第15单元79讲极坐标系及简单的极坐标方程

1、能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化，掌握直线与圆的极坐标方程(22 3) 2a (4) b (4)3345c (4) d1.(4)33m已知点的直角坐标为 ，则其极坐标是，222 322 34 tan32 d35(2 )23. 解析，且， ，以，：故选所() a () b ()c ()2. d (2)mmn 已知点，则点关于极点对称的点 的极坐标是 ， ， ， ，a(2)2 .3.m在极坐标系中，过点， ，且平行于极轴的直线的极坐标方程是()cos()22si 2. nprt mp如图，设，为直线上任意一点，在中，即解析：cossin 4. .极坐标方程分别是和的

2、两个圆的圆心距是11cos(0)2211sin( 2)22 22.解析：是圆心为，半径为 的圆；是圆心为， ，半径为 的圆，故两圆的圆心距为24sin3 5 .坐标方程化为直角坐标方程是2222222224sin34sin3433 3 .ryxyyxyx由知，即，则解即，析： 123_451()() 1 2 mm xy直线上的点的坐标； 平面直角坐标系；系； 柱坐标系； 球坐标系极坐标，化为平面坐标系的类型坐标之直角坐间化互标， ： 2()cos().sin3()sincos()sinsin.cospxyzxzyzzpxyzxrryrzr空间点 的直角坐标 ， ， 与柱坐标， ， 之间的变换公

3、式为：柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系的一部分建立起来的空间点 的直角坐标 ， ， 与球坐标， ，之间的变换关系为3直线与圆的极坐标方程1122 cossintansin()sin202 sinxyyxpbxarsinsinxrxyr 极坐标；【要点指南】； 1(5)30( 20)_0(24 )_1 42()23sin_1_.2apc 点， 在条件：，下的极坐标是；，下的极坐标是点，与曲线 ：的关系是例题型一题型一 极坐标的基本概念及应用极坐标的基本概念及应用 0(5)3(52)()320220()351 5(5)23331akkkkka zz当 时，点， 的极坐标的

4、一般形式为 ，由 ，得，解得，所以，所以满足条件的点 的极解，坐标为析： 10(5)3( 521)()243221413103330( 5)3akp kkkaz当 时，点， 的极坐标的一般形式是，由 ，得，解得，所以，故满足条件的点 的极坐，标为解析： 1 41()()232 313sinsin26 1 4()sin2sin22322ppppcc因为点，与点，是同一点，且，所以点在曲线 ：上解析：故点，在曲，线 ：上00() ()mp有关在极坐标系中求线段的长或平面图形面积等问题的求解，关键是应用点的极坐标的几何意义，同时应注意：若，则，且点，与，关于评析：极点对称45( 3) (51)36(

5、)ababaobo已知 、 两点的极坐标分别为，、，求和的面积 其中点 为材 ：极点素22245( 3) (5)(3)3637(5)3 56756362cos34 15 334 15 15.4315sin3 5 sin26aobabaobababoaobaobaboaoboa obaobabsaob 在中，因为 、 两点的坐标分别为，、，则 、 两点的坐标可化为 ， 、，因而、两边长分别为 、 ，夹角，所以，所以，解析：5(0)( 22 3)(23.3)3例 将下列直角坐标化为极坐标： ，；，； ， 题型二题型二 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化2205(0 5 3()324( 2

6、2 3)(4)3(33)(2 3) 6)3xyytanxxy 利用公式转化 ，为 轴负半轴上的解析：可化为，；，可化为 ，； ，可化，点，为222 cossintan ( 0)xyyxyxx将极坐标化为直角坐标较容易，只要利用，即可；而将直角坐标化为极坐标，它需要同时满足，评析：23(3)(2)(322.)4将下列极坐标化为直角坐标： ， ； ，；，素材 3 2 3 2(3)()4222(2)( 13)333()(0)22xcosysin解析： ， 化为，； ，化为， ；，利用公式转化化为， 222212020332.xyaxxyxyx将下列直角坐标方程化为极坐标方程：；例题型三题型三 极坐标

7、方程与直角坐标方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化 2222cos2cos02 cos0.0 12 co scossincossin00tan1.3ta2 cosn1.43.0()3244xyxaaaxya r将，代入，得，即或而恒表示解析：故所求极坐标方程为极点，曲线过极点，将，代入，得，即或由，得而表示极点，直线过极点故所求极坐标方程为，()r 2222cossincossin2 cos2 2.20.2 2023xycoscosccosccoososs将，代入，得，即或而表示极点，过极点解析：故所求极坐标方程为，cossin xy直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式及直接代

8、入并化简即可对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程评析：的检验 1cossin_322sin()42_.曲线的极坐标方程为，则其直角坐标方程为轨迹为；已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是素材 22 112()222202.21xyxy解析：圆心为，半径为的圆应填；应填2cossi n()极坐标方程化为直角坐标方程相对困难一点，解决此类问题常通过变形，构造形如，的形式，进行整体代换其中，方程两边同乘以 或同除以及方程两边平方是常用的变评析：形方法 ( 2 0)in()4.03.4121alm mmplqopop oqq在极坐标系中，已知点，到直线：的距离为求实数 的值；设

9、 是直线 上的动点， 在线段上，且满足，求点 的轨迹方程，并指出轨迹是什例么图形题型四题型四 极坐标方程的应用极坐标方程的应用 ( 2 0)20.|22 231|12.xalxymmaldmm 以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系，则点 的直角坐标为，直线 的直角坐标方程为因为 到直线 的离，所以距解析： m将极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求得 的值；极坐标系下的轨迹方程的求解与直角坐标系下的轨迹方程的求解方法类似，此分析：处可用动 0000000000221sin()2.411()().()sin ()2.41sin()2sin()44221()().88

10、161 3(24lpqplqxyq由得直线 的方程为设，则因为点，在直线 上，所以将代入，得，即这就是解析：因此点点 的轨迹方程化为直角坐标的轨迹是以方为，程1)44为圆心，为半径的圆 直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提若要判断曲线的形状，可先将极坐标方程化为直角坐标方程，再判断在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法在极坐标系中，求曲线的极坐标方程，这几种方法仍然评析：是适用的 121212( 3 0)( 3)2.212.4.oppcppppcabaob在极坐标系中，极点为 ，已知， ，曲线 ：求直线的极坐标方程；记直线与曲线 交于、 两点，求素材 1212 s(

11、)sin3incos 13cos.ppppp如图所示，设点解析：所以，是直线上任意一点，则，直线的极坐标方程是 121()33sinc2 os236.2.3262.22pppopsincossincosopoaboaobababo boaa b由知，直线上的点，满足，即，而的最大值为，则的最小值为在等腰中，底边上的高为则，所以是等边三解析：因此，角形，2 2 (cos3sin )5023ab已知圆的极坐标方程为，求直线截圆所备选例题得弦的长度2122221221(3)9330.( 13)30|33 2 932 6.|33 2 1223235025016221616.xyyxxyxydcossi

12、n 圆的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，即又圆心，到直线的距离为，则弦解析：从而弦长方法 ：方长为由，解得法，：为解得，()()(2)() (2)()()(1mkkkkmmzz极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：平面直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的；而极坐标系中，对于给定的有序数对，可以确定平面上的一点，但是平极坐标系和极坐标的理解面内的一点的极坐标，却不是唯一的一般的，若，是点的极坐标，则，也都是点的极坐标总之，点，的极坐标可以是，2)()0,02()kkz 当规定 以后，平面内的点 除极点外与有序数对就可以一一对应了 22221.0“”( )( )()0nxy

13、xcosyysintanxxxrnr 极坐标与直角坐标的互化注意事项极坐标和直角坐标的互化公式是或这两组公式必须满足下面的 三个条件 才能使用：原点与极点重合； 轴正半轴与极轴重合； 长度单位相同极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边同乘以 时，方程增了一个 重解，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解 23tan1,1tan11,13( 2)4ymx 由极坐标方程给出的问题，若不好处理，就直角坐标化；由直角坐标方程给出的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化慎用，如点的直角坐标为，化为极坐标时，由不能确定 的取值，必须结合所表示的点所在象限的情况确定其极坐标为， 3123rq极坐标方程的应用及求法合理建立极坐标系，使所求曲线方程简单巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出两极坐标 、 是求极坐标系曲线方程的法宝 11222212121241()()2()()3()()24()()45()()2.ppppppppababcos 常用结论极坐标系内点的对称关系：点，关于极点的对称点为，；点，关于极轴所在直线的对称点为，；点，关于直线的对称点为，；点，关于直线的对称点为，；在极坐标下，间的距离( 5)3()4a (5) b (5)3325c (5) d ( 5)3