解析几何第四版知识题目解析

1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：(x 1)2 (y 3)2 (z 2)225x y z 20且(1)母线平行于X轴；(2)母线平行于直线 x y, z c，试求这些柱面的方程。 解：(1)从方程(X 1)2 (y 3)2 (z 2)225x y z 202 2 2中消去 x，得到：(z y 3) (y 3) (z 2)25223即：y z yz 6y 5z 02上式中消去t后得到：x223z 2xy 8x 8y 8z 260此即为要求的柱面方程。(2)取准线上一点Mo(Xo,yo,zo)，过Mo且平行于直线xy的直线方程为zcxXotxoxt

2、yyotyoytzZoZoz而Mo在准线上，所以(xt1)2(yt 3)2 (z2)225x y z 2t 202此即为要求的柱面方程。而Mo在准线上，所以:x ty2(z 2t)2x t2( z 2t)* *2 2 2消去 t，得到：4x 25y z 4xz 20x 10z0此即为所求的方程。3、求过三条平行直线 x y z, x 1 y z 1,与x 1 y 1 z 2的圆柱面方程。解：过又过准线上一点 皿1(%,力，乙)，且方向为1,1,1的直线方程为：xx1t%x ty y1ty1y tz 乙tZ1z t将此式代入准线方程，并消去 t得到:2 2 25( xy zxyyz zx) 2x

3、11y13z0此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为(u)x(u), y(u), z(u)，母线的方向平行于矢量S X,Y,Z试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：x Y(u) vS与xx(u)Xvyy(u)Yvzz(u)Zv式中的u, v为参数。证明：对柱面上任一点 M(x,y,z)，过M的母线与准线交于点 M (x(u), y(u), z(u)，则,M M vS即21、求顶点在原点，准线为 x 2z 10, y z 10的锥面方程。解：设为锥面上任一点 M (x, y,z)，过M与0的直线为：设其与准线交于(X。，丫o ,Zo)，即存在t ,使XoXt ,Yoyt ,Z

4、ozt，将它们代入准线方程，并消去参数t，得:x2 2z(zy)(zy)2即：x2 y2 z20此为所要求的锥面方程。2、已知锥面的顶点为(3,1,2)，准线为1, xz 0，试求它的方程。解：设M(x, y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：X 3Y1Z2x 3y1z2令它与准线交于(Xo ,Yo ,Zo)，即存在t,使Xo3(x3)tYo1(y!)tZo2 (z 2)t将它们代入准线方程，并消去 t得：2 2 23x 5y 7z 6xy 2yz 1oxz 4x 4y 4z 4 o此为要求的锥面方程。4、求对锥面上任一点 M (x, y, z)，过M与顶点O的母线为：X YZxyz

5、令它与准线的交点为(Xo, Yo,Zo)，即存在t，使Xoxt,Yoyt ,Zozt，将它们代入准线方程，并消去t得:xy yzzx o此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为（1,2,4），轴与平面2x2y z 0垂直，且经过点（3,2,1）的圆锥面的方程。X 1 y 2 解：轴线的方程为：2 2z 4T过点（3, 2, 1）且垂直于轴的平面为:即:2x 2y该平面与轴的交点为9要求圆锥面的准线为:的径矢为°X0,y°,Z02(xz 113) 2(y 2) (z 1)020 37,），它与（3,2,1）的距离为:99112202372(6 3) (6 2) (6 1).11

6、63，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:umurv (u)(1uuv) 0式中，u,v为参数。vx(u) vy(u) vz(u)(1(1(1v)Xov)yov)zo证明：对锥面上任一点M（x,y,z）uuuu，令OMr，它与顶点A的连线交准线于uuuuruuuurM (x(u), y(u), z(u)，即 OM (u)。uuuu uuuuuUUJUUQ AM /AM，且AM 0 (顶点不在准线上)uuuuujujuAMvAMr uuuiuurur即0v( (u)0 )ruiuurUU亦即v (u) (1v) 0此为锥面的矢量式参数方程。若将矢量式参数方程用分量表示，即:x,y,

7、zvx(u), y(u), z(u)(1 v)x°,yo,z。x vx(u) (1 v)x0y vy(u) (1 v)y。z vz(u) (1 v)Zo此为锥面的坐标式参数方程，u , v为参数。§ 4.3旋转曲面x1y1z1 * xyz(1 )；绕_112 112(2 )；xyz1绕X _y_z 1旋转2111 12(3)x 1yz绕z轴旋转；1331、求下列旋转曲面的方程:1旋转2z x（4 ）空间曲线2 2 绕z轴旋转。x y 1解: ( 1 )设 M1 (捲,y1, n)x 1是母线 -1上任一点，过M1的纬圆为:(x2 xX1)2y(y %)(z 1)22(z2X

8、1zj2y10(乙 1)2(1)因M1在母线上,从（1）（ 3）消去为，,乙，得到:2 2 25x 5y 23z 12xy 24 yz24 xz24x24 y 46 z 230此为所求的旋转面的方程。（3）对母线上任一点 皿1（为，丫1,乙），过该点的纬圆为:z(1)22 2 2 2 2xy zx1y1乙又M1在母线上，所以：X11y1w(3)13 3从（1）（3）消去为，如，乙，得到:9(x2 y2) 10z2 6z 90此为所求的旋转面方程。（4 ）对母线上任一点M1(x1,y1, z,)，过 Mi 的纬圆为:zz12 2 2x y z(1)又M1在母线上,所以Z12X1x12%2 1(1

9、)从（消去，得到:y2 1即旋转面的方程为:y2 1(0z 1)2、将直线-绕z轴旋转,1求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面?解：先求旋转面的方程式:任取母线上一点M1的纬圆为:(1)(3)从（1）3）消去为，,乙，得到:x2y22z220此即为所求旋转面的方程。0,0时，旋转面为圆柱面（以 z轴为轴）；当 0,0时，旋转面为圆锥面（以 z轴为轴，顶点在原点）0时，旋转面变为z轴;0,0时，旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线的参数方程为x x(u), y y(u),z z(u)，将曲线 绕z轴旋转，求旋转曲面的参数方程。解：如图，设M (x(u), y(u),z(u)为 上任一点

10、，则对经过 M的纬圆上任一点z車P（x, y,z），§4.4椭球面1、做出平面2x20与椭球面42z1的交线的图形。4解：平面2x0与椭球面41的交线为:2y9xz2，即2y27图形为O2、设动点与点（1,0,0）的距离等于从这点到平面x 4的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点M （x,y,z），要求的轨迹为，则条两两相互垂直的射线，分别交曲面P1, P2, P3，设 051,0卩2r2, op3 r3，试证:111111 r22 r32 a2 b2 c2证明：利用上题结果，有 4$iab2(i 123)ULW其中i , i, i是0Pi的方向余弦。uun若将op（i 1,2,

11、3）所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则3是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而1，同理，321所以，111-22r1r2r3丄丄丄2 r2 2 abc12a32)c2(32)1 1即：Ir1r21""2a1b212c5、一直线分别交坐标面yoz, zox, xoy 于三点A,B,C，当直线变动时，直线上的三定点p，它与三点的距离分别为A,B,C也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点a,b,c，当直线按照这样的规定（即保持A,B,C分别在三坐标面上）变动，试求 p点的轨迹。解：设 A（0,比，乙），B（X2,O, Z2）,C（X3, y3,0），则知:X2Z1Z

12、21X3, y3X2NZ1Z2Z1Z2Z2NZ2%-,0)Z2 Z1urnmuuuur又设P(x,y,z)，QPAa,PBb,PCcX2(y yJ2(zz)22 a(1)(X22X2)y(zz2)2b2(2)(XX2W )2(y劭1)22 z2 c(3)乙Z2z2乙又p在AB的连线上Xyy1zz1（4）X1y1z2Z1从（1） （4）消岂去,X2Z2，得到2 2 即：2(1豊)冷1b c2 2 .22 a c b27"22c b a b ，a2 c2c ' b2 a2满足要求的平zz2、给定方程(AC 0)试问当取异于A,B,C的各种数值时,它表示怎样的曲面?解：对方程1 (

13、A B C 0)（*）1o、当A时，（*）不表示任何实图形;2o、当 AB时，（*）表示双叶双曲面;3o、当 BC时，（*）表示单叶双曲面;4o、当 C时，（*）表示椭球面。222xyz一3、已知单叶双曲面1，试求平面的方程，使这平面平行于 yoz面（或xoz面）494且与曲面的交线是一对相交直线。解：设所求的平面为 x k，则该平面与单叶双曲面的交线为:(*)2y92 y_ 9为使交线（*）为二相交直线，则须:0,即卩k亦即所以，要求的平面方程为：x 2同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：y 34、设动点与（4,0,0）的距离等于这点到平面 x 1的距

14、离的两倍，试求这动点的轨迹。2 2解：x 20y24x 1160此即为要求的射影柱面方程。6、设直线|与m为互不垂直的两条异面直线，C是I与m的公垂线的中点， A, B两点分别在直线I，m上滑动，且 ACB 90o，试证直线 AB的轨迹是一个单叶双曲面。证明：以I，m的公垂线作为z轴，C作为坐标原点，再令 x轴与I，m的夹角均为，公 垂线的长为2c，若设tgy x 0 l :z cy x 0m:，则l，mz c* *令 A(Xi, %,c), B(X2, y2,c)，则有:y1X10, y2X202又AC CB，所以：X12y1(Xi2 2 2X2)(y1 y2)(2c)亦即X1X2y&quo

15、t;2(2)又设M (x, y,z)为AB上任一点，则从(1)XX1y y1X2X1y2 y1z c2c(3)中消去Xi,yi,X2, y2，得:2 2 2(1 )x2 2 (1 )y2z22c22y2 2cL2X即：一cLI不垂直m ,(4 )表示单叶双曲面,即 AB的轨迹是单叶双曲面。7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为:解为:asecucosvbsecus in vctgu2 y_ b22zatgucosv btgus in vcsecu令确定a与b(1,2,6)和(丄，1,1)均在该曲面上。3有:2a2a936一 536x26y2所以要求的椭圆抛物面的方程为：2 2即：18

16、x 3y 5z2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：(1)到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹;2z(2)与两给定的异面直线等距离的点的轨迹, 已知两异面直线间的距离为 2a，夹角为2解: ( 1)取定平面为xoy面，过定点且垂直于 xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为y2(z a)2z(0,0,a)，而定平面即为z 0，设比值常数为c,并令所求的轨迹为，贝U点 M (x, y, z)2 2 2. 2 2即 x y (1 c )z 2az ax轴，使其与二异面直线的夹此为的方程。(2 )取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取角相等，则二异面直线的方程为：y tg x 0与

17、y tg x 0z az a设所求的轨迹为，则M (x, y, z)y z a tg 02x y1 tg2z a x0 1；| yz a2z ax2xy'tg0011tg2、1 tg2J tg2解：略。5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成:x aucosvx a(u v)y bus inv与y b(u v)1 2z 2uvz u2式中的u,v为参数。解：对方程x au cosvy busi nv1 2z u22 2消去参数u,v得：2 占 2za b这正是椭圆抛物面的方程。对方程x a(u v)y b(u v)z 2uv2 2x y消去参数u ,v得：一2 2 2za

18、b* *这正是双曲抛物面的方程。§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、求下列直纹面的直母线族方程:2 2 2 （1） x y z 0(2) z axy2y即：（x z）（xz) y yx 7亦即：ytyx z为了避免取极限，将上方程写成：s(x(x若将原方程变形为2y2 z1若令u (tS)，vAx z ty(x z)t yz) tyz)t sy2u(y z) vxx，则可得到：v(y z) uxS)，则(2)便是(1)（1）（2）原曲面的直母线族是1 ），其中S,t不全为零。解：（1）从原方程得：x2 z2(2)2、求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）（2 ）原方程变形为：

19、 ayx亦即：ay tx(1)z xtay tz axy得:z sy ax s（1）（ 2）即这原曲面的两组直母线族方程。* *2x(1)1(2)2 y2y4z 4解：（i）原方程等价于从此式中消去，得: 此即为直母线（1 ）所形成的曲面。2x（2 ）从原方程中消去得：一16此即为（2）的直母线族所形成的曲面。3、在双曲抛物面16422xy164xy42解：双曲抛物面z的两族直母线为:u2 y2xz上，求平行于平面3x2y4z0的直母线。/Xu(4第一族直母线的方向矢量为:2, 1,u第二族直母线的方向矢量为:2,1,v据题意，要求的直母线应满足:要求的直母线方程为:4u 04v 02x4、试

20、证单叶双曲面a2 y b22 z2c1的任意一条直母线在xoy面上的射影,是其腰圆* *的切线。证明：单叶双曲面的腰圆为2 x2 az2yb2o两直母线为:它在xoy面内的射影为xaz cv(1xz1 一(1acv2x1vavz0y 1 比v)(2)将（2）的第一式代入（的第一式得:1v -vv)2即：& (v fly?b v(丄vv)2上述方程的判别式为:2)24 (vb21)2(- v)2 ov v（2 ）与（1）相比，证毕。x 65、求与两直线3y z 12 1z 4相交，而且与平面212x3y 5 o 平行的直线的轨迹。解：设动直线与二已知直线分别交于(Xo, yo,Zo),

21、(x1,y1,z1)，则xo63yo2Zo11Xi屮 8 乙 42 21又动直线与平面2x 3y 50平行，所以,2(Xoxj 3(yoyj对动直线上任一点 M (x, y, z)，有:XXoXiXoyyoyiyozZoZiZo2 2X y从(1) ( 4)消去 Xo,yo,Zo,Xi,yi,Zi，得到：4z946、求与下列三条直线x i x i 一X 2 y i z 2，与y z y z345都共面的直线所构成的曲面。解：动直线不可能同时平行于直线X iX及直线yzy不妨设其与第一条直线交于p(i,)注p(i,)与第二条直线的平面为：(x i) (y z) o过p与直线(x i) 3( y

22、z)3(x i) (y z) o动直线的方程为：(X 1) (y z) o(x 1) 3(y z) 3(x 1) (y z)0从上式中消去参数，得：x2 y2 z2 i此为所要求的轨迹方程。7、试证明经过单叶双曲面的一直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。证明：单叶双曲面2y_b22 z2 c1的一族直母线为:/XZy、u( )v(1)acbv(X Z)u(1 右acbU(1和x z过该族中一条直母线的平面为:Su( ) v(1a c即：su（-）a c另一族直母线为：sv(1 ) tv(- b ax zm( )n(1a

23、cx z n( )m(1a c自 tU(1 0(1)过该族中一条直母线的平面为:km（i自n（1訥1叫自m（1訓0XzyxZ即 km( ) kn(1 ) nl( ) ml(1acbac(2)对照（1 ）、（2）得，只要令m s, ku,n t,l v ,得（2）便是（1）了亦即过u族每一直母线的任一平面都经过v族中的一条直母线,同理，对v族的直母线也有类似性质。x2 y2对双曲抛物面：7 2za b其族直母线为：xy2uabxyu(-)zab(*)x取其中的一条（即取定 u），显然平面一a1 2u通过直母线b*），但该平面不通过 v族直母线中的任何一条，这是因为:v族直母线的方向矢量为丄，1,

24、2b a ab1111门2v2门而-0 -0abbaabab平面xy2u不能通过v族中的任何直母线。ab8、试求单叶双曲面2 x2 a2 2y2 z21上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。b c解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条U母线和一条v母线,所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为:x zyu(_)w(1a cbxzyt()v(1)acbxzyv()t(1)acba( uw)a(t2 v2)X2vty2 buwc (z a(v2 t2)2vtya(v2 t2)2bvtc(v2 t2)将两方程化为标准式，得:由此求出二直线的交点坐标为:a(uv wt)x rr，yb

25、(vw ut)vw utc(uv wt)vw ut又二直线垂直，a2 (u2 w2 )(v2 t2) 4b2uvwt c2 (u2 w2)(v2 t2)02 2 2 2 2 222 _2a (uv wt) b (vw ut) c (uv wt)x y z2(vw ut)2,222,2、 ，2,222, 2、2,222, 22 , 2 2、 ,a(uv wt)b(vw ut)c(uv wt) 2(a b c )uvwt(vw ut)2(u vw t )(a c )b (v wu t )2( abc )uvwt(vw ut)2(ac )(w vu t )b (v wu t )2(abc )uvwt4b uvwt(vw ut)22 2 2 2 2 2 2(a b c )(w v u t 2uvwt