复合函数与隐函数微分课件

1、73多元复合函数微分法多元复合函数微分法 一多元复合函数微分法一多元复合函数微分法 （多元复合函数求导法则）（多元复合函数求导法则） 1多元复合函数多元复合函数 若若 z=f(u,v),u=z=f(u,v),u= (x,y),v=(x,y),v= (x,y)(x,y)， 则称则称z z为为x,yx,y的的复合函数复合函数 z=f z=f (x,y),(x,y), (x,y)(x,y) 例如：例如：z=ez=eu usinv u=xy v=x+ysinv u=xy v=x+y 则函数则函数z=ez=exyxysin(x+y)sin(x+y)是是x,yx,y的复合函数的复合函数推广：推广： z=f

2、(u,v,w),u=z=f(u,v,w),u= (x,y),v=(x,y),v= (x,y)(x,y)，w=w= (x,y)(x,y) z=f z=f (x,y),(x,y), (x,y),(x,y), (x,y)(x,y)2.2.多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 例例1 设z=ez=eu u sinv sinv 而u=xy,v=x+y u=xy,v=x+y 求 和 解：解：zxzysin()xyzexysin()cos() sin()cos()xyxyxyzyexyexyxeyxyxysin()cos() sin()cos()xyxyxyzxexyexyyexxyxy 注记注记： 例

3、例1的解法是将的解法是将u,vu,v代入代入f(u,v)f(u,v)，再按一元复再按一元复 合函数求导法则分别求合函数求导法则分别求 ， 。以下我们给出直接从函数以下我们给出直接从函数f(u,v)f(u,v)的偏导数的偏导数 ， 及及 ( (x,y),x,y), (x,y)(x,y)的偏导数的偏导数 ， ， ， 求求 ， 的公式的公式。zxzyzxzyfufvxyyx 定理定理（链式法则链式法则）： 若若 函数函数u=u= (x,y),v=(x,y),v= (x,y)(x,y)在点在点( (x,y)x,y) 有偏导数；有偏导数； 函数函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点在对应点( (u

4、,v)u,v)可微。可微。则则 复合函数复合函数 z=fz=f (x,y),(x,y), (x,y) (x,y) 在点在点 ( (x,y)x,y)有对有对x,yx,y的偏导数，且的偏导数，且(1)zzuzvxuxvx(2)zzuzvyuyvy证明：证明：设设 x x：xx+xx+ x x；y y不变不变 则则 u u：uu+uu+ u u；v v：vv+vv+ v v 进而进而 z: zz+z: zz+ z z 由于由于z=f(u,v)z=f(u,v)在在( (u,v)u,v)可微可微, , 即有即有 z=dz+o(z=dz+o( )=)= 上式除以上式除以 x x，得得 两端取极限（当两端取

5、极限（当 xx0 0时），就得时），就得 同理同理( )zzuvouv ()zzuzvoxuxvxx0limxzz uz vxu xv x (1)zz uz vxu xv x (2)zzuzvyuyvy 例例1 z=ez=eu u sinv u=xy v=x+ysinv u=xy v=x+y 解：解：sinuzevucosuzevvuyxuxy1vx1vy zzuzvxuxvx sincos1 sin()cos()uuxyev yeveyxyxyzzuzvyuyvysincos1 sin()cos()uuxyev xevexxyxy 注记：注记：( , ,)( , )( , )( , )zf

6、u v wuu x yvv x yww x y (3)zzuz vzwxu xv xw x (4)zzuzvzwyuyvywy 当当则则( , , )( , )zf u x yux y(5)zzufxuxx(6)zzufyuyy当当则则( , )( )( )zf u vuxvx(7)dzz duz dvdxu dxv dx 式 (3)、(4)可以推广到有三个以上的中 间变量、两个以上自变量的情形； 式 (5)、(6)可以推广到有一个以上的中 间变量、两个以上自变量的情形； 式 (7) 可以推广到有两个以上的中间变 量的情形。例例2 求偏导数求偏导数 设设 z=e z=e u usinv u=x

7、+y v=x-ysinv u=x+y v=x-y 则则sin()x yzexyzzuzvxuxvx解解： 求求,zzxysin1cos1sin()cos()uux yevevexyxy zzuzvyuyvysin1cos( 1)sin()cos()uux yevevexyxy 求求解：解： 设设 Q=f(u,v,w) u=x v=xy w=xyz Q=f(u,v,w) u=x v=xy w=xyz 则则(1)( ,)( , , )Qf x xy xyzfCx y zQfufvfwxuxvxwxQfufvfwyuyvywyQfufvfwzuzvzwz,QQQxyz1231231ffyfyzfy

8、fyz f 123230ffxfxzx fxz f 123300fffyxxy f 例例3 求导数求导数 设设 求求 sincosuvzeux vxdzdxdzz duz dvdxu dxv dx解解sin cos22sin coscos( sin )(cossin)cos2uvuvxxxxe vxe uxexxex设设 解：解： dzfz dydxxy dxarctan(),xdzzxyyedx求22221 ()1 ()(1)1xxxyxexyxyxex e例例4 设设f(x,y)f(x,y)为为k k次齐次函数且可微，验证公式次齐次函数且可微，验证公式 齐次函数的齐次函数的Euler 公式

9、公式 解：解：由已知得由已知得 对对 求导，得求导，得 上式对任意的上式对任意的 0 0都成立，特别地当都成立，特别地当 =1=1时也成立，时也成立， 即即( ,)ffxyk f x yxy(,)( , )kfxyf x y1( , )kf duf dvkf x yu dv d112( , )kfxfykf x y ( ,)ffxyk f x yxy例例5 设设 ，其中，其中F F可微，试证可微，试证yz xy xFx zzxyxyzxy2zyyyyyyyFxFyFFxxxxxxx1zyxxFxFyxxzzyyyxyxyxFyFxyyFxyxxxyxyxyxFxyzx注记注记： 求多元复合函数

10、的偏导数应注意到：求多元复合函数的偏导数应注意到： 必须必须严格分清自变量严格分清自变量与与中间变量中间变量，及其关系；，及其关系； 求对某个自变量的偏导数时，应经过一切有求对某个自变量的偏导数时，应经过一切有 关的中间变量（纵向的和横向的）最后归结关的中间变量（纵向的和横向的）最后归结 到自变量；到自变量； 有几个中间变量，就应含有几项；有几次复有几个中间变量，就应含有几项；有几次复 合，每项就应有几个因子相乘。合，每项就应有几个因子相乘。3 3一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性 对于对于 z=f(x,y)z=f(x,y) （1 1）当当x,yx,y是自变量时是自变量时, , （2 2

11、）当当x,yx,y是中间变量时，例如是中间变量时，例如 x=x(t,s), y=y(t,s)x=x(t,s), y=y(t,s)时时 (3) (3) 比较（比较（*）和（）和（*）知形式不变。）知形式不变。(*)zzdzdxdyxy(*)zzdzdtdstszxzyzxzydtdsxtytxsyszxxzyydtdsdtdsxtsytszzdxdyxy 74 隐函数微分法隐函数微分法 1 1一个二元方程的情形一个二元方程的情形 设设 F(x,y)=0 F(x,y)=0 确定确定 y=f(x)y=f(x)的导数的导数 则则 Fx,f(x)=0Fx,f(x)=010FF dyxy dxxyFFdyxFdxFy dydx 例例6 求求 解：解：2sin0 xyex ydydx2xxFey cos2yFyxy 2cos2xxyFdyeydxFyxy 2( , )sinxF x yyex y2 2一个三元方程的情形一个三元方程的情形 设设 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 确定确定 z=f(x,y) z=f(x,y) 则则 0 xzFFFzzxzxxF 0yzFFFzzyzyyF 例例7 确定确定z=f(x,y) z=f(x,y) 求求解：解：,zzxysin0zxyzcosxyzFyzFxzFzxyc