2022版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节导数的概念与运算学案含解析新人教A版

1、高考复习资料导数及其应用课程标准命题解读1.了解导数概念的实际背景，体会导数的内涵与思想2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数4.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性5.能求简单的复合函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间6.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上的最值7.体会导数与单调性、极值、最值的关系.考查形式：一般为2个客观题，1个解答题，客观题难、中、易都可命题，解答题通常为压轴题，难度较大考查内容：导数的运算、导数的几何意义及应用、利用导数研究函数的性质(包含函数的单调性、求

2、函数的极值和最值等)、利用导数研究函数的零点、解决不等式问题等备考策略：(1)熟练掌握导数的运算公式和法则，重视导数几何意义的应用，规范用导数研究函数单调性、极值、最值的解题步骤，理解导数法研究函数零点、不等式等问题的原理(2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.第一节导数的概念与运算一、教材概念·结论·性质重现1函数yf (x)在xx0处的导数(1)定义：如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf (x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf (x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f (x0)或

3、y|，即f (x0) .(2)几何意义：函数yf (x)在xx0处的导数f (x0)的几何意义，是在曲线yf (x)上点(x0，f (x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf (x0)f (x0)(xx0)(1)f (x0)代表函数f (x)在xx0处的导数值，f (x0)是函数值f (x0)的导数，且f (x0)0.(2)曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切时只有一个公共点(3)函数yf (x)的导数f (x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f (x)|反映了变化的快慢，|f (x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”(4)奇函

4、数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2函数yf (x)的导函数当x变化时，yf (x)就是x的函数，我们称它为yf (x)的导函数(简称导数)yf (x)的导函数有时也记作y，即f (x)y .3导数公式基本初等函数导函数f (x)c(c为常数)f (x)0f (x)x(q，且x0)f (x)x1f (x)sin xf (x)cos xf (x)cos xf (x)sin xf (x)ax(a0，且a1)f (x)axln af (x)exf (x)exf (x)logax(a0，a1，x>0)f (x)f (x)ln x(x>0)f (x)4.导数的

5、运算法则若f (x)，g(x)存在，则有：(1)f (x)±g(x)f (x)±g(x)(2)f (x)g(x)f (x)g(x)f (x)g(x)(3)(g(x)0)5复合函数的导数对于由函数yf (u)和ug(x)复合而成的函数yf (g(x)，它的导数和函数yf (u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux.二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)f (x0)与f (x0)表示的意义相同(×)(2)求f (x0)时，可先求f (x0)再求f (x0)(×)(3)曲线

6、的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线(×)(5)函数f (x)sin(x)的导数是f (x)cos x(×)2曲线yx311在点p(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()a9b3c9d15c题目解析：因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点p(1,12)处的切线方程为y123(x1)令x0，得y9.3已知函数f (x)x(2 020ln x)，若f (x0)2 021，则x0等于()ae2 b1 cln 2 deb题目解析：f (x)2 020ln xx×2 021ln x.由f (x

7、0)2 021，得2 021ln x02 021，则ln x00，解得x01.4已知函数f (x)exln x，f (x)为f (x)的导函数，则f (1)的值为_e题目解析：由题意得f (x)exln xex·，则f (1)e.5若曲线yex在点p处的切线平行于直线2xy10，则点p的坐标是_(ln 2,2)题目解析：设p(x0，y0)，因为yex，所以yex.所以曲线在点p处的切线斜率ke2.所以x0ln 2.所以x0ln 2.所以y0eln 22.所以点p的坐标为(ln 2，2)考点1导数的计算基础性1(多选题)下列求导运算正确的是()a(3x)3xln 3b(x2ln x)2

8、xln xxcd(sin x·cos x)cos 2xabd题目解析：因为，所以c项错误其余都正确2(2020·全国卷)设函数f (x).若f (1)，则a_.1题目解析：f (x)，则f (1)，解得a1.3设函数f (x)的导数为f (x)，且f (x)f ·sin xcos x，则f _.题目解析：因为f (x)f sin xcos x，所以f (x)f cos xsin x.所以f f cos sin ，即f 1.所以f (x)sin xcos x，f (x)cos xsin x.故f cos sin .4求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y

9、ln x；(3)y.解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.导数的运算方法(1)乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)指数或对数形式：先化为和或差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导考点2导数的几何意义综合性考向1求切线方程(1)(2020·全国卷)函数f (x)x42x3的图象在点(1，f (1)处的切线方程为()ay2x1by2x1cy2x3

10、dy2x1b题目解析：因为f (x)x42x3，所以f (x)4x36x2，f (1)1.所以f (1)2.因此，所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1.(2)已知函数f (x)xln x若直线l过点(0，1)，且与曲线yf (x)相切，则直线l的方程为_xy10题目解析：点(0，1)不在曲线f (x)xln x上，设切点坐标为(x0，y0)因为f (x)1ln x，所以直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得所以直线l的方程为yx1，即xy10.求曲线的切线方程的2种类型及方法(1)求“在”曲线yf (x)上一点p(x0，y0)处的切线方程：点p(x0，y0)为切点，切线斜率为kf

11、(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0f (x0)(xx0)(2)求“过”曲线yf (x)上一点p(x0，y0)的切线方程：首先检验点p是否在曲线上如果在曲线上，则要分在点p和过点p两种情况若点p不在曲线上，则要设切点，即“待定切点法”设切点a(x1，y1)，则以a为切点的切线方程为yy1f (x1)(xx1)；由点p(x0，y0)在切线上，点a(x1，y1)在曲线yf (x)上，得到方程组求出切点a(x1，y1)，代入方程yy1f (x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程本例(2)中曲线yf (x)与x轴的交点为p，求曲线yf (x)在点p处的切线方程解：由f (x)0得xln

12、 x0，即x1，所以点p的坐标为(1,0)又yln x1，所以曲线在点p处的切线斜率为y|x1ln 111.故切线方程为yx1.考向2求切点坐标设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x>0)上点p处的切线垂直，则点p的坐标为_(1,1)题目解析：因为函数yex的导函数为yex，所以曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.设p(x0，y0)(x0>0)，因为函数y的导函数为y，所以曲线y(x>0)在点p处的切线的斜率k2.由题意知k1k21，即1×1，解得x1.又x0>0，所以x01.因为点p在曲线y(x>0)上，所以y01.故点p的坐标为

13、(1,1)求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是，先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标将横坐标代入函数题目解析式求出切点的纵坐标考向3求参数的值或取值范围(2019·全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()aae，b1bae，b1cae1，b1dae1，b1d题目解析：因为yaexln x1，所以切线的斜率ky|x1ae12.所以ae1.所以切点坐标为(1,1)将(1,1)代入y2xb，得2b1，b1.故选d利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组

14、)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围提示：(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线yf (x)上考向4导数与函数图象的关系已知函数yf (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf (x)的图象如图所示，则该函数的图象是()b题目解析：由yf (x)的图象是先上升后下降可知，函数yf (x)图象的切线的斜率先增大后减小故选b导数与函数图象的关系函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况由切线的斜率大小可以判断出函数图象升降的快慢1设函数f (x)x3(a1)x2ax.若f (x)为奇函数，则曲线yf (x)在点(0,0)处的切线方程为()ay2x byxcy2x dyxd题目解析：因为函数f (x)x3(a1)·x2ax为奇函数，所以a10，则a1.所以f (x)x3x.所以f (x)3x21.所以f (0)1.所以曲线yf (x)在点(0,0)处的切线方程为yx.2若函数f (x)ln x2x2ax存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()a(，6b(，62，)c2，