即m,且m0,所以|cd|x1x2|.因为m,且m0,所以,当m或m时,|cd|的最小值为.在平面直角坐标系xoy中,已知圆o:x2y24,椭圆c:y21,a为椭圆c的右顶
10、点,过原点且异于x轴的直线与椭圆c交于m,n两点,m在x轴的上方,直线am与圆o的另一交点为p,直线an与圆o的另一交点为q.(1)若3,求直线am的斜率;(2)设amn与apq的面积分别为s1,s2,求的最大值四字程序读想算思已知圆的方程和椭圆的方程,直线与圆、椭圆都相交1.向量3如何转化?2如何表示三角形的面积?把用直线am的斜率k来表示转化与化归求直线am的斜率,求amn与apq的面积之比1.用a,p,m的坐标表示;2利用公式sabsin c表示并转化进而用均值不等式求其最大值把面积之比的最大值转化为一个变量的不等式思路参考:设直线am的方程为yk(x2),k<0,利用yp3ym求
11、解解:(1)设直线am的方程为yk(x2),k<0,将yk(x2)与椭圆方程y21联立,得k2(x2)2(2x)(2x)求得点m的横坐标为xm,纵坐标为ym.将yk(x2)与圆方程x2y24联立,得k2(x2)2(2x)(2x)求得点p的横坐标为xp,纵坐标为yp.由3得yp3ym,即.又k<0,解得k.(2)由m,n关于原点对称,得点n的坐标为xn,yn,所以直线an的斜率为kan.于是,同理.所以·,当且仅当16k2,即k时等号成立,所以的最大值为.思路参考:设直线am的方程为yk(x2),k<0,由3转化为xpxa3(xmxa)求解解:(1)设直线am的方程为
12、yk(x2),k<0,代入椭圆方程,整理得(4k21)x216k2x4(4k21)0.由根与系数的关系得xaxm,而xa2,所以xm.将yk(x2)代入圆的方程,整理得(k21)x24k2x4(k21)0.由根与系数的关系得xaxp,而xa2,所以xp.由3,得xpxa3(xmxa),即23,解得k22.又k<0,所以k.(2)因为mn是椭圆的直径,直线am,an斜率均存在,所以kamkan,即kkan,所以kan.下同解法1(略)思路参考:设直线am的方程为xmy2,利用yp3ym求解解:(1)设直线am的方程为xmy2(m0),将其代入椭圆方程,整理得(m24)y24my0,得
13、点m的纵坐标为ym.将xmy2代入圆的方程,整理得(m21)y24my0,得点p的纵坐标为yp.由3,得yp3ym,即.因为m0,解得m2,即m±.又直线am的斜率k<0,所以k.(2)因为mn是椭圆的直径,直线am,an斜率均存在,又kamkan,由(1)知kam,所以有kan,则kan.又ym,yp,所以.同理.所以·.下同解法1(略)1本题考查三角形面积之比的最大值,解法较为灵活,其基本策略是把面积的比值表示为斜率k的函数,从而求其最大值2基于新课程标准,解答本题一般需要掌握数学阅读技能,运算求解能力,体现了数学运算的核心素养已知点a(0,2),椭圆e:1(a&
14、gt;b>0)的离心率为,f是椭圆的右焦点,直线af的斜率为,o为坐标原点(1)求椭圆e的方程;(2)设过点a的直线l与e相交于p,q两点,当opq的面积最大时,求l的方程解:(1)设f(c,0),由题意知,解得c.因为e,所以a2,b2a2c21.所以椭圆e的方程为y21.(2)(方法一)显然直线l的斜率存在设直线l:ykx2,p(x1,y1),q(x2,y2),且p在线段aq上由得(4k21)x216kx120,所以x1x2,x1x2.由(16k)248(4k21)>0,得k2>.则sopqsaoqsaop×2×|x2x1|.令t,则4k2t23且t>0,于是sopq1,当且仅当t2,即k±时等号成立,所以l的方程为yx2或yx2.(方法二)依题意直线l的
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