可测函数的收敛性(2)课件

1、第三章 Lebesgue可测函数f 和fn是定义在可测集E上的可测函数和可测函数列| )()(|, 0, 0,xfxfNnNExnxx有一致收敛:| )()(|, 0, 0 xfxfExNnNn有Effn于点点收敛: 记作1-0.20.40.60.810.20.40.60.81例：函数列fn(x)=xn , n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛Eeaffn于.feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集即：去掉某个零测度集，在留下的

2、集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于.0ffnEfeEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集Euaffn于.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意 （ ）适当小小| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛| )()(|),1,()(, 0, 0

3、, 02121xfxfnneExNNnNmeEen使可测子集, 0(1),(0)(nxnxnxfn注：从定义可看出，l几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）l依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何)( ffEffnmn于0lim, 0|ffnnmE有|0,0,0,nffNn NE 有m|0,0,0,nffNnNE 有m0lim,0|ffnnmE有0, 0|不收敛于使得ffnmE|0,0,0,nffNnNE使得m例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但

4、去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛,即几乎一致收敛.1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn即：于Euaffn.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于，则.Eeaffn于若.设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛0ffnE即：于Eeaffn. .knknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使11( )( ):1,1,|( )( )|nnkkfxf xNnNf

5、xf x 不收敛使111 :( )( ) :|( )( )|nnkkNn Nx fxf xxfxf x不收敛于111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfx引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，|. .0,lim()0nnffNnNff a eEmE若于，则有0)()lim()(lim, 0|1|ffNnNffNnNffNnNnnnEmEmEmmE）（有时，从而当)(0)()(0)(|11|11ffNnNkffNnNnknEmEm)(|1|*nfnfEEE证明：由于 为零测度集，故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：0)(0.|111knnffN

6、nNkffnEmmEEeaff于关于N单调减小kNnkffkknEmNk2)(, 0, 010,1|有从而kknkknkkffNnkffNnkEmmeEeeEe21|1|1)(),(11且可测，则令)(|11knkffNnkcEeEeEE而0)(lim,0| ffNnNnEm有证明：又引理知)()(|)()(|11xfExfxfxfExNnNnknkkk一致收敛到在上即，有，故)4()3()2() 1 ()6()5( 引理：mE+)3(0)(lim|ffNnNnEm)2()(0)(0)() 1 (.|1|111ffNnNffNnNknnknEmEmEeaff于)6()5(0)(lim|EffE

7、mnffNN于Lebesgue定理)4(.Euaffn于)4()3()2() 1 ()6()5(Lebesgue定理的证明的证明引理：mE+下证明 由(3)推出(2)0)(0)()(, 0|1|1ffNnNffNnffNnNnnnEmNEmEm可知）（由)3(0)(lim|ffNnNnEm)2()(0)(0)() 1 (.|1|111ffNnNffNnNknnknEmEmEeaff于)4()3()2() 1 ()6()5(Lebesgue定理的证明的证明引理：mE+下证明 由(4)推出(3)| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExKnKmeEen有可测子集可知：于由Euaffn.|()

8、()nnffffn Nn KNKmEmEme从而当时，)4(.Euaffn于)3(0)(lim|ffNnNnEm|lim()0nffNnNmE即的逆定理成立不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集1| )()(|),1,()(, 0,2121xfxfnneRxNNnNmeRen有可测子集去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集n, 0(1),(0)(nxnxnxf例 在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,但fn

9、不几乎一致收敛于f于R+ 1-0.20.40.60.810.20.40.60.81去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛，但去掉任意零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛。例：函数列fn(x)=xnn=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛；处处收敛于不一致收敛于 ，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛于 说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合(0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列xn, 使得 收敛到1，故：()nnx12,0,|( )( )| ( )nnnnnNnNN xE ef xf xx 有从而E-e 上不一致收敛于 Eeaf

10、fn于则.，于即：若Euaffn.去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛)(,0 xfeEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛0 ffnE1nnEE 令1()()0()nnm EEm EEn，则()0m EE从而nnEE1另外显然 在 上点点收敛于所以 在E上a.e.收敛于n1EEnnnEEm1)(证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 在 En上一致收敛于 ，当然 在En 上点点收敛于 Eeaffn于则.，于即：若Euaffn.Effmn于Euaffn于.Eeaffn于.mE+Lebesgue定理 mE+EffEmEmmnffNnNffN

11、nN于所以从而0)(lim)(lim|0)(lim, 0|ffNnNnEm有证明：由引理知，Eeaffn于若.Effmn于，则 定理2.4设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1)(limlim, 10|，有对nmmEnffnnn, 2 , 1)(, 0(1),(0nxfnxnxn 在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1.0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f80lim,(

12、limlim, 1021212|kkknkiikffnmmE有,0)(),()()(21,2(2xfxxfxfkkkiiin令 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,Effmn于则说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；Effmn于Euaffn于.Eeaffn于.mE+Lebesgue定理 mE+子列Eeaffikn于.令mE+，则 对fn 的任意子列fnk ,存在fnk的子列 fnki ，使得Effmn于证明1121|2,0,knknkkffffEkNnNE由于可知有m(*)0)(lim|ffNk

13、NknEm从而Eeaffkn于故.Euaffkn于.1121|2(1,2,3,)knkkffmEk从而可取得n1 n2 n3 nk0， ,有Ebgafbgafmnn于) 1 (EgfgfEgfgfmnnmnn于于),inf(),inf(,),sup(),sup() 3(Effmn于| )2(,EggEffmnmn于于定理2.6：令mE+ ， 则证明见板书.,EfggfEggEffmEmnnmnmn于则于于若设 |, 0, 0, 0fggfnnENnN使|0,0,*nnkkkfgfgnE故和一自然数列使（ ）EeaffffEffikikkknnnmn于，使的子列知存在于由.,EeaggggEggijkijkikiknnnmn于，使的子列知存在于由.,，于从而Eeafggfijkijknn.，于得）定理（再由EfggfmELebesguemnnijkijk,Egfgfmnn于这与（*）式矛盾，所以Egfgfmnn于证明：假设 不成立，则注：令 ，则 gn不